人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：7 4 1　二项分布

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布课标要求素养要求1.通过具体实例了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征.2.能用二项分布解决简单的实际问题.通过学习二项分布的概念及研究其数字特征，提升数学抽象及数据分析素养.自主梳理1.n重伯努利试验的概念只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.2.n重伯努利试验具有如下共同特征(1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立.3.二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为：P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p).两点分布与二项分布的联系(1)两点分布与二项分布的随机变量都只有两个可能结果.(2)两点分布是n＝1时的二项分布.4.一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).自主检验1.思考辨析，判断正误(1)在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响.(√)(2)在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同.(×)〖提示〗在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率均相同.(3)如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.(√)(4)两点分布就是二项分布.(√)〖提示〗两点分布是特殊的二项分布，即X～B(n，p)中，当n＝1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式.2.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率都为eq\f(4,5)，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是()A.eq\f(12,125) B.eq\f(48,125)C.eq\f(16,125) D.eq\f(96,125)〖答案〗B〖解析〗播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))＝eq\f(48,125).3.某电子管正品率为eq\f(3,4)，次品率为eq\f(1,4)，现对该批电子管进行测试，设第X次首次测到正品，则P(X＝3)等于()A.Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4) B.Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)〖答案〗C〖解析〗P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4).4.已知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，则P(X＝4)＝__________.〖答案〗eq\f(20,243)〖解析〗P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(20,243).题型一n重伯努利试验的判断〖例1〗判断下列试验是不是n重伯努利试验.(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球.解(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验.(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验.(3)每次抽取时，球的个数不一样多，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验.思维升华n重伯努利试验的判断依据(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行.(2)每次试验的结果相互独立，互不影响.〖训练1〗下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标.其中是n重伯努利试验的是()A.① B.②C.③ D.④〖答案〗D〖解析〗①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互独立事件；④是n重伯努利试验.题型二n重伯努利试验概率的求法〖例2〗某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率.解(1)记A＝“预报一次准确”，则P(A)＝0.8.5次预报相当于5次伯努利试验.“恰有2次准确”的概率为P＝Ceq\o\al(2,5)×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为P＝Ceq\o\al(0,5)×0.25＋Ceq\o\al(1,5)×0.8×0.24＝0.00672.所以所求概率为1－P＝1－0.00672≈0.99.所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.思维升华n重伯努利试验概率求解的关注点(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率.〖训练2〗某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率都为eq\f(3,5)，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有3次击中目标的概率；(3)其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率.解(1)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影响，故所求概率为P＝eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(3,5)＝eq\f(108,3125).(2)该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标，符合n重伯努利试验概率模型.故所求概率为P＝Ceq\o\al(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(216,625).(3)该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击中目标看成一个整体可得共有Ceq\o\al(1,3)种情况.故所求概率为P＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(324,3125).题型三二项分布的均值与方差〖例3〗为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，均值E(X)为3，标准差eq\r(D（X）)为eq\f(\r(6),2).(1)求n和p的值，并写出X的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率.解由题意知，X～B(n，p)，P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n.(1)由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝eq\f(3,2)，得1－p＝eq\f(1,2)，从而n＝6，p＝eq\f(1,2).X的分布列为X0123456Peq\f(1,64)eq\f(3,32)eq\f(15,64)eq\f(5,16)eq\f(15,64)eq\f(3,32)eq\f(1,64)(2)记A＝“需要补种沙柳”，则P(A)＝P(X≤3)，得P(A)＝eq\f(1,64)＋eq\f(3,32)＋eq\f(15,64)＋eq\f(5,16)＝eq\f(21,32)，或P(A)＝1－P(X>3)＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,64)＋\f(3,32)＋\f(1,64)))＝eq\f(21,32)，所以需要补种沙柳的概率为eq\f(21,32).思维升华解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解.若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).〖训练3〗某厂一批产品的合格率是98%.(1)求从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)若从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差.解(1)用Y表示抽得的正品数，则Y＝0，1.Y服从两点分布，且P(Y＝0)＝0.02，P(Y＝1)＝0.98，所以D(Y)＝p(1－p)＝0.98×(1－0.98)＝0.0196.(2)用X表示抽得的正品数，则