平面向量的概念

6.1平面向量的概念一、教学内容及其解析1.内容：本单元教学包含1课时.向量的实际背景与概念，向量的几何表示，相等向量与共线向量．2.内容解析：内容的本质：本单元是向量的入门课，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习．在物理学中，位移、速度、力是既有大小又有方向的量，在数学中，我们可以以位移、速度、力等物理量为背景抽象出向量的概念．受由用带箭头的线段表示位移启发，教科书用有向线段直观表示向量．零向量、单位向量是特殊而重要的向量．平行向量、相等向量、共线向量对具有特殊而重要关系的向量进行刻画．蕴含的数学思想和方法：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，具有物理背景和几何背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．向量是从丰富的物理背景中抽象出来的，体现了数学抽象的过程.向量是沟通几何与代数的桥梁，因此数形结合是研究向量的重要的思想方法.由于向量与数量具有结构上的类似，因此在研究向量的过程中用到了类比的方法.知识的上下位关系：育人价值：向量是沟通几何与代数的桥梁，在数学和物理学科中具有广泛的应用．用向量语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的问题，能提升数学运算、直观想象和逻辑推理素养．教学重点：向量的概念，向量的几何表示，相等向量和共线向量的概念.二、学情分析学生学习过数量，可以类比着研究数量的内容、方法研究向量.向量是一个全新的概念，但是学生有生活经验和物理素材的认知基础，如物理学中的位移、力、速度等概念，所以不难理解向量的定义．共线向量与平行向量是等价的，只是名称的用词具有相应的针对性．学生知道两条直线的平行关系，这与向量的平行关系不完全一致，学生在学习的过程中可能会混淆。三、教学目标及其解析目标达成目标的标志1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景；初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别．通过类比用带箭头的线段表示位移，理解用有向线段表示向量，进而理解向量的表示.2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等定义．借助有向线段的长度和方向，理解向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等定义；能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系．四、教学问题诊断分析认知基础与将要达到水平的差异难点向量是一个全新的概念，但是学生有生活经验和物理素材的认知基础，如物理学中的位移、力、速度等概念，所以不难理解向量的定义．在学习向量的表示时会遇到困难，一是用符号表示时，往往会忘记字母是带箭头的，这是由于受实数书写习惯的负迁移所致；二是容易将有向线段与向量混为一谈．向量的概念共线向量与平行向量是等价的，只是名称的用词具有相应的针对性．两个共线向量并不一定要在同一条直线上，只要两个向量是平行向量，也就是共线向量，反之也对．向量的“平行”“共线”与平面几何中直线的平行和线段的共线容易混淆.共线向量的概念五、教学支持条件分析借助GGB或几何画板作图，能直观形象地理解向量的概念与表示．第1课时平面向量的概念（一）课时教学内容：向量的实际背景与概念，向量的几何表示，相等向量与共线向量．（二）课时教学目标：1.经历从位移、速度、力等现实中的常见现象，抽象出向量的过程，理解平面向量的概念，提升数学抽象的核心素养。2.经历由“有向线段表示位移”到“有向线段表示向量”的过程，知道有向线段的三要素，提升直观想象的核心素养。3.通过类比实数的体系来研究向量，掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；知道向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，提高数形结合、转化与化归的能力。（三）教学重点与难点1.教学重点：向量的概念，向量的几何表示，相等向量和共线向量的概念.2.教学难点：向量的概念和共线向量的概念.（四）教学过程设计第一阶段：学进去【环节一】诱思【问题1】请将下列各量按照一定的标准进行分类.速度、长度、面积、体积、质量、密度、位移、压强、力、频率、加速度．【预设】按照物理中的标量和矢量进行分类。标量：长度、面积、体积、质量、密度、压强、频率；矢量：速度、位移、力、加速度．【追问1】标量和矢量的区别是什么？【预设】标量只有大小；矢量既有大小又有方向.【追问2】在数学中，将以上的两类物理量进行抽象得到数量和向量，请你试着给出这两个量的定义.【预设】数量：只有大小没有方向的量叫做数量.向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量（vector）．【追问3】说一说向量与数量的区别与联系.【预设】向量两个要素：大小、方向；数量一个要素：大小.向量的大小是数量.设计意图：首先让学生感受到要研究的内容不是凭空设想的，是来源于现实世界；其次通过举例激活学生已有的相关经验，体会两种量之间的同与不同，形成区分两种量的必要性；然后通过比较、归纳两类典型丰富实例的共性，给出两种量的定义．问题1让学生经历“观察、辨别、分化、类比、抽象、建构”的过程.【环节二】导学【问题2】请你根据新知的研究路径，谈一谈该如何研究向量呢？【预设1】实际背景归纳共同属性概念表示性质应用【预设2】实际背景数量概念表示性质应用【预设3】我们已经从物理当中抽象出了向量的概念，接下来学习向量的表示.【追问】如何表示向量呢？你是怎么想到的？【预设】向量可以用一条带着箭头的线段表示，是从物理中的位移的表示抽象出来的.向量的几何表示法：【有向线段】在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段（directedlinesegment）（图6.1-2）．向量的符号表示法：，……注意：印刷用黑体a，书写用．【追问3】线段AB与线段BA是同一条线段，向量与向量是同一个向量吗？【预设】不是同一个向量，因为起点不同，方向不同.【追问4】说一说向量和有向线段的关系是什么？【预设】它们都是既有大小又有方向的量，但有向线段不是向量．有向线段的基本要素是起点、方向和长度；向量的基本要素是大小和方向．我们用有向线段表示向量，用有向线段的方向表示向量的方向，用有向线段的长度表示向量的大小，与起点的具体位置无关．【追问5】向量是一个二元概念，它的大小如何表示呢？【预设】可以用有向线段的长度表示.【向量的模】向量的大小称为向量的长度（或称模），记作．设计意图：先明确数学中新知的研究路径，引领学生站在系统的高度明确向量的学习过程。学生类比着数量的学习过程，能够自然地想要要研究向量的表示，这种类比的学习方式贯穿学生学习高中数学的始终。学生从熟悉的位移表示入手，体会用“带有方向的线段”表示向量的合理性；在教师的引导下，得到向量的几何表示以及向量的模的概念和表示。【特殊向量】长度为0的向量叫做零向量（zerovector），记作0．模等于1个单位长度的向量，叫做单位向量（unitvector）．设计意图：对于零向量和单位向量、引导学生在研究一组对象时，常常关注特殊对象；同时引导学生体会向量中的“零向量和单位向量”，类似于实数中的“零元和单位元”，为后续类比实数的运算研究向量做铺垫.【问题3】两个向量之间有哪些关系呢？【预设1】大小的角度：类比数量之间有大于、等于、小于关系，猜想向量也有类似的关系.【预设2】方向的角度：向量可以用有向线段表示，类比直线之间的位置关系，如：平行、垂直、相交【追问1】以上的猜想都是正确的吗？【预设1】数量有大小而没有方向，其大小有正数、负数和0之分，既可进行运算，又可比较大小；向量的模是正数或0，如图6.1-3左图所示，由于向量a和b的方向不能比较大小，于是|a|>|b|有意义，而a>b没有意义．所以不能说a>b，即使如图6.1-3右图所示，向量a和b的方向相同也不行．所以两个向量之间只有相等关系，但不能比较大小.【相等向量】长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equalvector）．表示：如图6.1-6，用有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b．注意：任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定．【预设2】表示两个向量的有向线段是平行关系，则这两个向量平行；表示两个向量的有向线段是垂直关系，则这两个向量垂直；表示两个向量的有向线段是重合关系，则这两个向量重合.【追问2】我们今天主要研究平行关系，这种关系，还有其他的表达方式吗？【预设1】两个向量方向相同或者相反，则这两个向量平行.【预设2】两个非零向量方向相同或者相反，则这两个向量平行.【平行向量】方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallelvectors）．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a．表示：向量a与b平行，记作a∥b．如图6.1-4，用有向线段表示的向量a与b是两个平行向量．【追问3】向量平行与线段平行有什么区别和联系?【预设】如图6.1-5，a,b,c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线，在上任取一点则可在上分别作出．这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上．线段共线，则它们一定在同一条直线上；线段平行，则它们不能在一条直线上．平行向量也叫做共线向量（collinearvectors）．设计意图：首先让学生体会研究问题的基本逻辑：向量概念和表示——特殊向量——两个向量之间的关系；其次，体会概念的重要性，对于两个向量之间的关系要从概念入手进行分析；还要避免向量的“平行”“共线”与平面几何中直线的平行和线段的共线相混淆，让学生认清平行向量与平行线、共线向量与共线线段的区别．第二阶段：讲出来【环节三】展示【问题4】请谈一谈你对向量的认识。【环节四】交流【问题5】请其余同学补充、质疑、交流。第三阶段：灵活用【环节五】示范【例1】在图6.1-7中，分别用向量表示地至两地的位移，并根据图中的比例尺，求出地至两地的实际距离（精确到）．【预设】表示地至地的位移，且____________；表示地至地的位移，且_____________.设计意图：这是一个简单的问题．要求用向量表示位移并求两点间的距离.画出有向线段表示位移，目的在于从向量的角度认识位移，以正确理解向量概念及其几何表示；两点间的距离就是相应有向线段的长度，也就是相应向量的模.【例2】如图6.1-8，设是正六边形的中心．（1）写出图中的共线向量；（2）分别写出图中与相等的向量．【预设】（1）是共线向量；是共线向量；是共线向量．（2）设计意图：结合正六边形的一些几何性质，让学生巩固相等向量和共线向量的概念，正六边形的边长等于其外接圆的半径，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有丰富的几何性质.学生可以利用正六边形的性质结合图形进行分析，还可以让学生判断向量是否相等，意在通过长度相等且方向相反的两个向量不相等，让学生从反面认识相等向量的概念，也为后继引入相反向量的概念进行铺垫.【环节五】模仿【练习1】判断下列命题的真假.（1）若a与b都是单位向量，则a=b．（2）若a与b是平行向量，则a=b．（3）若向量a//b,b//c,则a//c.（4）把表示单位向量的有向线段起点放到一起，终点形成一个圆.【预设】（1）假命题（2）假命题（3）假命题（4）真命题【环节六】迁移【练习2】如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？【预设】相等的非零向量共有24对.易知，则模为1的相等向量有18对，其中与同向的共有6对；与反向的也有6对；与同向的共有3对；与反向的也有3对.模为2的相等向量共有2对.模为的相等向量有4对.设计意图：结合正方形，直角三角形的一些几何性质，让学生进一步巩固相等向量的概念，这个过程中需要学生有分类讨论的意识，如何分类是这个问题需要突破的难点.【小结】请你谈谈本节课学了哪些内容，有什么体会。【追问1】我们研究的起点是什么？研究的基本路径是什么？【预设】实际背景归纳共同属性向量的概念几何表示特殊向量两个向量的关系【追问2】研究的过程中，用到了哪些思想方法呢？【预设】数学抽象、数形结合、类比【追问3】量分为两类，一类是数量，另一类是向量.对于向量你觉得后续还可以研究哪些内容？数量：实际背景数量实数运算及性质应用【预设】向量之间的运算，位置关系，应用.设计意图：回顾整理本节课研究的内容（基本知识和基本技能）、研究方法（基本思想方法）和研究路径（基本活动经验），让学生明确本节课学习的内容和要求．这个环节也承担章引言的作用，让学生知道本章研究的对象时什么.培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，进而发展学生数学抽象和直观想象的素养..（五）目标检测设计1.下列结论正确的是______（填写正确的序号）．（1）若a与b都是单位向量，则a=b．（2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．（3）直角坐标平面上的轴、轴都是向量．（4）若a与b