人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：8 3 2　独立性检验

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE18.3.2独立性检验学习目标1.了解随机变量χ2的意义.2.通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法．导语最新研究发现，花太多时间玩电脑游戏的儿童，患多动症的风险会加倍．青少年的大脑会很快习惯闪烁的屏幕、变幻莫测的电脑游戏，一旦如此，他们在教室等视觉刺激较少的地方，就很难集中注意力．研究人员对1323名年龄在7岁到10岁的儿童进行调查，并在孩子父母的帮助下记录了他们在13个月里玩电脑游戏的习惯．同时，教师记下这些孩子出现的注意力不集中问题．统计获得下列数据：注意力不集中注意力集中合计不玩电脑游戏268357625玩电脑游戏489209698合计7575661323从这则新闻中可以得出哪些结论？有多大把握认为你所得出结论正确？一、独立性检验的理解问题1由2×2列联表，如何判断事件{X＝1}和{Y＝1}之间是否有关联？XY合计Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合计a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d〖提示〗假设H0表示{X＝1}和{Y＝1}没有关系(通常称H0为零假设)．问题2假若分类变量X与Y没有关联，则X＝1与Y＝1、X＝0与Y＝1、X＝0与Y＝0、X＝1与Y＝0有什么关系？并能得到什么结论？〖提示〗相互独立，eq\f(a,n)－eq\f(a＋b,n)·eq\f(a＋c,n)≈0；eq\f(b,n)－eq\f(a＋b,n)·eq\f(b＋d,n)≈0；eq\f(c,n)－eq\f(c＋d,n)·eq\f(a＋c,n)≈0；eq\f(d,n)－eq\f(c＋d,n)·eq\f(b＋d,n)≈0.问题3用一个什么量来刻画这种差异呢？〖提示〗为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).知识梳理1．独立性检验：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．2．χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.注意点：(1)卡方越小，独立性越强，相关性越弱；卡方越大，独立性越弱，相关性越强．(2)当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．例1(1)为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：X成绩合计及格不及格很少使用手机20525经常使用手机101525合计302050参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.附表：α0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828参照附表，得到的正确结论是()A．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”B．依据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”〖答案〗D〖解析〗零假设为H0：经常使用手机与数学学习成绩无关，由题中数据可得，χ2＝eq\f(5020×15－5×102,25×25×30×20)＝eq\f(25,3)≈8.333>7.879＝x0.005，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“经常使用手机与数学学习成绩有关”．(2)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“X与Y有关系”，随机变量χ2必须满足()α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828A.大于10.828 B．大于3.841C．小于6.635 D．大于2.706〖答案〗B〖解析〗查表可知犯错误的概率不超过0.05时对应的χ2为3.841，所以确定结论“X与Y有关系”时，随机变量χ2需大于3.841.反思感悟根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论．跟踪训练1(1)为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算的χ2为5.003，又已知P(χ2≥3.841)＝0.05，P(χ2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是()A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“X和Y有关系”B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“X和Y没有关系”C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“X和Y有关系”D．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“X和Y没有关系”〖答案〗A〖解析〗因为3.841<χ2＝5.003<6.635＝x0.01，又P(χ2≥3.841)＝0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“X和Y有关系”．(2)有关独立性检验的四个命题，其中不正确的是()A．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积之差的绝对值越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大B．对分类变量X与Y的随机变量χ2来说，χ2越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大C．由独立性检验可知：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病D．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关〖答案〗C〖解析〗对于A，两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积之差的绝对值越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大，所以A正确；对于B，对分类变量X与Y的随机变量χ2来说，χ2越小，认为“X与Y有关系”的犯错误的概率越大，所以B正确；对于C，由独立性检验可知：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为秃顶与患心脏病有关，不是说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病，所以C错误；对于D，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关，所以D正确．二、有关“相关的检验”例2甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x(单位：cm)及个数y，如下表：零件尺寸x1.011.021.031.041.05零件个数y甲37893乙7444a由表中数据得y关于x的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－91＋100x(1.01≤x≤1.05)，其中合格零件尺寸为1.03±0.01cm.完成下面列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析加工零件的质量与甲、乙是否有关．机床加工零件的质量合计合格零件数不合格零件数甲乙合计解eq\x\to(x)＝1.03，eq\x\to(y)＝eq\f(a＋49,5)，由eq\o(y,\s\up6(^))＝－91＋100x，知eq\f(a＋49,5)＝－91＋100×1.03，所以a＝11.由于合格零件尺寸为1.03±0.01cm，故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为机床加工零件的质量合计合格零件数不合格零件数甲24630乙121830合计362460零假设为H0：加工零件的质量与甲、乙无关．则χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(60×24×18－6×122,30×30×36×24)＝10>6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立．即认为加工零件的质量与甲、乙有关．反思感悟用χ2进行“相关的检验”步骤(1)零假设：即先假设两变量间没关系．(2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值xα.(4)下结论：比较χ2与xα的大小，并作出结论．跟踪训练2某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表，试根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析喜欢体育还是文娱与性别是否有关系．性别喜欢合计体育文娱男生212344女生62935合计275279解零假设为H0：喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系．∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，∴χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(79×21×29－23×62,44×35×27×52)≈8.106>7.879＝x0.005.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关．三、有关“无关的检验”例3某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人．老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄是否有关系．解(1)2×2列联表如表所示：教师年龄对新课程教学模式合计赞同不赞同老教师101020青年教师24630合计341650(2)零假设为H0：对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关．由公式得χ2＝eq\f(50×10×6－24×102,34×16×20×30)≈4.963<6.635＝x0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关．反思感悟运用独立性检验的方法(1)列出2×2列联表，根据公式计算χ2.(2)比较χ2与xα的大小作出结论．跟踪训练3学校举行运动会，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余人不喜爱运动．(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：运动的喜好合计喜爱运动不喜爱运动男1016女614合计30(2)根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？解(1)喜爱运动不喜爱运动合计男10616女6814合计161430(2)零假设为H0：喜爱运动与性别无关，由已知数据可得χ2＝eq\f(30×10×8－6×62,10＋66＋810＋66＋8)≈1.1575，因为1.1575<2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，即认为性别与喜爱运动无关．1．知识清单：(1)2×2列联表．(2)独立性检验、χ2公式．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题．1．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．非一线一线合计愿生452065不愿生132235合计5842100由χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，得χ2＝eq\f(100×45×22－20×132,65×35×58×42)≈9.616.参照下表：α0.050.010.001xα3.8416.63510.828下列结论正确的是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“生育意愿与城市级别有关”D．依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“生育意愿与城市级别无关”〖答案〗C〖解析〗因为χ2≈9.616>6.635＝x0.01，所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.2．对两个分类变量A，B的下列说法中正确的个数为()①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则χ2的值就越大；③χ2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．A．0B．1C．2D．3〖答案〗B〖解析〗①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，χ2的值的大小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，例如借助三维柱形图、二维条形图等．故选B.3．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班学生的数学成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：优秀及格合计甲班113445乙班83745合计197190则χ2约为()A．0.600 B．0.828C．2.712 D．6.004〖答案〗A〖解析〗根据列联表中的数据，可得χ2＝eq