人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：培优课 排列、组合问题的破解之术

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1培优课排列、组合问题的破解之术排列、组合问题是高考的必考题，它联系实际、生动有趣，但题型多样、思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和解题方法、识别模式、熟练运用，是解决排列、组合应用题的有效途径.下面就谈一谈排列、组合应用题的解题策略.1.相邻排列——捆绑法n个不同元素排列成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，有多少种不同排法？先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其它元素一起排列，共有Aeq\o\al(n－k＋1,n－k＋1)种排法.然后再将“捆绑”在一起的元素进行内部排列，共有Aeq\o\al(k,k)种方法.由分步乘法计数原理得符合条件的排法共Aeq\o\al(n－k＋1,n－k＋1)·Aeq\o\al(k,k)种.2.相离排列——插空法元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素之间的空位和两端.将n个不同元素排成一排，其中k个元素互不相邻(k≤n－k)，有多少种排法？先把(n－k)个元素排成一排，共有Aeq\o\al(n－k,n－k)种排法，然后把k个元素插入(n－k＋1)个空隙中，共有排法Aeq\o\al(k,n－k＋1)种，故符合条件的排法共有Aeq\o\al(n－k,n－k)·Aeq\o\al(k,n－k＋1)种.3.定序问题——倍缩法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法，此法也被叫消序法.将n个不同元素排列成一排，其中某k个元素的顺序保持一定，有多少种不同排法？n个不同元素排列成一排，共有Aeq\o\al(n,n)种排法；k个不同元素排列成一排共有Aeq\o\al(k,k)种不同排法.于是，k个不同元素顺序一定的排法只占排列总数的Aeq\o\al(k,k)分之一.故符合条件的排法共eq\f(Aeq\o\al(n,n),Aeq\o\al(k,k))种.4.“隔板法”在计数问题中的妙用(1)排列组合中的相同小球放进不同的盒子、名额分配或相同物品的分配等问题，是排列组合中的难点问题，这类问题的基本模型是：将n个相同元素分组到m个不同对象中(n≥m)，每个对象至少有一个元素.这类问题必须满足三个条件：①元素必须相同；②对象必须不同；③每个对象至少有一个元素.当满足这三个条件时，我们可以采用隔板法.(2)通过对隔板法的应用，可得下列结论.结论1：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，每组不允许落空，则可将n个元素排成一排，从n－1个间隔中，选出m－1个插上隔板，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数N＝Ceq\o\al(m－1,n－1).结论2：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，某些组允许落空，则可将m－1个隔板和n个元素排成一排，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数N＝Ceq\o\al(m－1,m＋n－1).类型一相邻排列——捆绑法〖例1〗有3名女生4名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，共有多少种不同的站法？解先把3名女生作为一个整体，看成一个元素，4名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排列成一排共有Aeq\o\al(2,2)种排法；女生内部的排法有Aeq\o\al(3,3)种，男生内部的排法有Aeq\o\al(4,4)种.故合题意的排法有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝288(种).类型二相离排列——插空法〖例2〗五位科学家和五名中学生站成一排照像，中学生不相邻的站法有多少种？解先把科学家作排列，共有Aeq\o\al(5,5)种排法；然后把5名中学生插入6个空中，共有Aeq\o\al(5,6)种排法，故符合条件的站法共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(5,6)＝86400(种).类型三定序问题——倍缩法〖例3〗a，b，c，d，e五人并排站成一排，如果b必须站在a的右边(a，b可以不相邻)，那么不同的排法种数是()A.24种 B.60种C.90种 D.120种〖答案〗B〖解析〗b在a的右边与b在a的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即eq\f(1,2)Aeq\o\al(5,5)＝60(种)，选B.类型四“隔板法”在计数问题中的妙用〖例4〗将7个相同的小球放入4个不同的盒子中.(1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？(2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空格中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则不同的放入方式共有Ceq\o\al(3,6)＝20(种).(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有Ceq\o\al(3,10)＝120(种)放入方式.尝试训练1.七人并排站成一行，如果甲、乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是()A.1440种 B.3600种C.4820种 D.4800种〖答案〗B〖解析〗除甲、乙外，其余5个排列数为Aeq\o\al(5,5)种，再用甲、乙去插6个空位有Aeq\o\al(2,6)种，不同的排法种数是Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,6)＝3600种，选B.2.编号为1，2，3，4，5，6，7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A.10种 B.12种C.15种 D.18种〖答案〗A〖解析〗四盏熄灭的灯产生的5个空中放入3盏亮灯，即不同的开灯方案有Ceq\o\al(3,5)＝10(种).3.4个男同学和3个女同学(其中含甲、乙、丙)站成一排，若甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，则不同排法的种数是()A.320 B.640C.960 D.1280〖答案〗C〖解析〗先排甲、乙、丙3人以外的其他4人，有Aeq\o\al(4,4)种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有Aeq\o\al(2,2)种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的中间及两头的5个空当中，则有Aeq\o\al(2,5)种排法.所以共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,5)＝960(种)不同的排法.4.用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有__________个七位数符合条件.〖答案〗210〖解析〗若1，3，5，7的顺序不定，有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法数只占总排法数的eq\f(1,24)，故有eq\f(1,24)Aeq\o\al(7,7)＝210(个)七位数符合条件.5.某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有________种.(用数字作答)〖答案〗240〖解析〗首先把5个班分成4组，即2，1，1，1，有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(3,3))种方法.然后把4组分配到4个工厂，每个工厂安排一组有Aeq\o\al(4,4)种方法.由分步乘法计数原理可得不同的安排方法有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(4,4)＝24