问题解决策略：归纳

第三章整式及其加减问题解决策略：归纳一、学习任务分析归纳是通过对个别具体对象的研究，得出一般性结论的方法，是人类认识事物、把握事物内在联系和本质规律的基本方法之一。虽然学生在以往的数学学习中已初步感受和运用过归纳的方法，但未形成丰富的经验和具体的认识。为丰富学生归纳经验、促进学生对归纳形成一定的理性认识，本专题在点题“归纳”后，先后提供图形规律、数字规律背景的问题，以理解、计划、实施、反思四个阶段呈现解题全过程，每个阶段通过指向元认知、迁移性强的问题串引导学生思考，完成阶段目标的同时体会归纳的适用情境，感悟归纳方法的重要意义，充分积累归纳经验，形成运用归纳策略解决实际问题的具体而深刻的认识。二、学生起点分析学生知识技能基础：在本章前面的学习中，学生借助对现实情境和简单问题中数量关系的分析，进一步理解了用字母表示数的意义，先后认识了代数式、整式等概念，进一步熟悉了用代数式描述具体问题中的数量关系，在此基础上研究了利用合并同类项法则和去括号法则进行简单的整式加减运算，并借助代数式探索和表达具体问题中的一般规律。学生活动经验基础：通过前面的学习，学生已初步认识了探索规律的方法，积累了一定的数学活动经验，但作为七年级的学生，思维正处于由形象化、发散性向抽象化、深刻化转变的过程中，对于问题解决的一般过程，即理解问题、拟订计划、实施计划、回顾反思等没有形成深刻的认识，运用归纳法研究规律探索问题的一般思路也没有完全建立，因此需要设计能激发兴趣、有一定挑战性的实际问题，通过问题的研究和解决提升抽象能力、模型观念和归纳推理能力。三、教学目标1.通过研究长方形中分割三角形的问题，经历运用理解问题、拟订计划、实施计划、回顾反思等四个步骤解决问题的一般过程，并能按照以上四个步骤解决类似的数学问题，提升分析问题和解决问题的能力。2.在具体情境中能从特例出发，通过分析和整理数据，形成猜想，并验证猜想的正确性，充分体会运用归纳策略的一般思路并归纳出一般步骤。3.运用归纳策略解决规律发现问题，进一步体会归纳策略的应用价值，增强数学的应用意识。教学重点1.解决问题过程中了解问题解决的四个步骤；2.运用归纳策略解决探索规律的问题，并对归纳的一般思路和步骤形成认识。教学难点1.了解运用问题解决的四个步骤解决问题的过程；2.能从操作层面明确并总结出归纳方法的基本步骤和一般思路。四、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：【第一环节】情境引入；【第二环节】理解问题；【第三环节】拟订计划；【第四环节】实施计划；【第五环节】回顾反思；【第六环节】巩固提升。【第一环节】情境引入1.活动内容（1）教师通过视频展示平面设计风格——低多边形风格。教师介绍低多边形风格：“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。它将整个区域分割为若干三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量增加，效果更为斑斓绚丽。将长方形区域分割成三角形的过程是：在长方形区域内取一定数量的点，连同长方形的4个顶点，逐步连接这些点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到长方形内所有区域都变成三角形。（利用计算机软件展示并说明，注意解释和强调“保证所有连线不再相交产生新的点”）（2）如果长方形画布内有35个点，可分得多少个三角形？2.活动目的播放低多边形风格的相关视频，让学生快速了解这是一种平面图案设计方法，使用计算机软件展示并讲解这种图案的生成过程，引导学生用数学眼光观察，并用数学思维思考其中的原理，同时创设跨学科问题情境激发学生的学习兴趣，为后面探索规律做铺垫。问题（2）由于点数多，学生不易回答，此时提示学生：可以先试着画一画，感受一下分割得到三角形的过程。经过尝试后教师追问：你遇到了什么困难？学生发现取的点很多，不容易画出图形，同时分割的三角形个数多，不容易数清楚。体会到按照步骤解决问题的重要性和必要性。3.实际效果学生观看视频后既为图片中形成的光影和立体效果而兴奋，又对其设计原理和方法感到好奇，这时教师亲自操作软件现场展示低多边形风格的设计过程，并说明其设计原理。学生经过思考认识到长方形中所分割的三角形区域随着点数的增加而增加，并且明确了点的个数与三角形个数之间有对应关系，顺利将实际问题转化为有待深入研究的数学问题。对于问题（2），学生尝试取点后，将长方形分割成若干三角形，发现难以直接得出答案，充分感受并认识到直接解决问题存在困难。教师引导学生明确解决问题的步骤：理解问题、拟订计划、实施计划、回顾反思。【第二环节】理解问题1.活动内容（1）先动手画一画，感受分割得到三角形的过程。（2）这个问题中的已知条件是什么？目标是什么？2.活动目的引导学生通过动手画图理解题意，使学生理解问题背景，明确已知条件和待解决的问题，并体会问题解决的第一个步骤的重要性。3.实际效果学生分析得出：①基础图形是长方形，在其内部取35个点；②问题中的目标是确定长方形区域内三角形个数。【第三环节】拟订计划1.活动内容（1）直接研究“长方形内有35个点”的情形，你遇到了什么困难？（2）哪些情形容易研究？从中你能发现什么规律？（3）你发现的规律正确吗？你能给出合理的解释吗？2.活动目的以问题串的形式引导学生结合已有经验，拟订研究该复杂问题的计划。引导学生从简单情况入手研究点的个数与三角形个数间的关系并形成猜想，表达猜想后进行验证，逐步深入形成计划。帮助学生较为完整地拟订计划，形成对实施步骤的一般认识。通过分析问题，明确形成从几个简单的情况出发寻找一般性结论的思路。拟订计划是解决问题的重中之重，要让学生充分体会选用归纳法的情境特征和必要性。3.实际效果因为点数太多，无从下手。引导学生回忆火柴棒拼正方形、菱形等图案的活动，想到可以先研究1个点、2个点、3个点等简单情况。学生分析出简单情况下更容易数出所分三角形的个数，从而找出取点的个数与分割的三角形个数之间的数量关系，寻找规律。在教师的提示和引导下想到需验证或解释规律，并用字母表达这个规律。经过几位学生的补充完善形成计划：在长方形中分别取1个点、2个点、3个点、4个点，分别确定三角形个数，找出所分割的三角形个数与所取点的个数之间的数量关系，表示规律并验证规律。【第四环节】实施计划1.活动内容（1）按照拟订的计划，利用学案纸上的长方形进行探索。（2）经过探索你有什么发现？（3）这个猜想是否合理？说说理由。2.活动目的依据拟订的计划进行操作，过程中检查每个步骤是否正确，最终得到问题的答案。利用数形结合、列表的思想和方法，分析和整理数据，形成猜想，并验证猜想的正确性，充分体会运用归纳的方法探索规律的过程。3.实际效果教学中，部分学生从1个点、2个点、3个点……分别画图展开研究：44个点1个点2个点3个点教师可追问：当我们数出点所对应的三角形的个数后，怎么记录下来更方便比较和研究呢？学生发现通过列表的方式记录和探索更方便。还有部分学生在同一个长方形中连续取1个点、2个点、3个点……从而发现，长方形内点的个数每增加1，三角形个数增加2。这时教师再追问：如果改变长方形中新增点的位置，结果还一样吗？学生发现不变。（学生回答后，可用计算机软件演示和验证）对于问题（3），学生经过思考和讨论得出：当取1个点时，有4个三角形。当取n个点时，有4+2(n‒1)个三角形。再增加一个点，即取(n+1)个点时，如上图所示，若该点在某个三角形内部，则原来的一个三角形分成3个三角形，增加了2个三角形；若该点在某条线段上，则连接该点和所在三角形的顶点，仍增加2个三角形。因此，当长方形内部有35个点时，实际有4+34×2=72个三角形。【第五环节】回顾反思1.活动内容（1）至此，我们已经经历了一个运用归纳法解决问题的完整过程。在此基础上，你还能提出什么问题呢？在刚才的研究过程中，从简单的情况入手有什么好处？通过简单情况归纳一般性结论，你积累了哪些经验？2.活动目的引导学生在解决问题后回顾归纳方法，进一步提问或拓展延伸，将结论推广到更一般的情况，进而深刻体会归纳方法的优势，并在更大范围的学习或解题经历中反思归纳的一般思路和方法。3.实际效果学生得出规律后很自然地回答了问题（1）：当长方形中有100个点时，有多少个三角形？当长方形中有n个点时，有多少个三角形？同时得出答案：分别有202个、(2n+2)个三角形。这时教师提炼总结：当我们得到2n+2这个代数式后，任意给一个n的值我们都能得到三角形个数，反过来，已知三角形个数，也能得出点的个数，这就是用字母表达规律的意义。经历了整个探索过程后，学生真切感受到问题（2）：从简单情况入手更容易发现规律，便于观察和猜想，同时经过师生共同讨论归纳出探索规律的一般过程：特例研究—初步发现—提出猜想—验证猜想—结论表达—拓展延伸。【第六环节（一）】巩固提升1.活动内容32024的个位数字是多少？请参照上面活动的四个阶段和解题过程完成。2.活动目的设计一个代数背景的探索规律问题，目的是通过解决不同类型的问题，让学生感受到归纳法在问题解决中的广泛作用，同时再一次巩固问题解决的四个步骤及归纳策略的一般思路。3.实际效果学生经过独立思考后，以小组为单位经历理解问题—拟订计划—实施计划—回顾反思等四个过程，归纳发现3n的个位数字是3，9，7，1依次循环，当n是4的整数倍时，个位数字为“1”，即32024的个位数字是1。n123456…3n392781243729…个位数字397139…【第六环节（二）】巩固提升（可根据学生情况确定是否进行以下内容拓展，或作为课后探究的内容）1.活动内容你还能提出什么问题？可以试着改变长方形的形状，例如，改为三角形、五边形……再试一试。2.活动目的可研究在m边形内取n个点分割三角形的个数问题。具体的研究方法与刚才长方形的情况相同，仍然用归纳法。11个点2个点3个点n个点(2n+1)个三角形…11个点2个点3个点n个点(2n+3)个三角形…猜想并验证“在m边形（m≥3且m是整数）中取n个点，可分割成(2n+m‒2)个三角形。”通过更为深入的研究，建立了一个更一般化的数学模型，当给定多边形边数m及点的个数n时，所分割的三角形个数就随之确定。五、教学反思归纳推理是一种思维过程，它并非表现在经验结果上，而是体现在思考与解决问题过程中。学生只有掌握了归纳推理的一般思维步骤，才能明晰自己接下来应该思考什么，研究什么，解决什么。本节课一开始就提出了跨学科情境下富有挑战性的数学问题，让学