2025版高考数学一轮复习第七章立体几何第三讲空间点直线平面之间的位置关系学案含解析新人教版

PAGE第三讲空间点、直线、平面之间的位置关系学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点一平面的基本性质公理1：假如一条直线上的__两点__在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公理2：过__不共线__的三点，有且只有一个平面．公理3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们__有且只有一条__过该点的公共直线．学问点二空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥ba∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α学问点三异面直线所成角、平行公理及等角定理(1)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的__锐角或直角__叫做异面直线a与b所成的角．②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．(2)平行公理平行于同一条直线的两条直线__平行__．(3)等角定理空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__相等或互补__．eq\x(归)eq\x(纳)eq\x(拓)eq\x(展)异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．用符号可表示为：若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线AB与l是异面直线(如图)．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)假如两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a．(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的随意一条直线．(×)(3)假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)两两相交的三条直线共面．(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(×)题组二走进教材2．(必修2P52B组T1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与A．30° B．45°C．60° D．90°[解析]连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠3．(必修2P45例2)如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA上的点，(1)若eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,HD)且eq\f(CF,FB)＝eq\f(CG,GD)，则E、F、G、H是否共面．__共面__．(2)若E、F、G、H分别为棱AB、BC、CD、DA的中点，①当AC，BD满意条件__AC＝BD__时，四边形EFGH为菱形；②当AC，BD满意条件__AC＝BD且AC⊥BD__时，四边形EFGH为正方形．题组三走向高考4．(2024·新课标Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(B)A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线[解析]∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，M是线段ED的中点，∴BM⊂平面BDE，EN⊂平面BDE，∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，∴直线BM，EN是相交直线，设DE＝a，则BD＝eq\r(2)a，∵平面ECD⊥平面ABCD，∴BE＝eq\r(\f(3,4)a2＋\f(5,4)a2)＝eq\r(2)a，∴BM＝eq\f(\r(7),2)a，EN＝eq\r(\f(3,4)a2＋\f(1,4)a2)＝a，∴BM≠EN，故选B．5．(2024·新课标Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(15),5)C．eq\f(\r(10),5) D．eq\f(\r(3),3)[解析]解法一：如图所示，补成四棱柱ABCD－A1B1C1D1连DC1、BD，则DC1∥AB1，∴∠BC1D即为异面直线AB1与BC1所成的角，由题意知BC1＝eq\r(2)，BD＝eq\r(22＋12－2×2×1×cos60°)＝eq\r(3)，C1D＝eq\r(5)，∴BCeq\o\al(2,1)＋BD2＝C1D2，∴∠DBC1＝90°，∴cos∠BC1D＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5)．故选C．解法二：如图所示，分别延长CB，C1B1至D，D1，使BD＝BC，B1D1＝B1C1，连接DD1，B1D由题意知，C1B綊B1D，则∠AB1D即为异面直线AB1与BC1所成的角．连接AD，在△ABD中，由AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD，得AD＝eq\r(3)．又B1D＝BC1＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(5)，∴cos∠AB1D＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋B1D2－AD2,2AB1·B1D)＝eq\f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5)．解法三：(理)(向量法)如图建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,0,1)，C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，1))，从而eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)，1))，记异面直线AB1与BC1所成角为θ，则cosθ＝eq\f(|\o(AB1,\s\up6(→))·\o(BC1,\s\up6(→))|,|\o(AB1,\s\up6(→))|·|\o(BC1,\s\up6(→))|)＝eq\f(2,\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5)，故选C．考点突破·互动探究考点一平面基本性质的应用——自主练透例1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．[解析](1)证明：∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD．在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH．∴E，F，G，H四点共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．注：本题(2)可改为：求证GE、HF、AC三线共点．名师点拨1．证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．2．点、线共面的常用判定方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)协助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最终证明平面α，β重合．3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．〔变式训练1〕如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA[解析](1)如图，连接EF，CD1，A1B．因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B．又A1B∥CD1，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF＜CD1，所以CE与D1F设交点为P，则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA所以P∈直线DA．所以CE，D1F，DA考点二空间两条直线的位置关系——师生共研例2(1)(2024·上海)已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满意：a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a、b、c不行能满意以下哪种关系(B)A．两两垂直 B．两两平行C．两两相交 D．两两异面(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为__③④__(注：把你认为正确的结论序号都填上)．[解析](1)如图1，可得a、b、c可能两两垂直；如图2，可得a、b、c可能两两相交；如图3，可得a、b、c可能两两异面；故选B．(2)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故①错；取DD1中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故③正确；同理④名师点拨1．异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设动身，经过严格的推理，导出冲突，从而否定假设，确定两条直线异面．此法在异面直线的判定中常常用到．(2)判定定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．2．判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质．(2)平行四边形的对边平行．(3)平行线分线段成比例定理．(4)公理：若a∥b，b∥c，则a∥c．〔变式训练2〕(1)(2024·甘肃诊断)如图为正方体表面的一种绽开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有__3__对．(2)(2024·湘潭调研改编)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形是(C)A．①③ B．②③C．②④ D．②③④[解析](1)画出该正方体的直观图如图所示，其中异面直线有(AB，GH)，(AB，GD)，(GH，EB)．故共有3对．故答案为3．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉HG，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉平面GMN，G∉MN因此GH与MN异面，故选C．考点三异面直线所成的角——师生共研例3(1)(2024·广西玉林模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点，则异面直线D1E与A1FA．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(3),6)(2)(2024·山东泰安模拟)如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是(C)A．eq\f(5,8) B．eq\f(\r(5),8)C．eq\f(7,8) D．eq\f(\r(7),8)(3)若两条异面直线a、b所成角为60°，则过空间一点O与两异面直线a、b所成角都为60°的直线有__3__条．[解析](1)解法一：(平移法)如图，连接BE，BF、D1F由题意知BED1F∴D1E∥BF，∴异面直线D1E与A1F所成角为A1F与BF所成锐角，即∠A1连接A1B，设AB＝2，则在△A1BF中，A1B＝2eq\r(2)，BF＝eq\r(5)，A1F＝eq\r(AA\o\al(2,1)＋AD2＋DF2)＝3，∴cos∠A1FB＝eq\f(A1F2＋BF2－A1B2,2·A1F·BF)＝eq\f(9＋5－8,2×3×\r(5))＝eq\f(\r(5),5)．∴异面直线D1E与A1F所成的角的余弦值为eq\f(\r(5),5)．故选A．解法二：(理)(向量法)如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，异面直线D1E与A1F所成角为θ则eq\o(D1E,\s\up6(→))＝(2,1,0)，eq\o(A1F,\s\up6(→))＝(－2,1，－2)，∴cosθ＝eq\f(|\o(D1E,\s\up6(→))·\o(A1F,\s\up6(→))|,|\o(D1E,\s\up6(→))|·|\o(A1F,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,\r(5)×3)＝eq\f(\r(5),5)．故选A．(2)连接ND，取ND的中点E，连接ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN＝eq\r(AB2－BN2)＝2eq\r(2)，∴ME＝eq\r(2)＝EN，MC＝2eq\r(2)，又∵EN⊥NC，∴EC＝eq\r(EN2＋NC2)＝eq\r(3)，∴cos∠EMC＝eq\f(EM2＋MC2－EC2,2EM·MC)＝eq\f(2＋8－3,2×\r(2)×2\r(2))＝eq\f(7,8)．故选C．(3)如图，过O分别作a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成角为60°，如图易知过O与a′、b′所成角都为60°的直线有3条，即与a，b所成角都为60°的直线有3条．[引申1]本例(2)中MN与BD所成角的余弦值为__eq\f(\r(7),3)__．[解析]取CD的中点H，连DN，NH，MH，则NH∥BD，∠HNM为异面直线MN与BD所成的角，由题意知AN＝2eq\r(2)，从而MN＝eq\r(7)，又NH＝eq\f(3,2)＝MH，∴cos∠HNM＝eq\f(\f(1,2)MN,NH)＝eq\f(\r(7),3)．[引申2]本例(3)中与异面直线a、b所成角都为75°的直线有__4__条．注：与异面直线所成角都为θ，则(1)0＜θ＜eq\f(π,6)时，0条；(2)θ＝eq\f(π,6)时，1条；(3)eq\f(π,6)＜θ＜eq\f(π,3)时，2条；(4)eq\f(π,3)＜θ＜eq\f(π,2)时，4条；(5)θ＝eq\f(π,2)时，1条．名师点拨求异面直线所成角的方法1．平移法(1)一作：依据定义作平行线，作出异面直线所成的角．(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角．(3)三求：解三角形，求出所作的角．注：①为便于作出异面直线所成角，可用补形法，如将三棱柱补成四棱柱；②留意余弦定理的应用．2．(理)向量法建立空间直角坐标系，利用公式|cosθ|＝eq\f(|m·n|,|m||n|)求出异面直线的方向向量的夹角．若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角．〔变式训练3〕(1)(2024·山西运城调研)如图，等边△ABC为圆锥的轴截面，D为AB的中点，E为弧BC的中点，则直线DE与AC所成角的余弦值为(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(3,4)(2)(2024·黑龙江师大附中期中)直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1，则直线A1B与AC1A．30° B．60°C．90° D．120°[解析](1)取BC的中点O，连接OE，OD，∵D为AB的中点，∴OD∥AC，∴∠EDO即为DE与AC所成的角，由E为eq\o\ac(BC,\s\up8(︵))的中点得OE⊥BC，又平面ABC⊥平面BCE，∴OE⊥平面ABC，从而OE⊥OD，设正△ABC的边长为2a，则OD＝a＝OE∴cos∠EDO＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)，故选C．(2)解法一：(平移法)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，连接A1C，A1C∩AC1＝O，则O为A1C的中点，取BC的中点H，连接OH，则OH∥A1B，∴∠AOH或其补角即为直线A1B设AB＝AC＝AA1＝1，则BC＝eq\r(2)，易得AO＝AH＝OH＝eq\f(\r(2),2)，∴三角形AOH是正三角形，∴∠AOH＝60°，即异面直线所成角为60°．故选B．解法二：(理)(向量法)如图建立空间直角坐标系，不妨设AB＝1，A1B与AC1所成角为θ，则eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，eq\o(AC1,\s\up6(→))＝(0,