人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：6 2 3　第2课时　组合数的性质

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1第2课时组合数的性质学习目标1.掌握组合数公式和组合数的性质.2.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题．导语在组合数的运算和化简、证明过程中，除了直接使用组合数公式外，还有与组合数有关的一些性质，这节课就来探究组合数的性质．一、组合数的性质1问题1假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛．包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人．我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？〖提示〗上场的方案有Ceq\o\al(5,8)，不上场的方案有Ceq\o\al(3,8)；Ceq\o\al(5,8)＝Ceq\o\al(3,8)＝56.知识梳理组合数的性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).注意点：(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想；(2)两边下标相同，上标之和等于下标．例1(1)计算：Ceq\o\al(2021,2022)＝________，Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－2,n)＝__________.〖答案〗2022eq\f(nn2－1,2)〖解析〗Ceq\o\al(2021,2022)＝Ceq\o\al(1,2022)＝2022，Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－2,n)＝Ceq\o\al(1,n＋1)·Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(nn2－1,2).(2)(多选)若Ceq\o\al(2n－3,20)＝Ceq\o\al(n＋2,20)(n∈N*)，则n等于()A．4B．5C．6D．7〖答案〗BD〖解析〗由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或7.反思感悟性质“Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)”的意义及作用跟踪训练1(1)若Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(5,n)，则Ceq\o\al(10,n)等于()A．1B．10C．11D．55〖答案〗C〖解析〗由Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(5,n)，得n＝6＋5＝11，Ceq\o\al(10,n)＝Ceq\o\al(10,11)＝Ceq\o\al(1,11)＝11.(2)若Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，则Ceq\o\al(n,8)＝____________.〖答案〗28〖解析〗由Ceq\o\al(3n＋6,18)＝Ceq\o\al(4n－2,18)，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝2或n＝8(舍去)，故Ceq\o\al(2,8)＝28.二、组合数的性质2问题2从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有Ceq\o\al(4,7)种选法；当体育委员未入选时，有Ceq\o\al(5,7)种选法．这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？〖提示〗一样，Ceq\o\al(5,8)＝Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,7).知识梳理组合数的性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).注意点：(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；(2)体现了“含”与“不含”的分类思想．例2(1)已知m≥4，Ceq\o\al(3,m)－Ceq\o\al(4,m＋1)＋Ceq\o\al(4,m)等于()A．1B．mC．m＋1D．0〖答案〗D〖解析〗Ceq\o\al(3,m)－Ceq\o\al(4,m＋1)＋Ceq\o\al(4,m)＝Ceq\o\al(3,m)＋Ceq\o\al(4,m)－Ceq\o\al(4,m＋1)＝Ceq\o\al(4,m＋1)－Ceq\o\al(4,m＋1)＝0.(2)Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)等于()A．Ceq\o\al(2,2020) B．Ceq\o\al(3,2021)C．Ceq\o\al(3,2022) D．Ceq\o\al(4,2023)〖答案〗D〖解析〗原式＝Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)＝Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)＝Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(2019,2022)＝…＝Ceq\o\al(2018,2022)＋Ceq\o\al(2019,2022)＝Ceq\o\al(2019,2023)＝Ceq\o\al(4,2023).延伸探究若将式子换成“Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,2022)”，则其值为多少？解Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,2022)＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2022)－Ceq\o\al(4,4)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2022)－1…＝Ceq\o\al(4,2022)＋Ceq\o\al(3,2022)－1＝Ceq\o\al(4,2023)－1.反思感悟性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)－Ceq\o\al(m,n)，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．跟踪训练2(1)若Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，则n等于()A．12B．13C．14D．15〖答案〗C〖解析〗Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(7,n)＋Ceq\o\al(8,n)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，∴n＋1＝7＋8，n＝14.(2)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,18)等于()A．Ceq\o\al(3,18) B．Ceq\o\al(3,19)C．Ceq\o\al(3,18)－1 D．Ceq\o\al(3,19)－1〖答案〗B〖解析〗Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,18)＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,18)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,18)＝Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,18)＝…＝Ceq\o\al(3,19).三、组合数在实际问题中的简单应用例3在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生；(2)既有内科医生，又有外科医生．解(1)先选内科医生有Ceq\o\al(3,6)种选法，再选外科医生有Ceq\o\al(2,4)种选法，故有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,4)＝120(种)选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(1,4)＝246(种)选派方法．若从反面考虑，则有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(种)选派方法．反思感悟在求与两个基本原理的应用有关的问题时，即分类与分步的运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．跟踪训练3某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？解(1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100(种)．所以恰有2种假货在内的不同取法有2100种．(2)选取2件假货有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)种，选取3件假货有Ceq\o\al(3,15)种，共有选取方法Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2555(种)．(3)选取3件的种数有Ceq\o\al(3,35)，因此有选取方法Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6090种．1．知识清单：(1)组合数的两个性质及性质的理解．(2)组合数在实际问题中的应用．2．方法归纳：分类讨论、间接法．3．常见误区：不注意组合数中m与n的限制条件；计算中不能构造组合数性质．1．若Ceq\o\al(6,n＋1)－Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(7,n)(n∈N*)，则n等于()A．11B．12C．13D．14〖答案〗B〖解析〗根据题意，Ceq\o\al(6,n＋1)－Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(7,n)变形可得，Ceq\o\al(6,n＋1)＝Ceq\o\al(6,n)＋Ceq\o\al(7,n)，由组合性质可得，Ceq\o\al(6,n)＋Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(7,n＋1)，即Ceq\o\al(6,n＋1)＝Ceq\o\al(7,n＋1)，则可得到n＋1＝6＋7⇒n＝12.2．把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案有()A．80种B．120种C．140种D．50种〖答案〗A〖解析〗当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＝20(种)不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)＝30(种)不同的分配方案；当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30(种)不同的分配方案．故共有20＋30＋30＝80(种)不同的分配方案．3．Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝________________.〖答案〗Ceq\o\al(4,22)〖解析〗因为Ceq\o\al(0,3)＝Ceq\o\al(0,4)，所以Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝(Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4))＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝(Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5))＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝…