考点16-高中数学二次函数与幂函数(解析版)

考点16二次函数与幕函数

【命题解读】

二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性

质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程(零点)、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求

解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；

【基础知识回顾】

1.塞函数

(1)基函数的定义

一般地，形如y=x"的函数称为幕函数,其中x是自变量，。为常数.

(2)常见的五种募函数的图象

⑶累函数的性质

①幕函数在(0,+8)上都有定义；

②当。〉0时，幕函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当。〈0时，哥函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)=af+6x+c(aW0).

顶点式：f(x)=a(x—4?+加口#。)，顶点坐标为(卬,n).

零点式：f(x)=a(x—荀)(x—X?)(aWO),Xi,莅为/'(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

函数y=ax+bx-\-c(a>0)y=ax+bx+c(水0)

图象

(抛物线)

定义域R

4ac-/(4ac~~廿

值域_4a，+8「8,4aJ

b

对称轴x=二四

顶点

(二*4aJ

坐标

奇偶性当6=0时是偶函数，当后0时是非奇非偶函数

在(互在(瓦

、—8,一狗上是减函数；、—8,一技上是增函数；

单调性

-b)上是增函数一b)上是减函数

在「五，+8在［一莱+8

［常用结论与微点提醒］

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

Ja>0,Ja<0,

2.若F(x)=ax2+6x+c(aW0),贝悄匕4时恒有f(x)>0；当j/〈()时，恒有F(x)〈O.

3.(1)幕函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；

(2)塞函数的图象过定点(1,1),如果幕函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

热身训I练

.

1、募函数y=/(x)的图象过点(4,2),则累函数y=/(x)的大致图象是()

【答案】C

【解析】(1)设幕函数的解析式为尸

因为幕函数尸f(x)的图象过点(4,2),

1

所以2=4",解得a=］.

所以y=4x,其定义域为［0,+8),且是增函数，当0</1时，其图象在直线y=x的上方，对照选项，C

正确.

2、已知〃，b,ceR,函数/(x)=Qx2+bx+c若/(O)=/(4)>^(D，则()

A.。>0,4。+匕=0B.Q<0,4〃+Z?=0

C.〃>0,2〃+/?=0D.”<0,24+6=0

【答案】A

b

【解析】由/(0)=/(4),得/(x)=〃N+/?x+c图象的对称轴为工=一五=2,.Ma+b：。,又/(0)y⑴,/(4)"

(1),・"(x)先减后增，于是〃>0,故选A

3、若二次函数>=近2—4x+2在区间［1,2］上是单调递增函数，则实数攵的取值范围为()

A.［2,+8)B.(2,+8)

C.(—8,0)D.(—8,2)

【答案】A

2

【解析】二次函数尸加一4x+2的对称轴为x=%当k>0时，要使函数y=kx—4x+2在区间［1,2］上

2

是增函数，只需又WL解得AN2.

2

当K0时，7<0,此时抛物线的对称轴在区间［1,2］的左侧，该函数夕=4/-4入+2在区间［1,2］上是

减函数，不符合要求.综上可得实数4的取值范围是［2,+8).

-7-

4、若函数y=N—3x+4的定义域为［0,m］,值域为4J,则根的取值范围为()

-3一

A.(0,4］B.|J,4_

-3-3

C.|J,3jD.2,+°°

【答案】C

<3^2717一

【解析】尸/一3x+4=(x—2)+1的定义域为［0,血，显然，在x=0时，y=4,又值域为_4，4_,根据

3

二次函数图象的对称性知5W/W3,故选C.

5、不等式x2+a|x|+4》0对一切实数x恒成立，则实数o的取值范围为()

A.［0,+8)B.［-4,+8)C.［-4,4］D.(-8,-4］

【答案】B

【解析】/(x)=x2+o|x|+4为偶函数；

当Q20,x>0时，函数化为/(x)=x2+ax+4,对称轴xVO,f(0)=4>0,不等式恒成立；

当。<0时，x>0时，函数化为/(x)=x2+ax+4,可得△=/-16W0显然成立

解得-4Wa＜0,

综上aC[-4,+8).

故选：B..

6、(2017徐州、连云港、宿迁三检)已知对于任意的XG(-8,1)宿(5,+«),都有6一2(。-2)x+a＞。,则

实数。的取值范围是▲.

【答案】(1,5]

【解析】当A=4(a—2)2—4。＜0,即54+4＜0，1＜。＜4时，满足题意;

当A=4(a—2)2—4。20,即々2—50+420，或时,

[1<一一如-2)<5

23＜。＜7

则</一2(。—2)+a20解之得,所以3VQ＜5,又因为或。之4,所以44〃＜5,

52-10(tz-2)+«>0a＜5

综上所述，实数。的取值范围为(1,5]。

♦典例.剖析

考向一幕函数的图像与性质

1.幕函数〉=/(%)的图像过点(4,2),则基函数y=/(x)的解析式为.

1

2.图中曲线是幕函数在第一象限的图像.已知a取±2,±5四个值，则相应于曲

线C1,。2,C3,C4的。值依次为.

3.已知函数兀0=(小一加一1)/5叱3,根为何值时，«x)是幕函数，且在(0,+oo)±是

增函数？

【答案】(1)/(%)=户.

11

(2)2,2，—2,-2(3)m=­l.

11

【解析】(1)令/(%)=格则4a=2,・・・a=2，J/(%)=户.

11

(2)：2,2，—2,-2

(3),函数危)=(源一加一1)%―5以-3是募函数,

Am2—m—1=1,解得m=2或m——\.

当机=2时，-5加一3=—13,函数y=/*在（0,+oo）上是减函数；

当m=一1时，一5M一3=2,函数y=N在（0,+s）上是增函数.—1.

变式1、已知幕函数黄x）=（"2+2〃—2）^2—3〃（〃ez）的图象关于y轴对称，且在（0,+8）上是减函数，则〃

的值为（）

A.13B.1

C.2D.1或2

【答案】B

【解析】•••塞函数f（x）=5+2〃-2）/2—3%（0,+8）上是减函数，

[n~\~2n—2=1,

•%-3水0,

又77=1时，F（X）=/之的图象关于y轴对称，故77=1.故选B.

变式2、若人=（5）,c=（2）,则〃，C的大小关系是（）

A.a<b<cB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】因为在第一象限内是增函数，所以a=D〉6=（1，，因为y=G）是减函数，所以a

mtrn所以ZXa<c.故选D.

方法总结：（1）塞函数的形式是尸/（。GR）,其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解析式.

⑵在区间（0,1）上，累函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在区间（1,+8）上，

塞函数中指数越大，函数图象越远离x轴.

（3）在比较暴值的大小时，必须结合募值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个

幕函数的图象和性质是解题的关键.

考向二一元二次函数的解析式

例2、（2）设"c>0,二次函数式尤）="2+法十。的图象可能是（填序号）.

(2)已知函数y(x)=N+?nx—1,若对于任意xG[机,冽+1],都有/(x)<。成立,则实数m的取值范围是

(3).已知二次函数八x)满足式2)=—1,式-1)=-1,且/U)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.

【解析】(1)由①③④知，y(o)=c<o.

b

Vabc>Ofab<Of;・对称轴x=——2〃>0，

知①，③错误，④符合要求.

b

由②知y(0)=c>0,.\^>0,：.x=-2a<0,②错误.

(2)作出二次函数负x)的草图，对于任意m+1],都有｛x)<0,

(/(m)<0,

则有<0,

Jm2H-An2—1<0,近

即j(m+1)2+m(m+1)-l<0,解得—2<小<()•

(3)法一(利用一般式)：

设危)—aR+bx+c(〃#0).

"4a+2b+c=­l,

Ja-b-\-c=—\,

由题意得]4ai

、―4a—=8,

。=一4,

解得,"=%

<=7.

所求二次函数为八x)=-4N+4x+7.

法二(利用顶点式)：

设兀。="(X—机)2+〃.

•••式2)=式-1)，

2d-1j_

抛物线的对称轴为x=-2—=2.

1

：.m=2-又根据题意函数有最大值8,，“=8.

.,.y=fix)=—2J2+8.

••7(2)=-1,.•.flG-2)2+8=-l,解得。=一4,

.\/(x)=—4(%—爹｝+8=—4/+4尤+7.

法三(利用零点式):

由已知«x)+1=0两根为xi=2,%2=-1,

故可设fix)+1=〃(x—2)(x+1)，

即《/(%)=oN—ax_2a一1.

4q—2a—1—

又函数有最大值ymax=8,即4a=8.

解得a=—4或a=0(舍).

，所求函数的解析式为段)=-4N+4%+7.

变式1变式、已知二次函数/(X)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任

意xGR,都有汽2—力=火2+力，则於)=.

【答案】X?—4x+3

【解析】因为/'(2—x)=f(2+x)对xGR恒成立，

所以y=f(x)的图象关于x=2对称.

又y=F(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,

22

所以/'(x)=0的两根为2—5=1或2+5=3.

所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0).

因此设f(x)=a(x—1)(x—3).

又点(4,3)在y=F(x)的图象上，

所以3a=3,则a=l.

故f(x)=(A■—1)(x—3)=*—4X+3

方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函

数解析式的形式，一般选择规律如下：

考向三根的分布问题

例3、(2019苏州期末)、已知函数/(x)=4无2-4ov+a+2(aeR).

(1)若/(x)的两个零点均小于2,求实数。的取值范围；

(2)方程/(方=0在(1,2)上有且只有一个实根，求实数a的取值范围.

解析(1)由题意，等价于<△>(),解得aW—1或2Wa〈亍.

/(2)^0

1O

(2)①当/⑴/(2)<。时，此时/'(尤)=。在(1,2)上有且只有一个实根，得2<a肯;

②当/⑴=0时，即。=2时，此时/(尤)=0有》=1,舍去；

③当/(2)=0时，即〃=1?8时，止匕时/(x)=0有x=2或x4舍去，

77

综上：2<a<一,

7

变式1、(2017苏锡常镇调研)已知函数/(尤)=4/-4办+a+2(aeR),若/(无)有一个小于1与一个大于2

的两个零点，求实数a的取值范围_____一

【答案】«>y

f/(l)<018

解析由题意，等价于£<0，解得口>三

变式2、已知函数/(无)=4尤2-4办+a+2(aeR),方程/(处=0在(1,2)上有实根，求实数a的取值范围.

解析1①当"1)/(2)<。时，此时了(沙=。在(1,2)上有且只有一个实根，得2<a<?；

②当/⑴=0时，即。=2时，此时/■(尤)=0有x=l,舍去；

③当〃2)=0时，即〃="时，此时/(x)=o有》=2或尤=2,舍去，

77

1<-<2

2

④当卜22时，此时〃x)=0在(1,2)上有两个实根，无解；

/(1)>0

J⑵>0

综上：2<a<—.

7

4r2+9

解析2方程即为a(4x-l)=4f+2,因为l<x<2时4x—1/0,于是"，

4元-1

令f=4x-le(3,7),设丫=生二/+2r+9,即40+2+2),/=1(1-1)>0,

-4x-lAt4t4L

所以了="1+巳Q+2)在fe(3,7)上单调递增，ye(2,1Q?),所以2〈”言1Q.

4t77

变式3、(2019常州期末)若方程依z+2x+1=0至少有一个正根，则实数”的取值范围是.

【答案】a<0

解析1记/(x)=ax2+2尤+1,

①当。=0时，f(x)=2x+l,f(x)=O解得x=」，不符合条件；

2

②当aw0时，

A=0

(i)当/(%)=。只有一个正根，且0不是它的根，则有。•/(Sv。或1八，解得。<0;

——>0

、a

A>0

(ii)当/(x)=0有两个不等正根，贝IJ-工>。，此时。无解，

a

«-/(0)>0

综上：实数a的取值范围是avo.

解析2因为x=O显然不适合方程6i?+2x+l=(),于是问题等价于“至少有一个正根，

X

］

记g(x)=-三?Y3+(x>0),g'(x)=2Y±+91>0(_r>0),所以g(无)在(。,田)上递增，且g(尤)e(0,y),

XX

所以实数a的取值范围是aV。

方法总结：对于一元二次函数根的分布问题，主要就是根据条件正确列出等价条件。可以从一元二次函数

的开口、对称轴和关键的点等入手。

考向四一元二次函数的最值问题

例4、已知函数y=4N—12尤+3.当xdR时，值域为；当尤G［2,3］时，值域为；

当xd［—1,5］时，值域为.

2.若函数y=N—2x+3在区间［0,加上有最大值3,最小值2,求实数机的取值范围.

3.求函数/(x)=N—2以在区间［0,1］上的最小值.

【解析】：L因为y=4x2—12X+3=4(J—£—6,所以

当x£R时，值域为［—6,+oo)；

3

当工£［2,3］时，分［2,3］,根据函数图象知函数在区间［2,3］上单调递增，故当x=2时，y取得最小值一5,

当x=3时，y取得最大值3,则值域为［—5,3］.

33

当工£［—1,5］时，—1,5］,则当x=5时，y取得最小值-6,当x=5时，y取得最大值43,故值域为［一

6,43］.

2,作出函数y=N—2x+3的图象如图.

由图象可知，要使函数在［0,加］上取得最小值2,则1£［0,m］,从而加21,

当％=0时，y=3；当％=2时，y=3,

所以要使函数取得最大值为3,则加32,

故所求相的取值范围为［1,2］.

3.fix)=x2—2ax=(x—a)2—cfi,对称轴为x=a.

(1)当aVO时，/U)在［0,1］上是增函数,

・\Xx)min=/(O)=O.

(2)当OgaWl时，X^)min=fia)=—a2.

(3)当〃>1时，段)在［0,1］上是减函数,

."./(X)min=fi1)=1—2«,

0,。<0,

综上所述,於)min=OK」

1—2a,〃>1.

3

变式1>(2019年泰州中学期末试题)求二次函数/(、)=办2+(2。-1)工-3(。W0)在区间-5,2上的最大值.

【解析】/(x)=flfx+—-(2a~ir-3,对称轴为x=-『

Vla)4a2a

①当a>0时

(i)当一网二时，2

即时，/(尤)=/(2)=8a-5；

2a41mx

(五)当一生二1>J"时，2

即0<。<弓时，/(x)

2a4111ax

②当avO时，~~也―-<0

2a

(i)当一片w—］时，即—lWa<0时，

2a2242

(ii)当时，即。<一1时，/Wmax=/(-^)=_3,

22a2a4a

---------------3,a<-1

4a

332

综上所述，/(初晔=4—〃—,——^.ciw0

425

2

8。-5,〃三不

变式2、函数f(x)=—x2+4x—1在区间［3t+l］(t£R)上的最大值为g⑺.

⑴求g⑺的解析式；

(2)求g⑺的最大值.

【解】⑴f(x)——x+4JT—1=—(x—2)?+3.

当t+l<2,即伙1时，F(x)在区间［［,2+1］上为增函数，，式+=F(t+1)=——+21+2；

当方W2WZ+L即1WHW2时,g(方)=f⑵=3；

当力2时，f(x)在区间［［，力+1］上为减函数，

g(方)=f(1)=—/+41—1.

—d+21+2,伙1,

综上所述，g(t)=3,W2,

、一一+42—1,t>2.

⑵当《1时，t}———+2大+2=—(t—1)2+3<3；

当1W»W2时，g(t)=/(2)=3；当力〉2时，g(t)=—?+4f—1=—(t—2)2+3<3.

的最大值为3.

方法总结：二次函数在给定区间上的最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端

点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的图像和单调性，根据对称轴在区间的左边(包括端

点)、内部和右边(包括端点)三种情况分类讨论即可获解.

考向五一元二次函数的恒成立问题

例5、已知函数段)=N—%+1,在区间［-1,1］上,不等式段)>2%+m恒成立，则实数机的取值范围是.

【答案】(-8,—1)

【解析】fix)>2x+m等价于x2—x+l>2x+m,

即X2—3x+1—m>0,

2

令)g(x)=x—3x+l—m,

要使g(x)=x2—3x+1—m>0在［—1,1］上恒成立，

只需使函数g(x)=X2—3x+l一加在［-1,1］上的最小值大于0即可.

V^(x)=x2—3x+1-m在［―1,1］上单调递减，

g(%)min=^(1)="m—1.

由一机一1>0,得根<—1.

因此满足条件的实数机的取值范围是(一8,-1).

1

变式1、若*2—kt—1W0在t£［—1,1］上恒成立，求实数k的取值范围.

1

【解析】求二次函数f(t)=/2—kt—1在给定区间上的最大值M,二次函数f(t)的图像的对称轴为直

线t=2k.

■1r

①当2k£［—1,1］,即闻一5,可时,M=f(—1)或f⑴，由MWO,得f(—1)WO且f(l)WO,解得

33「工厂|11

一，WkW］又kj—2，2_，故-5WkW］；

11

②当2k<-1,即k<—5时，函数f(t)在［2k,1］上单调递增，故M=f(l)=Z—k—1,由MWO,得kN

343工

一?又k<一万，故一5；

113

③当2k>1,即k>］时，函数③t)在［—1,2k］上单调递减,故M=f(-1)=W+k—1,由MWO,得

113

又k>5，故5<kW，.

33~

综上知，实数k的取值范围为［一74_-

变式2、(苏北四市、苏中三市三调)已知函数/(尤)=尤2-2尤+3”，g(x)=^~.若对任意％e［0,3］,总存

X—L

在/42,3］,使得|/a)|Wg(%)成立，则实数。的值为▲

【答案】/

【解析】因为g(x)=/y在⑵3］上单调递减，所以g(%)111ax=2,

解法1由题意得，|/(占)卜2,即卜2一2工+3〃卜2在［0,3］上恒成立,

即-2-—2x+332，在［。，3］上恒成立,

3aw-f+2x+2,即］:"一:一(二在［0,3］上恒成立,

所以

—+2x—2,(3〃2一(x—1)+3

所以3。=_],"=

,,,,,,,,口/⑴w2,f|3a-l|s：2,

解法2|/（占）『2.因为|AxjL=Maxf{|"l）|，Y（3）|},所以力（5，即福+3上2,解得

I

3'

方法总结：(1)、“任意-任意”型这类问题的表现形式为：Y\三D'NxiwD。，不等式成立.

V%GDpVA：2GD2,f（^）＜g（W）O%G〃,％G。2时，/（Xi）max&g（^2）min

(2)、“任意-存在”型

这类问题的表现形式有二：V%e，,玉2c2，等式成立.W&eA,*?eA，不等式成立.

这种“任意-存在”型问题的常见题型及具体转化策略为：

X

1、1G,出2G2，/(石)=S(2)。，(再)在A上值域Cg(%2)在。2上值域;

Vx；GD］,Jx2GZ)2，/(石)>g(%2)O/(不)在&上最小值>g(%2)在。2上最小值；

Vx；D,/(x)<g(x)oA<g(%2)4；

2、GDx,3^2G212/(石)在上最大值在上最大值

3、“存在-存在”型

这类问题的表现形式有二：er>,,3x2er>2,等式成立.e^,3^e£>2,不等式成立.

总结：这种双主元的“存在-存在”型问题的转化策略为：

女］Ja)=g(%2)O/(石)在R上值域与g(X2)在。2上值域的交集非空

玉iGDX,X2eD2,/(x；)>g(x2)<^>/(芯)在D,上的最大值与g(X2)在2上的最大值

在优化提升-实战演练

2

1、(2020江苏7)已知y=/(x)是奇函数，当XN0时，/(x)=x§，则/(一8)的值是.

【答案】-4

22

【解析】'=/(%)是奇函数,当％20时,f(x)=9则/(一8)=_/(8)=.8、=一4.

421

2、(2016全国川)已知。=2§，0=4与，c=25§，则

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

412111

【解析】因为a=2§=163'b=华=16与，c=25§，且塞函数'=户在尺上单调递增，指数函数>=16"

在H上单调递增，所以Z?<a<c,故选A.

3、(2020浙江9)已知a,人eR且"wO,若(工一。)(]—〃)(％—2。—5)20在x20上恒成立，则

()

A.a<QB.a>QC.b<0D.b>0

【答案】c

【解析】当a<0时，在xNO上，x—a»0恒成立，，只需满足(x—»(龙—2a—恒成立，此