人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：6 2 4　组合数

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE16.2.4组合数课标要求素养要求1.能利用计数原理推导组合数公式.2.能解决有限制条件的组合问题.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提升逻辑推理及数学运算素养.自主梳理1.组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示.2.组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，m≤n).规定Ceq\o\al(0,n)＝1.1.组合数与组合是两个不同的概念.根据定义，一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是所有组合的个数，它是一个数.2.组合数公式可以由排列数公式表示，但要注意公式的结构.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)Ceq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60.(×)〖提示〗Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(5×4×3,3×2×1)＝10.(2)Ceq\o\al(2016,2017)＝Ceq\o\al(1,2017)＝2017.(√)(3)“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合数”.(×)〖提示〗“从3个不同元素中取出2个元素合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个元素的组合”.(4)下列两个等式成立①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)(其中n，m∈N*，m≤n).(√)2.若Ceq\o\al(2,n)＝10，则n的值为()A.10 B.5C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(n（n－1）,2×1)＝10，解得n＝5(n＝－4舍去).3.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A.504种 B.729种C.84种 D.27种〖答案〗C〖解析〗共有选法Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(9×8×7,3×2×1)＝84(种).4.计算Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(10,10)＝__________.〖答案〗2〖解析〗Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(10,10)＝1＋1＝2.题型一组合数公式及应用〖例1〗求值：(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)；(2)Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n).解(1)3Ceq\o\al(3,8)－2Ceq\o\al(2,5)＝3×eq\f(8×7×6,3×2×1)－2×eq\f(5×4,2×1)＝148.(2)∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤38－n≤3n，,0＜3n≤21＋n，))∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10，∴Ceq\o\al(38－n,3n)＋Ceq\o\al(3n,21＋n)＝Ceq\o\al(28,30)＋Ceq\o\al(30,31)＝Ceq\o\al(2,30)＋Ceq\o\al(1,31)＝eq\f(30×29,2×1)＋31＝466.思维升华(1)组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)一般用于计算，而组合数公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)一般用于含字母的式子的化简与证明.(2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数Ceq\o\al(m,n)的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*.〖训练1〗(1)计算：Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)；(2)证明：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1).(1)解Ceq\o\al(98,100)＋Ceq\o\al(199,200)＝Ceq\o\al(2,100)＋Ceq\o\al(1,200)＝eq\f(100×99,2×1)＋200＝4950＋200＝5150.(2)证明eq\f(n,n－m)Ceq\o\al(m,n－1)＝eq\f(n,n－m)·eq\f(（n－1）！,m！（n－1－m）！)＝eq\f(n！,m！（n－m）！)＝Ceq\o\al(m,n).题型二与几何有关的组合应用题〖例2〗如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解(1)法一可作出三角形Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)＝116(个).法二可作三角形Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,4)＝116(个).其中以C1为顶点的三角形有Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝36(个).(2)可作出四边形Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,6)＝360(个).思维升华图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法.〖训练2〗空间中有10个点，其中有5个点(无三点共线)在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A.205 B.110C.204 D.200〖答案〗A〖解析〗法一可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有构成四面体的个数为Ceq\o\al(0,5)Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,5)＝205.法二从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为Ceq\o\al(4,10)－Ceq\o\al(4,5)＝205.题型三分组、分配问题角度1不同元素的分组分配问题〖例3〗6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组).解(1)每组2本，均分为3组的分组种数为eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))＝eq\f(15×6×1,6)＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)＝20×3×1＝60.(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为eq\f(Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))＝eq\f(15×2×1,2)＝15.角度2相同元素分配问题〖例4〗将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列放法的种数.(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子.解(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有Ceq\o\al(3,5)＝10(种)放法.(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有Ceq\o\al(2,5)种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有Ceq\o\al(1,4)种插法，故共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)＝40(种)放法.(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行.先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙插一块隔板，有Ceq\o\al(1,5)种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒.①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有Ceq\o\al(2,3)种插法.②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有Ceq\o\al(1,3)种插法.故共有Ceq\o\al(1,5)·(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3))＝30(种)放法.思维升华“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀分组，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.〖训练3〗将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中.(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(6)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？解(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法.(2)这是全排列问题，共有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)放法.(3)法一先将4个小球分为三组，有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))种方法，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有Aeq\o\al(3,4)种投放方法，故共有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,4)＝144(种)放法.法二先取4个球中的两个“捆”在一起，有Ceq\o\al(2,4)种选法，把它与其他两个球共3个元素分别放入4个盒子中的3个盒子，有Aeq\o\al(3,4)种投放方法，所以共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144(种)放法.(4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有Ceq\o\al(1,4)种，当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投入方法有2种，故共有Ceq\o\al(1,4)·2＝8(种)放法.(5)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组合问题，故共有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,3)＝12(种)放法.(6)(隔板法)先将编号为1，2，3，4的4个盒子分别放入0，1，2，3个球，再把剩下的14个球分成四组，即在○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔板，共有Ceq\o\al(3,13)＝2