高三数学第一轮总复习课件：空间向量及其运算

高三数学第一轮总复习六：空间向量及其运算向量与向量的加减法实数与向量的积平面向量的坐标表示平面向量的数量积空间向量及其运算空间向量在立体几何中的应用要点·疑点·考点课前热身

能力·思维·方法

延伸·拓展误解分析第1课时向量与向量的加减法要点·疑点·考点1.向量的有关概念

(1)既有大小又有方向的量叫向量，长度为0的向量叫零向量，长度为1个单位长的向量，叫单位向量.(2)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量.规定零向量与任一向量平行.(3)长度相等且方向相同的向量叫相等向量.2.向量的加法与减法

(1)求两个向量和的运算，叫向量的加法，向量加法按平行四边形法则或三角形法则进行.加法满足交换律和结合律.(2)求两个向量差的运算，叫向量的减法.作法是连结两向量的终点，方向指向被减向量.返回课前热身1BC1.已知a,b方向相同，且|a|=3，|b|=7，则|2a-b|=_____.

2.如果AB=a,CD=b，则a=b是四点A、B、D、C构成平行四边形的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件3.a与b为非零向量，|a+b|=|a-b|成立的充要条件是()(A)a=b(B)a∥b(C)a⊥b(D)|a|=|b|CB返回4.下列算式中不正确的是()

(A)AB+BC+CA=0

(B)AB-AC=BC(C)0·AB=0

(D)λ(μa)=(λμ)a

5.已知正方形ABCD边长为1，AB=a,BC=b,AC=c,则a+b+c的模等于()(A)0(B)3(C)22(D)2能力·思维·方法【解题回顾】本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.引导学生在理解的基础上加以记忆.1.给出下列命题：①若|a|=|b|，则a=b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a=b,b=c，则a=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b；⑤若a∥b,b∥c，则a∥c.其中，正确命题的序号是______②，③【解题回顾】解法1系应用向量加、减法的定义直接求解；解法2则运用了求解含有未知向量x,y的方程组的方法2.在平行四边形ABCD中，设对角线AC=a,BD=b，试用a,b表示AB，BC.3.如果M是线段AB的中点，求证：对于任意一点O，有

OM=(OA+OB)【解题回顾】选用本例的意图有二，其一，复习向量加法的平行四边形法则，向量减法的三角形法则；其二，向量内容中蕴涵了丰富的数学思想，如模型思想、形数结合思想、分类讨论思想、对应思想、化归思想等，复习中要注意梳理和领悟.本例深刻蕴涵了形数结合思想与分类讨论思想.返回【解题回顾】(1)以上证明实际上给出了所证不等式的几何解释；(2)注意本题证明中所涉猎的分类讨论思想、化归思想.返回4.对任意非零向量a,b，求证：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.

【解题回顾】充分利用等腰直角三角形这两个条件，转化为|AB|=|BC|，AB⊥BC延伸·拓展5.在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°,AB=(1，3)，分别求向量BC、AC返回误解分析2.需要分类讨论的问题一定要层次清楚，不重复，不遗漏.1.在向量的有关习题中，零向量常被忽略(如能力·思维·方法1.⑤中)，从而导致错误返回要点·疑点·考点课前热身

能力·思维·方法

延伸·拓展误解分析第2课时实数与向量的积要点·疑点·考点2共线定理.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa1.实数与向量的积的概念.(1)实数λ与向量a的积记作λa，其长度|λa|=|λ||a|；方向规定如下：当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.(2)设λ、μ为实数，则有如下运算律：λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb3.平面向量基本定理如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a=λ1e1+λ2e2,其中e1，e2叫基底.返回1.设命题p：向量b与a共线，命题q:有且只有一个实数λ，使得b=λa,则p是q的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件2.给出下列命题：①若a,b共线且|a|=|b|，则(a-b)∥(a+b)；②已知a=2e,b=3e，则a=3b/2；③若a=e1-e2

,b=-3e1+3e2，且e1≠e2，则|a|=3|b|；④在△ABC中，AD是BC上的中线，则AB+AC=2AD其中，正确命题的序号是___________3.(1)在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,那么用a和b表示向量AC+DB为()(2)已知平行四边形ABCD的对角线交于点E，设AB=e1，AD=e2，则用e1,e2表示ED的表达式为()(A)2a(B)2b(C)0

(D)a+b

课前热身B①，④ABD

返回4.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(-1，3)，若点C满足OC=αOA+βOB，其中a、β∈R，且α+β=1,则点C的轨迹方程为()(A)3x+2y-11=0(B)(x-1)2+(y-2)2=5(C)2x-y=0(D)x+2y-5=05.设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点，BC=a,DA=b，则PQ=_____________能力·思维·方法1.设e1，e2是两个互相垂直的单位向量，且a=-(2e1+e2)，b=e1-λe2.(1)若a∥b，求λ；(2)若a⊥b，求λ.

【解题回顾】a∥b<=>a=λb(b≠0),a⊥b<=>a·b=0

2.设△ABC的重心为G，点O是△ABC所在平面内一点，求证：

OG=(OA+OB+OC)

【解题回顾】当点O是△ABC重心时，有OA+OB+OC=0；反过来，若P是△ABC所在平面内一点，且PA+PB+PC=0，则P必为△ABC的重心.事实上，由PA+PB+PC=0得：(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0，所以OP=(OA+OB+OC)，故P是△ABC的重心3.已知OA、OB不共线，设OP=aOA+bOB，求证：A、P、B三点共线的充要条件是a+b=1.

【解题回顾】由本题证明过程可知，若P是AB中点，则有OP=(OA+OB).利用本题结论，可解决一些几何问题.4.E是□ABCD的边AB上一点，AE/EB=1/2，DE与对角线AC交于F，求AF/FC.(用向量知识解答)

【解题回顾】利用例3结论，本题还可这样：设AE=e1，AD=e2，∵D、F、E共线，∴可设AF=λe1+(1-λ)e2，又易知AC=3e1+e2根据A、F、C三点共线可得λ=3/4，故AF/FC=1/3.另外还可以用坐标运算的方法来解，略.

返回延伸·拓展5.如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC=3AD，设BA=a,BC=b，以a,b为基底表示EF，DF，CD.

【解题回顾】本题实际上是平面向量的基本定理的应用.由于BA与BC是不共线的两个向量，因此平面上的任何一个向量都可以用它们表示出来.

返回误解分析1.很多人认为“若a∥b，则存在唯一实数λ使b＝λa.”这是典型错误.事实上，它成立的前提是a≠0.同样，在向量基本定理中，若e1，e2是共线向量，则不能用e1，e2表示与它们不共线的向量.2.在能力·思维·方法3中，充要条件的证明极易混乱，一定要分清条件和结论.另外，向量上的箭头不要丢掉，如把0写成了0.

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能力·思维·方法

延伸·拓展误解分析第3课时平面向量的坐标表示要点·疑点·考点1.平面向量的坐标表示(1)a＝(x，y)叫向量的坐标表示，其中x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R.则a+b＝(x1+x2，y1+y2)，a-b＝(x1-x2，y1-y2)，λa＝(λx1，λy1)(3)a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1＝02.线段的定比分点(1)定义：设P1、P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1、P2的任一点，则存在一个实数λ，使P1P＝λPP2，λ叫点P分有向线段P1P2所成的比，点P叫定比分点.(2)公式：设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P＝λPP2，则当λ＝1时，为中点坐标公式.返回3.平移设原坐标P(x，y)按向量a(h，k)平移后得到新坐标则1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的两点，点P(x，y)的坐标由公式

确定.当λ∈R且λ≠-1时有()(A)P表示直线AB上的所有点(B)P表示直线AB上除去A的所有点(C)P表示直线AB上除去B的所有点(D)P表示直线AB上除去A、B的所有点课前热身C2.若对n个向量a1、a2、…、an，存在n个不全为零的实数k1、k2、…、kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1、a2、…、an为“线性相关”，依此规定，能使a1=(1,0)，a2=(1,-1)，a3=(2,2)“线性相关”的实数k1、k2、k3依次可取的值是___________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)

-4，2，13.三点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)共线的充要条件是()(A)x1y2-x2y1＝0(B)(x2-x1)(x3-x1)＝(y2-y1)(y3-y1)(C)(x2-x1)(y3-y1)＝(x3-x1)(y2-y1)(D)x1y3-x3y1＝0

C返回B4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c等于()5.函数y=x2的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数表达式为()(A)y=(x-2)2-1(B)y=(x+2)2-1(C)y=(x-2)2+1(D)y=(x+2)2+1

C能力·思维·方法【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底，i＝(1，0)，j＝(0，1)分别是直角坐标系横、纵两个方向的单位向量，用i、j表示向量时，xi+yj中的x、y是惟一的，即为向量的(直角)坐标.两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等.1.设x、y为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示c.(1)若给定a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(-3，-5)；(2)若给定a＝(5，2)，b＝(-4，3)，c＝(-3，-5).【解题回顾】设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.用坐标形式来表示就是a∥b<=>x1y2-x2y1＝0.而x1/x2＝y1/y2是a∥b的充分不必要条件.

2.已知在梯形ABCD中，AB∥CD，A(1，1)，B(3，-2)，C(-3，-7)，若AD∥(BC-2AB)，求D点坐标.3.已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB上取一点P，过P作直线与BC平行交AC于Q，△APQ与梯形PQCB的面积之比是4∶5，求点P的坐标.

【解题回顾】一般地，函数y＝f(ωx)的图象按a＝(h，k)平移后所得图象的解析式为y-k＝f[ω(x-h)]，即y＝f[ω(x-h)]+k.返回4.若函数y＝log2(2x-4)+1的图象按a平移后图象的解析式为y＝log22x，求a.

延伸·拓展返回【解题回顾】本题(2)是一道开放题，求解开放题的一般途径是假定命题成立.解出存在的值(如无解，则不存在)，再验证求出的解，如不矛盾，则存在.

5.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP＝OA+tAB，试问：(1)t为何值时，P在x轴上?在y轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.

1.利用定比分点解题时，一定要先把定比λ先明确，λ的意义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错.误解分析2.利用平移公式解题时，一定要分清原坐标与新坐标之间关系.返回要点·疑点·考点课前热身

能力·思维·方法

延伸·拓展误解分析第4课时平面向量的数量积要点·疑点·考点2.平面向量的数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝λ·(a·b)＝a·(λ·b)(3)(a+b)·c＝a·c+b·c

1.平面向量的数量积的定义

(1)设两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫a与b的夹角，其范围是[0，π]，|b|cosθ叫b在a上的投影.(2)|a||b|cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.(3)几何意义是：a·b等于|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的积.

3.平面向量的数量积的性质设a、b是非零向量，e是单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ(2)a⊥b

a·b＝0(3)a·b＝±|a|·|b|(a与b同向取正，反向取负)(4)a·a＝|a|2或|a|＝√a·a(5)(6)|a·b|≤|a||b|返回4.平面向量的数量积的坐标表示

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2+y1y2，|a|2＝x21+y21，|a|＝√x21+y21，a⊥b<=>x1x2+y1y2＝0(2)(3)设a起点(x1，y1)，终点(x2，y2)则1.若向量a、b的坐标满足a+b=(-2,-1),a-b=(4,-3)，则a·b等于()(A)-5(B)5(C)7(D)-12.若a、b、c是非零的平面向量，其中任意两个向量都不共线，则()(A)(a)2·(b)2=(a·b)2(B)|a+b|＞|a-b|(C)(a·b)·c-(b·c)·a与b垂直(D)(a·b)·c-(b·c)·a=0

3.设有非零向量a,b,c，则以下四个结论(1)a·(b+c)=a·b+a·c；(2)a·(b·c)=(a·b)·c;(3)a=ba·c=b·c；(4)a·b=a·b.其中正确的是()(A)(1)、(3)(B)(2)、(3)(C)(1)、(4)(D)(2)、(4)课前热身ACA4.设a=(1,0),b=(1,1)，且(a+λb)⊥b，则实数λ的值是()(A)2(B)0(C)1(D)-1/25.已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·(b/5)＝-36，则a与b的夹角是()(A)60°(B)120°(C)135°(D)150°

DB返回能力·思维·方法【解题回顾】利用夹角公式待定n，利用垂直充要条件求c.1.已知a=(1,2),b=(-2,n)，a与b的夹角是45°(1)求b；(2)若c与b同向，且c-a与a垂直，求c2.已知x＝a+b，y＝2a+b且|a|＝|b|＝1，a⊥b.(1)求|x|及|y|；(2)求x、y的夹角.

【解题回顾】(1)向量模的计算方法常用的有两种，一是用距离公式，一是用a2＝|a|2把模的问题转化为平面向量的数量积的问题.(2)向量夹角的取值范围是[0，π].

【解题回顾】本题中，通过建立恰当的坐标系，赋予几何图形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.应深刻领悟到其中的形数结合思想.此外，题中坐标系建立的恰当与否很重要，它关系到运算的繁与简.

3.如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，用向量法证明：(1)PA＝EF；(2)PA⊥EF.

返回延伸·拓展4.已知向量a=(x,x-4)，向量b=(x2,3x/2),x∈[-4，2](1)试用x表示a·b

(2)求a·b的最大值，并求此时a、b夹角的大小.

【解题回顾】本题将向量与三次函数的最值问题溶于一体，考查知识的综合应用.返回【解题回顾】(1)是用数量积给出的三角形面积公式，(2)则是用向量坐标给出的三角形面积公式.5.在△ABC中，(1)若CA＝a，CB＝b，求证△ABC的面积(2)若CA＝(a1，a2)，CB＝(b1，b2)，求证：△ABC的面积

1．数量积作为向量的一种特殊运算，其运算律中结合律及消去律不成立，即a·(b·c)≠(a·b)·c，a·b＝a·c不能推出b＝c，除非是零向量.误解分析2．a⊥b的充要条件不能与a∥b的充要条件混淆，夹角的范围是[0，π]，不能记错.求模时不要忘了开方，以上是造成不全对的主要原因.返回要点·疑点·考点课前热身

能力·思维·方法

延伸·拓展误解分析第5课时空间向量及其运算要点·疑点·考点1.若a、b是空间两个非零向量，它们的夹角为θ(0≤θ≤π)，则把a、b的数量积定义为|a||b|cosθ，记作a·b.即a·b=|a||b|cosθ.

2.a·b=b·a，(a+b)·c=a·c+b·c返回3.若a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，则

a·b=x1x2+y1y2+z1z21.在以下四个式子：a+b·c，a·(b·c)，a(b·c)，|a·b|=|a|·|b|中正确的有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)0个2.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9)，如果a与b为共线向量，则()

(A)x=1,y=1(B)(C)(D)3.已知四边形ABCD中，AB=a-2c，CD=5a+6b-8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则EF=_______________课前热身AC3a+3b-5c返回4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下面给出四个命题：①(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2②A1C·(A1B1-A1A)=0.③AD1与A1B的夹角为60°④此正方体体积为：|AB·AB1·AD|

则错误命题的序号是______(填出所有错误命题的序号).

5.若A、B、C三点在同一条直线上，对空间任意一点O，存在m、n∈R，满足OC=m·OA+n·OB，则m+n=___.

③、④1能力·思维·方法1.已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b，OC=c，试用a,b,c来表示OG.

【解题回顾】(1)此例用到的常用结论为：若AD是△ABC的中线，则有(2)此例是常用结论即重心定理：当OA、OB、OC两两垂直时，在空间直角坐标系中，重心坐标公式为：2.已知正三棱锥P—ABC中，M，N分别是PA，BC的中点，G是MN的中点.求证：PG⊥BC.

【解题回顾】要证PG⊥BC，只要证PG·BC=0，应选择适当的基底：PA，PB，PC.

3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC交BD于O，G为CC1中点.求证：A1O⊥平面GBD.

【解题回顾】欲证A1O⊥平面GBD，只要证A1O垂直于面BDG中两条相交直线，易看出A1O⊥BD，而OG与A1O垂直较为易证.(注：此题亦可用空间坐标来证明).

4.沿着正四面体O—ABC的三条棱OA，OB，OC的方向有大小等于1，2和3的三个力f1，f2，f3，试求此三个力的合力f的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦.

返回【解题回顾】引入OA、OB、OC方向上的三个单位向量是本题得到解决的关键.

延伸·拓展5．已知三角形的顶点是A(1，-1，1)，B(2，1，-1)，C(-1，-1，-2)．试求这个三角形的面积.

返回【解题回顾】本题实际上是给出了三角形的“向量型”面积公式.到目前为止，你一共知道多少种求三角形面积的方法呢?

误解分析返回已知|a|=4，|b|=5，|a+b|=√21，求a·b．

【分析】确定两个向量的夹角，应将它们平移，使始点重合，这时这两个向量间的夹角

才是所要求的角．本题中∠ABC不是a与b的夹角，而是-a与b的夹角(试画图观察)，即a与b的夹角应是∠ABC的补角，所以要点·疑点·考点课前热身

能力·思维·方法

延伸·拓展误解分析第6课时空间向量在立体几何中的应用要点·疑点·考点2.向量a与b平行的充要条件为：|a·b|=|a|·|b|.1．向量a与b夹角θ满足：

若a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}则3.向量a与b垂直的充要条件为：

a·b=0即x1x2+y1y2+z1z2=0

返回1.四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线()(A)互不相交(B)至多有两条直线相交(C)三线相交于一点(D)两两相交得三个交点课前热身C2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中棱长为a，M，N分别

为A1B和AC上的点，A1M=AN=

a，则MN与平面

BB1C1C的位置关系是()(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能确定

B3.已知PA⊥⊙O所在的平面，AB为⊙O的直径，C是圆周上的任意一点(但异于A和B)，则平面PBC垂直于平面_________．

PAC4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为()(A)arccos(B)arccos(C)arccos(D)arccosD【解题回顾】空间两条直线之间的夹角是不超过90°的角．因此，如果按公式计算分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很多计算问题中经常被用到.5．P是二面角α-AB-β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°,∠MPN=60°，那么二面角α-AB-β的大小为()(A)60°(B)70°(C)80°(D)90°

D【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线.返回【解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线.6．设n是平面α的单位法向量，AB是平面α的一条斜线，其中A∈α，则AB与平面α所成的角为

；B点到平面α的距离为_________.AB·n能力·思维·方法【解题回顾】用向量求异面直线所成的角，可能会因为我们选择向量方向的缘故，而求得该角的补角．所以最后作答时要加以确认(取小于或等于90°的角作为异面直线所成角).

1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值.

【解题回顾】本题中，不失一般性，可以取OB=b=1，OC=c=1，这样使过程