专题19 充分条件与必要条件（解析版）-2021年初升高数学无忧衔接（人教A版2019）

专题19充分条件与必要条件

号灯目标

1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系

2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系,

3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系

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知积雅■讲

高中必备知识点1:充分条件与必要条件

命题真假“若P，则是真命题“若P，则夕”是假命题

推出关系p0qp令q

P是g的充分条件P不是g的不充分条件

条件关系

夕是P的必要条件4不是p的不必要条件

高中必备知识点2：充要条件

1.如果既有夕今夕，又有则p是q的充要条件，记为

2.如果p/q且q/p,则p是夕的既不充分也不必要条件.

3.如果p今夕且p,则称p是g的充分不必要条件.

4.如果夕》q且q=p,则称p是《的必要不充分条件.

5.设与命题p对应的集合为/={x[p(x)},与命题4对应的集合为8={x|q(x)},

若4=则p是g的充分条件，夕是p的必要条件；

若4=B,则p是g的充要条件.

若4GB,则p是夕的充分不必要条件.g是p的必要不充分条件.

若ADB,则p不是夕的充分条件，q不是p的必要条件.

6.p是q的充要条件是说，有了p成立，就一定有q成立.p不成立时，一定有q不成立.

"典例周所

高中必会题型1:充分条件与必要条件的判定

1.已知p：x>2,q-.x>\,则P是夕的（充分条件-必要条件'-充要条件'「既不充分也

不必要条件”中选择一个填空）.

【答案】充分条件

设命题p：x>2对应的集合为A={x|x>2},

命题q：工>1对应的集合为8={工|1|兀>1},

因为At）8,所以命题P是命题q的充分条件.

故答案为：充分条件.

2.设c：lWx<4,Qx<10,则a是4的条件（用“充分非必要‘；"必要非充分充要‘；"既

非充分又非必要"填空）

【答案】充分非必要

A={x|lWx<4}

5={x|x<10}

A是8的真子集，故a是夕的充分非必要条件

故答案为：充分非必要

3.给出下列结论，其中，正确的结论是.

①"P且q为真"是"p或q为真”的充分不必要条件

②"P且q为假"是"P或q为真”的充分不必要条件

③"P或q为真"是"非P为假"的必要不充分条件

④"非P为真"是"P且q为假”的必要不充分条件

【答案】①③

对于①，山p且q为真，得P和0都为真，

由P或q为真，得。和4至少有一个为真，

故"P且q为真"是"P或q为真”的充分不必要条件，因此①正确；

对于②，由p且q为假，得P和4至少有一个为假，

山P或q为真，得。和4至少有一个为真，

故"P且q为真"是"P或q为真”的即不充分不必要条件，因此②错；

对于③，由P或q为真，得夕和4至少有一个为真，

由非P为假，得。为真，

故"P或q为真"是"非p为假"的必要不充分条件，因此③正确；

对于④，由非p为真，得p为假，

由P且q为假，得P和4至少有一个为假，

故"非P为真"是"P且q为假”的充分不必要条件，因此④错.

故答案为：①③.

2

4."|X|<2"是"X-X-6<0"的条件.

【答案】充分不必要条件.

由不等式|x|<2,解得—2<x<2,构成集合4={刈-2<%<2}

又由不等式V—九一6=(x+2)(x-3)<0,解得一2<x<3,得到3={x[—2<x<3},

可得集合A是8的真子集，所以"Ix|<2"是一》—6〈0”的充分不必要条件.

故答案为：充分不必要条件.

5."0。1或/?。2"是"。+〃。3"成立的条件.

【答案】必要不充分

a+h=3,不能推出a=l且人=2,反过来，a=l且6=2能推出a+h=3,所以a+b=3是”=1且人=2

的必要不充分条件，利用逆否关系的等价性可知awl或力。2是3的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分

高中必会题型2：充要条件的判断

1.若。，。都是实数，试从①3=0；②a+0=0；③。(/+〃)=0；④。匕>0中选出适合的条件,

用序号填空.

(1)"。，h都为0”的必要条件是；

(2)-a,人都不为0”的充分条件是；

(3)"a,。至少有一个为0”的充要条件是.

【答案】①②③④①

①ab=0oa=0或力=0，即。，匕至少有一个为0；所以是"。，。都为0”的必要条件，也是“。，b至

少有一个为0"的充要条件；

②a+Z?=0oa，。互为相反数，则。，匕可能均为0,也可能为一正一负；

所以是"a,b都为0”的必要条件；

③。(/+〃)=00。=0或v；]。；所以是“a,"都为o"的必要条件；

«>0fa<0

④ab〉Oo〈，、或〈，八，则a,b都不为0,所以是"。，。至少有一个为0"的充要条件.

h>0[8<()

故答案为⑴.①②③(2).④(3).①

2.不等式|x-41+1尤-3|Va有实数解的充要条件是.

【答案】a>\

解：因为|x-4|+|x-3以1-4一(％-3)|=1,当且仅当3WxW4时等号成立，

所以不等式|x-4|+|x-3区。有实数解的充要条件是ail.

故答案为：a>\.

3.已知a、b是实数，则“a>0,且b>0"是"a+b>0,且ab>0”的条件.

【答案】充要

Vo>0,b>0,.,.a+b>0,ab>0,

：."a>0,且b>0"是"a+b>0,且ab>0”的充分条件；

,；ab>0,。与b同号，

o+b>0,.Ia>0且£»0,

：."a>0,且b>0"是"a+b>0,且ab>0"的必要条件.

故"。>0且b>0"是"a+b>0且ab>0"的充要条件.

故答案为：充要

4.下列所给的p,q中，p是q的充要条件的为.(填序号)

①若a,M3R,p：a2+b2=O,q：a=b=O；

②p：|x|>3,q：X2>9.

【答案】①②

①若。2+〃=0,则0=。=0,即p=q；

若o=b=0,贝ija2+b2=O,即q=p,故p=q,

所以P是q的充要条件.

②由于p：|x|>3=q：X2>9,所以p是q的充要条件.

故答案为：①②

c+d>Q+>\c>a

5.设a,b,c,dGR,是《成立的________条件;

(c-d)(d-b)>0[d>h

【答案】充要

c+d>a+b(c-a)+(d-b)〉()c-a>0[c>a

0vO<<=><

(c-a)(d-b)>0[(0-〃)3-份>()d-b>0\d>h

故答案为充要

高中必会题型3：充要条件的证明

11八

1.已知都是非零实数，且x>y,求证：一<一的充要条件是w>o.

xy

【答案】见解析

1111y—xC

(1)必要性：由一<一，得-----<n0,即"——<0,

龙y龙y孙

又由x>y,得y-x<0,所以工y>0.

(2)充分性：由肛>0及刀>>,

.XV11

得—>一»即一<一.

xyxy无y

11八

综上所述，一〈一的充要条件是初>0.

xy

2.已知AABC的三条边为a,O,c,求证：AABC是等边三角形的充要条件是"+匕2+。2="+收+历.

【答案】证明见解析

证明(充分性)

♦;a=b=c，二("-人)~+伍-c)-+(a-c)2=0

••a~++c~=ab+etc+be

(必要性)

,ci+b-^c—ab+cic+be,•,2a~+2b~+2c?=2ab+2cle+2/?c

(a2-2ab+b2)+(c2-2cb+b2)+(a2-2ac+c2)=0

即(a-h)2+(h-c)-+(a-c)-=0,a=Z?=c,得证.

3.设P，4均为实数，判断"q<0"是"方程x2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”的什么条件.

【答案】充要条件

充分性：

因为4<0,所以△=〃2一4<?>0,即方程/+〃％+9=0有两个不相同的实根，

设两根为X”々，则再入2=4<0，即一正一负，故充分性成立；

必要性：

因为"方程/+"X+4=0有一个正实根和一个负实根”成立，

A=p2-4q>Q_

所以《”，即4<0,故必要性成立.

q<0

所以"q<0"是"方程Y+px+q=0有一个正实根和一个负实根”的充要条件.

4.求证：四边形ABC。是平行四边形的充要条件是四边形ABCO的对角线AC与8D互相平分.

B

【答案】证明见解析

设对角线AC与B力的交点为。.充分性：由对角线AC与BO互相平分得。4=。。,。8=0。，又

ZAOB=NCOD,所以△AOBM^CO。，所以AB=CD，ZOAB^ZOCD,AB//CD，所以四边

形A5CD是平行四边形；必要性：由四边形ABCD是平行四边形得AB=CD,/OAB=/OCD,

ZOBA=ZODC,所以△AQBMAC。。所以。4=OC,OB=。。，四边形ABCO的对角线AC与BO

互相平分：

所以四边形ABCO是平行四边形的充要条件是四边形A6CZ)的对角线AC与8。互相平分.

5.己知abwO,求证：。3+83+帅-。2山2=0是Q+b=i的充要条件.

(提示：a3+b3^(a+b)(a2-ab+b2))

【答案】证明见解析

设p：a3+b3+ab-a2-b2=O,q：a+b=l.

(1)充分性(pnq)：

因为a3+b3+ab-a2-b2=0,^Tlil(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=O,BP(a2-ab+b2)(a+b-l)=0,

(1A23

因为abwO,a2-ab+b2=\a--b+—b2>0,

I2J4

所以a+b-l=0,即a+b=l.

(2)必要性(q=p)：

因为a+b=l,所以b=l-。，所以a3+b3+ob-a2-b2=o3+(]_a)3+o(1_a卜。2_(1/产

=a3+l-3a+3a2-a3+a-a2-a2-l+2a-a2=0,

综上所述，a+b=l的充要条件是a^b3+ab-a2-b2=O.

对直希依

l."a+b是偶数"是"a和b都是偶数”的()

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件也是必要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

【答案】B

因为当。+b为偶数时，a,b都可以为奇数.

所以"a+b是偶数"不能推出"a和b都是偶数；

显然汨和b都是偶数"="a+b是偶数"

所以"a+b是偶数"是"a和b都是偶数”的必要条件.

故选：B

2.设a回R,则"a>0"是叼>o"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

解：当a>0时，a2>0>

当a?〉。时，“<0或a>0，

所以"a>0"是"。2>0"的充分不必要条件，

故选：A

3.设a,beR,则"a>2且力>1"是"。+/?>3且奶>2"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

【答案】A

若a>2且》>1,由不等式的同向可加性可得a+匕>3,由不等式的同向同正可乘性可得油>2,所以

"a>2且。>1"可以推出"a+匕>3且他>2；即充分性成立；

反之，若a=6,b=~,满足a+/?>3且所以“。+人>3且。人>2”不可以推出“a>2且。>1','

2

即必要性不成立；

所以“a>2且人>1"是"a+8>3且。〃>2"的充分不必耍条件.

故选：A.

4."4>匕>0"是"!<'"的（）

ab

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

由a>〃>0得-----------<0,则一〈一；

ababab

若a=-l,b=l,则!<:,但不能推出a>Z>>0：

ah

因此"a>b>0"是<'"的充分不必要条件.

ab

故选：A.

5.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为"七绝圣手'；其《从军行》传诵至今,"青海长云暗雪山，孤城遥望

玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还'；由此推断，其中最后一句"攻破楼兰"是"返回家乡”的（）

A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

山题意，“返回家乡"可推出"攻破楼兰但"攻破楼兰"不一定"返回家乡

所以"攻破楼兰"是"返回家乡”的必要条件.

故选：A.

6.若成立的充分不必要条件是则实数m的取值范围是（）

32

f411f141

I32jI23j

C.D.—\

I2jI3j

【答案】B

不等式等价于：m-l<x<m+l,

由题意得<X<="是成立的充分不必要条件，

32

所以根+1）,且（加-1,机+1）,

m-1<—

314

所以J且等号不能同时成立，解得一一<m<~.

23

m+1>—

2

故选：B.

7.在如图电路中，条件p：开关入闭合，条件q：灯泡8亮，则p是勺的（）

A

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

若开关A闭合，则灯泡8亮，所以条件p可以推出条件q；

若灯泡8亮，则开关A闭合或开关C闭合，不能确定开关A闭合，条件q推不出条件p；

所以P是q的充分不必要条件.

故选：A.

8.若非空集合A,B,C满足朋8=C,且B不是A的子集，贝U（）

A.是"MM"的充分条件但不是必要条件

B."艰U是"的"的必要条件但不是充分条件

C."X0U是"的"的充分条件也是"xM"的必要条件

D."姬U既不是"MM"的充分条件也不是"祝4”的必要条件

【答案】B

因为8不是A的子集，所以集合B中必含有元素不属于A,而xeC即为xeA或xeB,

xGA必有xec,但反之不一定成立，所以"xeu是"xGA"的必要条件但不是充分条件

故选：B.

9."22"是"对任意正实数X,都有已仁x+L恒成立”的（）

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

由于X+,22,由题意知已出2,

X

解得-1人2.

所以3-2"是"-左号2"的必要不充分条件.

故选：B

X〉3x+y>6

10.是成立的（)

J>3xy>9

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

充分性显然成立，必要性可以举反例：X=10,J=-,显然必要性不成立.

2

故选：A

11.已知P：-1«X<2,q-.2a<x<a2+\,若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（）

A.a<」-\।B.-,\<a<——1C.——I<a<\D.——1<a<\

222

【答案】D

f-l<2a1

山。是0的必要条件，可得《，，解得一一<a<\

2>/+12

故选：D.

12.若"x>2"是的必要不充分条件，则。的取值范围是（）

A.{a\a<2}B.{a\a<2}c.{a\a>2}D.{a\a>2}

【答案】C

由"%>2"是的必要不充分条件知：｛x|x>a｝是｛x|x>2｝的真子集，可得知a>2

故选：C

13.设命题p：x>4；命题q：x2-5x+4>0,那么p是q的条件（选填“充分不必要:"必要不充分充

要'一既不充分也不必要9.

【答案】充分不必要

命题q：x2-5x+4>0<=>x<l或x>4,

：命题p：x>4；

故P是q的充分不必要条件，

故答案为：充分不必要

14.若p：一。<%<。+1是q：-2<X<3的必要不充分条件，则实数。的取值范围为.

【答案】（2,母）

若P是q的必要不充分条件，则（-2,3）是（-。,a+1）的真子集,

a+1>3

则《解得a22；

-a<-2

当a=2时，(-a,a+l)=(-2,3)不成立，

故。>2,

即实数。的取值范围是(2,+8),

故答案为：(2,+8).

15."Y=~"是="c”的_______________条件.

bc

【答案】充分不必要

ab

充分性：若一二一，则Z?2=〃C，故充分性成立；

bc

必要性：若b?=ac，当。=力=。=0时，q=2不成立，故必要性不成立，

bc

所以“@=3是"后=或”的充分不必要条件.

bc

故答案为：充分不必要.

16.若％2-3x+2<0是(x—w)(x—2〃?—1)<0的充分不必要条件，则实数机的取值范围是

【答案】

解不等式/_3X+2<0,解得1<X<2,

解方程(x-m)(x-2m-l)=0,解得x=m或x=2m+l.

①当加=2加+1时，即当机=一1时，不等式(x一m)(x—2加-1)<0即为(x+l)2<0,

该不等式的解集为0，不合乎题意；

②当加>2加+1时，即当/w<-l时，解不等式(x—〃?)(x—2//Z—1)<0可得2/n+l<x</n.

由于一3%+2<0是(X-W)(X-2M-1)<0的充分不必要条件，则(1,2)回(2〃，+1,根)，

2加+1W1

可得｛c，此时〃2£0;

m>2

③当机<2m+1时，即当相>一1时，解不等式(工一利)(％—2加-1)vO可得帆<%<2m+1.

由于/一3%+2<()是(1—相)(工一2〃7—1)<。的充分不必要条件，则(1,2)团(私2加+1),

m<1解得‘WmWl.

可得《

2m+l>22

i(\\

检验：当机=一时，则有(1,2)0不,2,合乎题意;

当相=1时，则有(1,2)0(1,3),合乎题意.

综上所述，实数m的取值范围是1,1

故答案为：.

17.已知p：x2-4x+3<0,q：x2>2x+a,且q是p的必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】(-8,-1].

由X?-4x+3<0得(x-1)(x-3)SO得1女43,

illx2>2x+a得x2-2x>a,

若q是P的必要条件，

即当1VXS3时，x2-2x>a恒成立，

设f(x)=x2-2x,则f(x)在口，3]上为增函数，

则f(x)的最小值为/(I)=1-2=-1,

/.0<-1,

即实数。的取值范围是(-8,-1].

18.已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是5的充分条件，那么：

(1)5是q的什么条件？

(2)r是q的什么条件？

(3)p是q的什么条件？

【答案】(1)充要条件；(2)充要条件：(3)必要条件.

；〃，夕都是厂的必要条件•」=>〃，rnq

•••s是厂的充分条件.・.s=>r

:9是s的充分条件：,q=>s

(1)因为q=s,snrnq,所以5是q的充分条件，同时5是q的必要条件

所以，s是q的充要条件；

（2）因为rnq,qnsnr,所以r是q的充分条件，同时r是q的必要条件，

所以，r是q充要条件；

（3）因为qnsnrnp,所以p是q的必要条件，

所以，P是q的必要条件.

19.设命题a:A={x|f+4x=0},命题4：8={x|d+2（a+l）x+l-a=。}，若a是夕的必要条件,

但a不是尸的充分条件，求实数”的取值组成的集合.

【答案】（一3,0）.

由*2+4%=0得％=0或x=T,二A={T,O},

由a是尸的必要条件，但a不是夕的充分条件得a4/且从而有84

••.3=0或3={-4}或8={0},

当3=0时，△=4(a+1——4(1—a)=4a(a+3)<(),；.-3<。<0：

4"—8(a+l)+l—a=9—9a=0

当3={-4}时,无解;

A=4(6z+l)"=4<7(«+3)=0

1-61=0

当5={0}时;<，无解,

A=4(6(+1尸—4(1—a)=4a(a+3)=0

综上：实数a的取值组成的集合为（-3,（））.

20.已知