人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册学案：§8 2 第3课时　非线性经验回归方程

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE1第3课时非线性经验回归方程学习目标1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义.2.了解非线性回归模型.3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果．一、指数函数模型y＝αeβx(α＞0)例1某景区的各景点从2010年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2010年至2019年，该景点的旅游人数y(万人)与年份x的数据：第x年12345旅游人数(万人)300283321345372第x年678910旅游人数(万人)435486527622800该景点为了预测2022年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y与x的经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝50.8x＋169.7；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝aebx的附近．(1)根据表中数据，求模型②的经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝aebx(a精确到个位，b精确到0.01)；(2)根据下列表中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2022年该景区的旅游人数(单位：万人，精确到个位)．经验回归方程①eq\o(y,\s\up6(^))＝50.8x＋169.7②eq\o(y,\s\up6(^))＝aebxeq\i\su(i＝1,10,)(yi－eq\o(yi,\s\up6(^)))23040714607参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据(v1，w1)，(v2，w2)，…，(vn，wn)，其经验回归直线eq\o(w,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))v的斜率和截距的最小二乘法估计分别为eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)wi－\x\to(w)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)vi－\x\to(v)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(w)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(v).②刻画回归效果的决定系数R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(yi,\s\up6(^))2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2).③参考数据：e5.46≈235，e1.43≈4.2.eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(u)eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,10,)(xi－eq\x\to(x))·(ui－eq\x\to(u))5.54496.058341959.00表中ui＝lnyi，eq\x\to(u)＝eq\f(1,10)eq\i\su(i＝1,10,u)i.解(1)对y＝aebx取对数，得lny＝bx＋lna，设u＝lny，c＝lna，先建立u关于x的经验回归方程．b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)ui－\x\to(u),\i\su(i＝1,10,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(9.00,83)≈0.108≈0.11，c＝eq\x\to(u)－beq\x\to(x)≈6.05－0.108×5.5＝5.456≈5.46，a＝ec≈e5.46≈235.∴模型②的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝235e0.11x.(2)由表格中的数据，知30407>14607，即eq\f(30407,\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2)>eq\f(14607,\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2)，即1－eq\f(30407,\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2)<1－eq\f(14607,\i\su(i＝1,10,)yi－\x\to(y)2)，∴Req\o\al(2,1)<Req\o\al(2,2)，模型①的决定系数Req\o\al(2,1)小于模型②的Req\o\al(2,2)，说明回归模型②的拟合效果更好．2022年时，x＝13，预测旅游人数为eq\o(y,\s\up6(^))＝235e0.11×13＝235e1.43≈235×4.2＝987(万人)．反思感悟指数函数型y＝ebx＋a回归问题的处理方法(1)函数y＝ebx＋a的图象，如图所示．(2)处理方法：两边取对数得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.跟踪训练1已知某种细菌的适宜生长温度为10℃～25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y(单位：个)随温度x(单位：℃)变化的规律，收集数据如表：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(k)eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,7,)(ki－eq\x\to(k))2eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\x\to(x))·(ki－eq\x\to(k))18663.81124.3142820.5其中ki＝lnyi，eq\x\to(k)＝eq\f(1,7)eq\i\su(i＝1,7,k)i.(1)请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y＝bx＋a与y＝哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的经验回归方程类型(只做出判断，不必说明理由)；(2)当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预测值为多少？参考公式：对于一组数据(ui，vi)(i＝1,2,3，…，n)，其经验回归直线eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(β,\s\up6(^))u＋eq\o(α,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).参考数据：e5.2≈181.解(1)绘出的散点图如图所示，根据散点图判断y＝更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型．(2)∵y＝，设k＝lny，则k＝c2x＋lnc1，先建立k关于x的经验回归方程．∴c2＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)xi－\x\to(x)ki－\x\to(k),\i\su(i＝1,7,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(20.5,112)≈0.2，lnc1＝eq\x\to(k)－c2eq\x\to(x)＝3.8－0.2×18＝0.2，∴c1＝e0.2，y＝＝e0.2x＋0.2，当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预测值为e5.2≈181.二、幂函数模型y＝αxβ(α＞0)例2某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))246.65636.8289.81.6eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))1469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋deq\r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的经验回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预测值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预测值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).解(1)由散点图可以判断，y＝c＋deq\r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的经验回归方程类型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y关于w的经验回归方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y关于x的非线性经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预测值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6(t)，年利润z的预测值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32(千元)．②根据(2)的结果知，年利润z的预报值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以当eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24时，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预测值最大．反思感悟幂函数型问题的处理方法幂函数型y＝axn(n为常数，a，x，y均取正值)两边取常用对数lgy＝lg(axn)，即lgy＝nlgx＋lga，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y′＝lgy，,x′＝lgx，))原方程变为y′＝nx′＋lga，然后按线性回归模型求出n，lga.跟踪训练2某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如表数据：x12345678y1126144.53530.5282524根据以上数据，绘制了散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y＝a＋eq\f(b,x)和指数函数模型y＝cedx分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝96.54e－0.2x，lny与x的样本相关系数r1＝－0.94.参考数据eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中ui＝\f(1,xi)))：eq\i\su(i＝1,8,u)iyieq\x\to(u)eq\x\to(u)2eq\i\su(i＝1,8,u)eq\o\al(2,i)183.40.340.1151.53eq\i\su(i＝1,8,y)ieq\i\su(i＝1,8,y)eq\o\al(2,i)eq\r(0.61×6185.5)e－236022385.561.40.135(1)用反比例函数模型求y关于x的非线性经验回归方程；(2)用样本相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本．参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\x\to(u)\x\to(v),\i\su(i＝1,n,u)\o\al(2,i)－n\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u)，样本相关系数r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\x\to(u)\x\to(v),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,n,u)\o\al(2,i)－n\x\to(u)2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,n,v)\o\al(2,i)－n\x\to(v)2)))).解(1)令u＝eq\f(1,x)，则y＝a＋eq\f(b,x)可转化为y＝a＋bu，先建立y关于u的经验回归方程，因为eq\x\to(y)＝eq\f(360,8)＝45，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,u)iyi－8\x\to(u)\x\to(y),\i\su(i＝1,8,u)\o\al(2,i)－8\x\to(u)2)＝eq\f(183.4－8×0.34×45,1.53－8×0.115)＝eq\f(61,0.61)＝100，则eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(u)＝45－100×0.34＝11，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝11＋100u，所以y关于x的非线性经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝11＋eq\f(100,x).(2)y与eq\f(1,x)的相关系数为r2＝eq\f(\i\su(i＝1,8,u)iyi－n\x\to(u)\x\to(y),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,8,u)\o\al(2,i)－8\x\to(u)2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\i\su(i＝1,8,y)\o\al(2,i)－8\x\to(y)2))))＝eq\f(61,\r(0.61×6185.5))≈0.99.因为|r1|＜|r2|，所以用反比例函数模型拟合效果更好，当x＝10时，y＝eq\f(100,10)＋11＝21(元)，所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元．1．知识清单：(1)指数函数模型．(2)幂函数模型．2．方法归纳：转化思想．3．常见误区：非线性经验回归方程转化为经验回归方程时的转化方法．1．给出下列说法：①以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出非线性经验回归方程，设z＝lny，经计算得到经验回归方程eq\o(z,\s\up6(^))＝0.3x＋4，则c，k的值分别是e4和0.3；②根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据，得到经验回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，若eq\o(b,\s\up6(^))＝2，eq\x\to(x)＝1，eq\x\to(y)＝3，则eq\o(a,\s\up6(^))＝1；③若变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关．其中正确说法的个数是()A．0B．1C．2D．3〖答案〗C〖解析〗由非线性经验回归方程的求解过程可知①正确；易知②正确；根据y与z正相关，y与x负相关，可知x与z负相关，③错误．2．已知变量y关于x的非线性经验回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝ebx－0.5，其一组数据如表所示：x1234yee3e4e6若x＝5，则预测y的值可能为()A．e5B．C．e7D．〖答案〗D〖解析〗由eq\o(y,\s\up6(^))＝ebx－0.5，可得lneq\o(y,\s\up6(^))＝bx－0.5