2024春新教材高中数学第八章立体几何初步8.3.2圆柱圆锥圆台球的表面积和体积分层演练含解析新人教A版必修第二册

PAGE圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积A级基础巩固1.若一飞行昆虫被长为12cm的细绳绑在房间两垂直墙面与天花板形成的交点处,则飞行昆虫活动范围的体积为 ()A.144πcm3 B.288πcm3C.576πcm3 D.864πcm3解析:飞行昆虫活动的范围是以墙角为球心,半径为12cm的球在房间内的部分,即整个球的18,所以飞虫活动范围的体积为18×43288π(cm3).答案:B2.假如轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于()A.π B.2π C.4π D.8π解析:设圆柱的底面半径为r,则圆柱的母线长为2r,由题意得S圆柱侧=2πr×2r=4πr2=4π,所以r=1,所以V圆柱=πr2×2r=2πr3=2π.答案:B3.若表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切,则这个多面体的体积为 ()A.13Q B.Q C.43Q解析:由4πR2=64π,得R=4,所以V=13QR=4答案:C4.如图所示,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则V1V2解析:设球的半径为r,则V1V2=π5.已知圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm,它的侧面绽开图的扇环的圆心角是180°,求圆台的表面积.解:如图所示,设圆台的上底面周长为ccm,由于扇环的圆心角是180°,则c=π·SA=2π×10,所以SA=20cm.同理可得SB=40cm.所以AB=SB-SA=20cm.所以S表=S侧+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1100π(cm2).B级实力提升6.将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为()A.63cm B.6cmC.2318cm D.33解析:设圆锥中水的底面半径为rcm,由题意知13πr2×3r=π×22×6,得r=23,所以水面的高度是3×23=6(cm)答案:B7.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为81π4解析:如图所示,设球半径为R,底面中心为O'且球心为O.因为在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,所以AO'=2.因为PO'=4,所以在Rt△AOO'中,AO2=AO'2+OO'2,所以R2=(2)2+(4-R)2,解得R=94所以该球的表面积为4πR2=4π×(94)2=81π8.如图所示,一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,其中有一个高为xcm的内接圆柱.(1)试用x表示圆柱的侧面积.(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?最大是多少?解:(1)依据题意画出轴截面图,如图所示,设圆柱的半径为r,则依据三角形相像可得,r2=6-x6,则rS圆柱侧=2πrx=2π（2-x3）x=4πx-2π3x2,x∈(2)由(1)知,当x=-4π2(-2π3)所以当圆柱的高为3cm时,它的侧面积最大为6πcm2.9.若一个底面边长为62,侧棱长为6的正六棱柱的全部顶点都在一个球面上,求该球的体积和表面积解:如图所示,连接BE,BE1.可知BE=2DE,所以BE=6.在Rt△BEE1中,BE1=BE2+所以2R=23,则R=3,所以球的体积V球=43πR3=43球的表面积S球=4πR2=12π.C级挑战创新10.多空题如图所示,该几何体是一棱长为4cm的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一个直径为2cm、深为1cm的圆柱形洞,则挖洞后几何体的体积是60.86cm3,表面积是102.28cm2.(π取3.14)解析:挖洞后几何体的体积V=43-3.14×12×1=60.86(cm3).正方体的表面积为S=4×4×6=96(cm2),圆柱的侧面积为2π×1×1=2