专题14 三角形选择题、填空题-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（江苏专用）（解析版）-中考数学备考复习重点资料归纳

专题14三角形选择题、填空题

一、单选题

1.（2022•江苏泰州•中考真题）如图，正方形ABCQ的边长为2,E为与点。不重合的动点，

以OE一边作正方形OEFG设。E=d/，点F、G与点C的距离分别为治，必，则力+必+4

的最小值为（）

A.72B.2C.20D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

连接CF、CG、AE,证AADEwACDGl&lS）可得AE=CG,当A、E、F、C四点共线时,

即得最小值；

【详解】

3ZADC=ZEDG=90°

13NAT>E=NC£)G

在&ADE和ACDG中，

AD=CD

0-ZADE=/.CDG

DE=DG

ElAAOE三ACDG(SAS)

QAE=CG

^\DE+CF+CG=EF+CF+AE

^\EF+CF+AE=AC^\,最小，

AC=^ADr+CD1=^22+22=2/

团由+42+%的最小值为2&•

故选：C.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键.

2.（2022・江苏无锡•中考真题）如图，48是圆。的直径，弦A。平分团BAC,过点。的切线

交AC于点E,SEAD=2S°,则下列结论错误的是（）

C.DE=ODD.团300=50°

【答案】C

【解析】

【分析】

过点。作C8于点F，根据切线的性质得到OD0OE,证明OZM4E,根据平行线的性质

以及角平分线的性质逐一判断即可.

【详解】

解：回。E是团。的切线，

0OD0DE,

回OA二。。，

团团OAD二团OOA,

财。平分国BAC

团团。4。二团£4拉，

团团E4Q=国OD4,

团OZM4E,

0AE0DE.故选项A、B都正确；

^OAD=^EAD=^ODA=25°,©EAD=25。,

^BOD=BOAD^ODA=SO°,故选项D正确;

四。平分aBAC,A£HDE,DF^AB,

^\DE=DF<OD,故选项C不正确;

故选：C.

本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过

切点的半径是解题的关键.

3.(2022•江苏无锡•中考真题)如图，在ABCE(中，AD=BD,ZAOC=105。，点E在AO

【答案】D

【解析】

【分析】

过点8作于F,由平行四边形性质求得加=75。，从而求得EAEB=180°-a4-a48E=45°,

则4打后尸是等腰直角三角形，HPBF=EF,设BF=EF=x,!)li]BD=2x,DF=y/3x,DE=DF-EF=

(G-1)x,AF=AD-DF=BD-DF=(2-6)x,继而求得482=人尸+8尸=(2-^3)2x2^=(8-4

73)x2,从而求得"=Y1,再由AB=CD,即可求得答案.

AB2

【详解】

解：如图，过点8作8厘4。于凡

cB

0ABCD,

团COMB,CD//AB,

WADC+^BAD=130°,

0ZAZ)C=105°

的4=75°,

0[?L4BE=6OO,

的4止180°@4-团48氏450,

123mAQ,

00BFD=9O°,

团回E8F二团AE8=45°,

国BF=FE,

^\AD-BD,

函48£)=M=75°,

0(?L4DB=3OO,

设BF=EF=x,则8O=2x,由勾股定理，得。尸=心，

团。辰。广EF=(V3-1)x,AF=AD-DF=BD-DF=(2-6)x,

由勾股定理，得AB2=A尸2+8产=(2-6)2/+/=(8-473)V

目。面_(6一1八2」

2

AB(8-2

回匹=变，

AB2

SAB=CD,

QE叵

0------=------,

CD2

故选：D.

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，过点8

作B户的1。于凡构建直角三角形与等腰直角三角形是解题的关键.

4.（2022•江苏苏州•中考真题）如图，点A的坐标为（0,2）,点8是x轴正半轴上的一点，将

线段AB绕点A按逆时针方向旋转60。得到线段AC.若点C的坐标为（私3），则m的值为

（）

A4x/32扬r5>/3n4匹

3333

【答案】C

【解析】

【分析】

过C作CZMr轴于D,CE0y轴于E,根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60。得到线段

AC,可得朋BC是等边三角形，又A（0,2）,CCm,3）,即得AC=+1=3C=AB，

可得80=JSC?—CD?=’m2_8，OB7AB2-OM=-3，从而J%2_3+,m2,

即可解得〃?=侦.

3

【详解】

解：过C作CDSx轴于£>,C£0y轴于E,如图所示：

ISCOiar轴，CE0y轴，

EEC£>O=ElCEO=（aOOE=90°,

回四边形EODC是矩形，

回将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60。得到线段AC,

QAB=AC,回BAC=60°,

aa48c是等边三角形，

EL48=AC=BC,

CL4（0,2）,CO,3）,

SCE=m=OD,CD—3,OA=2,

S4E=OE-OA=CD-OA=1,

回AC=>]AE2+CE2=jM+i=BC=AB，

在Rt0BCD中，BD=yjBC2-CD2=>lm2-8，

在RtfflAOB中，OB=yjAB2-O^=-Jnr-3>

^OB+BD=OD=mf

团\lnr-3+yjnr-8=m»

化简变形得：3m4-22m2-2S=0,

解得：加=之叵或m（舍去），

33

0/«=------,故C正确.

3

故选：C.

【点睛】

本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含"?的代数式表

示相关线段的长度.

?

5.（2022•江苏宿迁•中考真题）如图，点A在反比例函数y=]x>（））的图像上，以。4为一

边作等腰直角三角形。43,其中回04B=9O。，AO=AB,则线段。3长的最小值是（）

A.1B.y/2c.2V2D.4

【答案】c

【解析】

【分析】

如图，过A作AM〃x轴，交），轴于例，过B作8O_Lx轴，垂足为。，交M4于，，贝U

Z.OM/=Z./H8=90°证明A/OM三A8.4〃可得°M==3"，设

.制则AM=m,OM=：,MH=tn+三,BD=彳-叫可得B（m+得，焉-"）再

利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案.

【详解】

解：如图，过A作A/〃x轴，交y轴于M,过B作8DJ_x轴，垂足为。，交MA于”，则

ZOMA-Z.4/75-900

LMOA+乙”.40=90°.

-AO-AB.AOLAB,

AZ.MAO+LBAH-90°,

二ZMOA=ABAH,

AAOM=ABAH.

：.OM-AH-BH,

设川,”2.｝则AM=zn,OM=m+2,8£）=2-加，

',|>n>mmm

AB（m+焉，焉-m）

OB-J（〃J+而『十（布-m）二也加一橐,

m>0,而当”>0,〃>0时，则0+匕22>/^,

2ni--A：>2^2/?/-*=8,

HI-V

c

Q

回2疗+二的最小值是8,

I2OB的最小值是次=2a.

【点睛】

本题考查的是等腰宜角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全

平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握"储+6222"的变形公式”是解本题的关键.

6.（2022•江苏宿迁•中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3c，〃和5cm,则这个等腰三角

形的周长是（）

A.8cmB.13cmC.8cmgic13cmD.lltro或13tvw

【答案】D

【解析】

【分析】

题目给出等腰三角形有两条边长为3和5,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，

还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【详解】

解：当3是腰时，

03+3>5,

03,3,5能组成三角形，

此时等腰三角形的周长为3+3+5=11（cm）,

当5是腰时，

03+5>5,

5,5,3能够组成三角形，

此时等腰三角形的周长为5+5+3=13（cm）,

则三角形的周长为lie/”或13cm.

故选：D

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质及三角形一边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两

种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也

是解题的关键.

7.（2022•江苏扬州•中考真题）如图，在A4BC中，AB<AC,将二ABC以点A为中心逆时

针旋转得到,ADE,点。在8c边上，DE交AC于点F.下列结论：①"FEADFC；

②D4平分N8OE：（3）ZCDFZBAD,其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【答案】D

【解析】

【分析】

根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解.

【详解】

解：回将ABC以点A为中心逆时针旋转得到一AOE,

EI_A£）E空A8C,

ZAFE=ZDFC,

■■/XAFEADFC,故①正确；

ADE^ABC,

:.AB=ADi

:.ZABD=ZADB^

ZADE=ZABC,

:,ZADB=ZADE.

■■DA平分NBDE,故②正确：

.ADE^ABC,

:.ZBAC=ZDAE,

：.ZBAD=^CAE,

△AFEADFC,

:.ZCAE=ZCDF,

NCDF=NBAD,

故③正确

故选D

【点睛】

本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，

掌握以上知识是解题的关键.

8.（2022•江苏扬州•中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要

重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为

AABC,提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,NBc.AB,AC,ABD.ZA,NB,BC

【答案】C

【解析】

【分析】

根据SSS,SAS,ASA逐一判定,其中SSA不一定符合要求.

【详解】

A.AB,BC,CA.根据SSS一定符合要求;

B.AB,BC/B.根据SAS一定符合要求;

AB,AC,ZB.不一定符合要求;

D.NA,NB,BC.根据ASA一定符合要求.

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS,SAS,

ASA三个判定定理.

9.（2022•江苏连云港•中考真题）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧

长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）

士兀一

C.D.6

33

【答案】B

【解析】

【分析】

阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即可.

【详解】

360°

EHAO8=2x------=60°,

12

I3AOAB是等边三角形，

^AOD=^\BOD=30°,OA=OB=AB=2tAD=BD=—AB=1,

2

回OAJAO-S=石,

团阴影部分的面积为竺卫生-1X2XJJ=27-JL

36023

故选：B.

【点睛】

本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计

算方法是正确解答的关键.

10.（2021,江苏淮安•中考真题）如图，在AA8C中，AB的垂直平分线分别交A8、BC于点

。、E,连接AE,若AE=4,EC=2,则BC的长是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

根据线段的垂直平分线的性质得到E8=E4=4,结合图形计算，得到答案.

【详解】

解：E1OE是A8的垂直平分线，AE=4,

0£B=EA=4,

m8C=EB+EC=4+2=6,

故选：C.

【点睛】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段

的两个端点的距离相等.

11.（2021•江苏泰州•中考真题）如图,P为AB上任意一点,分别以AP、P8为边在AB同侧作

正方形APC。、正方形PBEE设=则/4FP为（）

A.2aB.90°-aC.45°+aD.90°-ga

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可得A/fiPa\CBP{SAS）,从而=/CBP=90。一tz即可.

【详解】

回四边形APC。和四边形PBEF是正方形，

SAP=CP,PF=PB,AAPF=ABPF=APBE=90°,

^\AFP=XCBP（SAS）,

^AFP=^CBP,

又|3NC3E=a,

回4/>=4CBP=/PBE—4CBE=90。—a,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的

判定方法是解题的关键.

12.（2021・江苏盐城・中考真题）将一副三角板按如图方式重叠，则N1的度数为（）

A.45°B.60°C.75°D.105°

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案.

【详解】

解：如图所示：

由题意可得，N2=30°,/3=45°

贝|JN1=N2+N3=45°+30°=75°.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正确利用三角形外角的性质是解题关键.

13.（2021•江苏苏州・中考真题）如图，在平行四边形ABC。中，将,ABC沿着AC所在的直

线翻折得到VAB'C,8'C交AO于点E,连接B7）,若N3=60。，ZACB=45°,AC=娓,

则的长是（）

BC

A.1B.y/2c.73D.渔

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△4EC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE

得长，进而得出££＞的长，再根据勾股定理可得出BD；

【详解】

解：团四边形ABCD是平行四边形

^AB=CD0B=a4DC=6O°,EL4cB=团。。

由翻折可知：BA=AB'=DC,ZACB=ZACB'=45°,

团ZV1EC为等腰直角三角形

：.AE=CE

0Rta4EB,^RtACDf

=DE

团在等腰RtAAEC中，AC=&

0CE=s^

团在RtADfC中，CE=6,a4£»C=60。

aa£）CE=30°

0DE=1

在等腰RtBlDE4中，EB'=DE=1

回87）=加

故选：B

【点睛】

本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键

是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

14.（2021•江苏无锡•中考真题）在Rl^ABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,点尸是一A3C

所在平面内一点，则P/V+P笈+PC?取得最小值时，下列结论正确的是（）

A.点P是白ABC三边垂直平分线的交点B.点P是」,ABC三条内角平分线的交点

C.点P是‘ABC三条高的交点D.点P是.A5C三条中线的交点

【答案】D

【解析】

【分析】

以点A为坐标原点，A8所在直线为x轴，建立直角坐标系，则尸//+尸序+PC?=

3"-2)2+31一部+誓，可得P(2,g)时，PT+PBjPC?最小，进而即可得到答案.

【详解】

以点4为坐标原点，48所在宜线为x轴，建立直角坐标系，如图，

则4。，0),8(6,0),C(0,8),

设P(x,y),则尸矛+尸82+PC2=x2+y2+(x-6『+y2+x2+(y-8)2

=3x2+3y2-i2x_16y+100=3(x-2y+3(y司+邢，

QO

回当x=2,产§时，B|J：P(2,时，PH+p^+pc?最小，

Q

自由待定系数法可知：A3边上中线所在直线表达式为：y=-|x+8,

AC边上中线所在直线表达式为：j=-j2x+4,

又团尸(2,jQ)满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，

回点P是_43c三条中线的交点，

故选D.

【点睛】

本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为

代数问题，是解题的关键.

15.(2021•江苏盐城•中考真题)工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个

角.如图，在NAO8的两边。4、。8上分别在取OC=OD,移动角尺，使角尺两边相同的

刻度分别与点C、O重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是NAOB的平分线.这里构造

全等三角形的依据是()

oD7J

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

【答案】D

【解析】

【分析】

根据全等三角形的判定条件判断即可.

【详解】

解：由题意可知OC=OD,MC=MO

在△OCM和△ODW中

OC=OD

<OM=OM

MC=MD

0AOCM=/\ODM（SSS）

&ZCOM=ZOOM

SOM就是408的平分线

故选：D

【点睛】

本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键.

16.（2021•江苏扬州•中考真题）如图，一次函数y=x+四的图像与x轴、），轴分别交于点A、

B,把直线A8绕点8顺时针旋转30。交x轴于点C,则线段AC长为（）

D.G+夜

【答案】A

【解析】

【分析】

根据一次函数表达式求出点A和点8坐标，得到回048为等腰直角三角形和AB的长，过点

C作CZM4B,垂足为C,证明E1AC。为等腰直角三角形，设CC=A£）=x,结合旋转的度数，

用两种方法表示出3£>,得到关于x的方程，解之即可.

【详解】

解：回一次函数y=》+&的图像与x轴、y轴分别交于点A、B,

令x=0,则）=>/2>令）=0，则x=-y/2>

贝!M（-V2，0）,B（0,近），

则回。48为等腰直角三角形，0A80=45°,

过点C作CDB4B,垂足为。，

WCAD=S0AB=^S°,

回S4co为等腰直角三角形，设CQ=AC=x,

EL4C=^AD'+CD2=y/2x,

回旋转，

EB48c=30°,

QBC=2CD=2x,

团BO=y）BC2-CD2=6x,

又BD=AB^-AD=2+xf

团2+X=&R,

解得：龙=6+1,

EWC=>/2-V=V2（Q+1）=#+&,

故选A.

【点睛】

本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性

质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三

角形.

17.（2021•江苏扬州•中考真题）如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A、B,连接AB,

在网格中再找一个格点C,使得aABC是尊睽富曲三角形，满足条件的格点C的个数是

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，结合图形,分两种情况讨论:®AB为等腰直角BL4BC底边;②A8为等腰直角

其中的一条腰.

【详解】

解：如图：分情况讨论：

①48为等腰直角S48c底边时，符合条件的C点有0个；

②43为等腰直角财8c其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.

故共有3个点，

本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形

结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.

18.（2021•江苏扬州•中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接48、BC、

CD、DE、EA,若ZBC£>=100。，则ZA+ZB+Z£）+ZE=（）

BI)

A.220°B.240°C.260°D.280°

【答案】D

【解析】

【分析】

连接班）,根据三角形内角和求出回8£）+回。£）8,再利用四边形内角和减去回CB。和13a>8的

和，即可得到结果.

【详解】

解：连接8C,00BCZ）=100°,

EH3CBD+0C£>B=18OO-1OOO=8OO,

00A+a4BC+0E+iaC£）£=36O<,-l3CBD-0C£>B=36O°-8O°=28Oo,

故选D.

【点睛】

本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形.

19.（2020•江苏徐州•中考真题）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm,则它的第三边

的长可能是（）

A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形三边关系确定第三边的范围，进而从选项中选出符合题意的项即可.

【详解】

解：设这个三角形的第三边的长为xcm,

一个三角形的两边长分别为3cm、6cm,

6—3Vx<6+3.

B|J3<x<9.

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形三边关系，一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系.

20.（2020•江苏宿迁•中考真题）在EIABC中，AB=1,BC=6,下列选项中，可以作为AC长

度的是（）

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可

以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题.

【详解】

13在回ABC中，AB=1,BC=逐，

0>/5-l<AC<>/5+l,

0x/5-1<2<>/5+1,4>6+1,5>>/5+1,6>石+1,

0AC的长度可以是2,

故选项A正确，选项B、C、D不正确；

故选:A.

【点睛】

本题考查了三角形三边关系以及无理数的估算，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三

边关系解答.

21.（2020•江苏南通•中考真题）如图，在中，AB=2,S4BC=60。，EL4cB=45。，。是

BC的中点，直线/经过点£>,A£0/,垂足分别为E,F,则AE+8F的最大值为（）

A.底B.2立C.26D.372

【答案】A

【解析】

【分析】

把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即

可.

【详解】

03ABe=60°,AB=2,

0BH=1,AH=G，

在RtSAHC中，团ACB=45°,

0AC=YIAH2+CH2=J(质2+(扬2=底,

倒点D为BC中点，

0BD=CD,

在EIBFD与田CKD中，

'NBFD=NCKD=9Q。

■NBDF=NCDK,

BD=CD

BaBFDEBCKD(AAS),

0BF=CK,

延长AE,过点C作CN回AE于点N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtEJACN中，AN<AC,

当直线II3AC时，最大值为卡，

综上所述，AE+BF的最大值为卡.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此

题的关键.

22.（2020•江苏盐城・中考真题）如图，在菱形ABC。中，对角线AC、BD相交于点O,H为BC

中点，AC=6,BD=S.则线段的长为：（）

125八c「

A.—B.-C.3D.5

52

【答案】B

【解析】

【分析】

因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有AC_L3D,AO=OC=3,BO=OD=4,又因

为H为中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答.

【详解】

解：回四边形ABC。是菱形

SAC±BD,AO=OC=3,BO=OD=4

雷BOC是直角三角形

&BO2+OC2=BC2

0BC=5

1aH为BC中点

0OH=-BC=-

22

故最后答案为|.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱

形的性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键.

23.（2020•江苏淮安•中考真题）如图，点A、B、C在圆。上，ZAC6=54,则430的

度数是（）

B

【答案】C

【解析】

【分析】

先由圆周角定理得到回AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可.

【详解】

团在圆。中，0ACB=542,

00AOB=20ACB=1O85,

0OA=OB,

__180-108.

aaOAB=E）OBA=----------------=365,

2

故选：c.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，会用等边对等角求角的

度数是解答的关键.

24.（2020•江苏无锡•中考真题）如图，在四边形ABCD中（4B>CD）,ZABC=ZBCD=90°,

AB=3,BC=6,把MAABC沿着AC翻折得到tanZA££>=—,则线段OE

2

的长度为（）

TTT。・竽

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知，易求得AC=2>5,延长CD交AE于F,可得4F=CF=2,则臣=1,再过点。作

DGYEF,设DG=6X,则GE=2X,ED=岳,FG=\-2x,在册一FG£>中，根据

&FG=G。，代入数值，即可求解.

【详解】

解：如图

团4=90。，BC=A/3.AB=3,

EINBAC=30。，

I3AC=25

&ZDCB=90°,

0CD//AB.

13/004=30°,延长CD交AE于F,

0AF=CF=2,则EF=1,ZEFD=60°,

过点。作DG，砂，设。G=JIx,则GE=2x,ED=@x,

0FG=l-2x,

回在Rt/G£>中，6FG=GD,即K(1-2X)=JIX,

解得：x=g，

0£D=—.

3

故选B.

【点睛】

本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关

性质，正确设出未知数是顺利解题的关键.

25.(2020•江苏无锡•中考真题)如图，等边AA8C的边长为3,点。在边AC上，AO=g,

线段PQ在边取上运动，PQ=；,有下列结论：

①CP与Q。可能相等；②AA。。与ABCP可能相似；③四边形尸C0Q面积的最大值为

警；④四边形PC。。周长的最小值为3+等.其中，正确结论的序号为（）

A.①④B.②④C.①③D.②③

【答案】D

【解析】

【分析】

①通过分析图形，由线段PQ在边54上运动，可得出QQVAPVCP,即可判断出CP与Q。

不可能相等；

②假设AAQO与ABCP相似，设AQ=x,利用相似三角形的性质得出AQ=x的值，再与AQ

的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；

③过P作PEE1BC于E,过F作DF0AB于F,利用函数求四边形PC0Q面积的最大值，设AQ=x,

可表示出PE=^（3-g-x）,QF=gx曰=¥，可用函数表示出S^C，SIMO，再根据

SABC-SPBC-SDAQ,依据04x42.5,即可得到四边形PC。。面积的最大值；

DID13PQ,

④作点D关于直线AB的对称点Di,作2连接CD2交AB于点P,,在射线P，A上取

P'Q'=PQ,此时四边形P'CDQ，的周长为：CP'+OQ'+8+P'Q'=C2+8+P。，其值最小，

再由DIQ'=DQ'=D2P',ADt=D,D2=AD=^,且E）ADID2=12O°,0D2AC=9O°,可得CQ+CQ+PQ

的最小值，即可得解.

【详解】

解：①回线段尸。在边54上运动，PQ=g，

^QD<AP<CP,

用CP与Q。不可能相等，

则①错误；

②设AQ=X,

团PQ=L,AB=3,

2

团044。43-1=2.5,gpo<x<2.5,

2

假设AAQO与ABCP相似,

团团A二国B=60°,

1

从而得至—5x+3=0,解得x=l或x=L5（经检验是原方程的根）,

乂04x42.5,

团解得的x=I或x=1.5符合题意，

即与ABCP可能相似，

则②正确；

③如图，过P作PEEIBC于E,过D作DFE1AB于F,

A

BE0

设AQ=x,

由PQ=g,得044Q43-g=2.

AB=3,5,BP0<x<2.5,

&PB^3---x,

2

006=60°,

回PE=*（3_g-x）,

0AD=-,0A=60",

2

田DF=l是=昱,

224

则S,*c=gBCx尸E=；x3xg（3—；一小噬q

c_1s1

SDAQ=~AQXI：>F=2XXX^~=~^X1

10363厨5、J

团四边形PCOQ面积为：S.zAtBovC—S.r如o\c-—S^=2X3X-2---

X0O<x<2,5,

最大值为：巫+巫乂25=对

团当x=2.5时，四边形PC。。面枳最大,

8816

即四边形PCDQ面积最大值为三叵.

16

则③正确；

④如图，作点D关于直线A3的对称点Di,作DR团PQ,连接CD2交AB于点P,,在射线PA

上取P'Q'=PQ,

此时四边形P'CDCT的周氏为：CP'+DQ'+CD+P'Q'=CD2+CD+PQ,其值最小，

®DIQ'=DQ'=D2P',=£),£),=AD=,

且回ADID2=180°-0DiAB=18O°-0DAB=120°,

在EID1AD2中，fflDiAD=30°,AD,=-,

22

0AD,=2/10-cos30°=2xlx—=—,

21222

在Rt团AD2c中,

由勾股定理可得，CD27AC?+AD；=

回四边形P'CDQ，的周长为：

CP'+DQ'+CD+P'Q=CD2+CD+PQ

则④错误，

所以可得②③正确,

故选：D.

【点睛】

本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问

题等知识.解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短

距离，即可得解.

二、填空题

26.（2022•江苏盐城•中考真题）《庄子・天下篇》记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如

图，直线4：y=；x+i与y轴交于点A,过点A作X轴的平行线交直线4：y=x于点。-过点

01作y轴的平行线交直线4于点A，以此类推，令OA=q,L,O,I4T=4“，

若q+/++44S对任意大于1的整数〃恒成立，贝IJS的最小值为.

【答案】2

【解析】

【分析】

先由直线4：y=x与y轴的夹角是45。，得出0A。2,…都是等腰直角三角形，

：.OA=O,A,G»IA=O，A，。24=03&,…，得出点01的横坐标为1,得到当x=l时，

y=：xi+i=。，点A的坐标为。，9，QA=024点°2的横坐标1+<=［，当

22\2，2222

x=|时，y=|x|+i=^,得出点A2的坐标为以此类推，最后得出结果.

【详解】

解：直线4：y=x与y轴的夹角是45。，

.•.△OAQ,MA02,…都是等腰口角：.角形,

.1.OA=OtA,=O2At,O2A,=,...

点A的坐标为（0,1），二点O,的横坐标为1,

当x=l时，y=4xi+i=。，.•.点4的坐标为

22\）

31

-o,A=aA=--i=--

.••点。2的横坐标1+；1=；3，

3137

当x=］时，^=-x-+l=-,

---点4的坐标为（'!，（），

711

：.0^2=02^=----}=-,…

以此类推，得°A=q=i,°iA=«2=〈，。出=%=；，03A=%=（，……，O"TAI=4=i，

Z4oZ

,111c1”

二4+出+生++“"=1+5+7++^T=2-^T-5-

，S的最小值为2.

【点睛】

本题考查了此题考查一次函数图象上的点的坐标特征，探究以几何图形为背景的问题时，一

是要破解几何图形之间的关系，二是实现线段长度和点的坐标的正确转换，三是观察分析所

得数据并找出数据之间的规律.

27.（2022•江苏盐城•中考真题）如图，AB.AC是。的弦，过点A的切线交CB的延长线

于点Q,若/a4D=35°,则NC=

A

【答案】35

【解析】

【分析】

连接AO并延长，交。。于点E,连接BE,首先根据圆周角定理可得NE+NBAE=90。，再

根据AO为：。的切线，可得ZS4E+Zfl4D=90。，可得？E?BAD35?,再根据圆周角定

理即可求得.

【详解】

解：如图，连接49并延长，交，。于点E，连接BE.

••,AE为。的直径，

:.ZABE=90°,

.-.Z£+ZBA£=90°,

AD为。的切线，

:.ZDAE=90°,

:.ABAE-Z.BAD-90°>

•••Z£-ZBAD=35°,

:.zC=z£=35°.

故答案为：35.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，切线的性质，作出辅助线是解决本题的关键.

28.（2022•江苏常州•中考真题）如图，在四边形A8CD中，ZA=ZABC=90°,08平分

ZADC.若A£>=1,CD=3,则sinZAaD=.

【答案】亚

6

【解析】

【分析】

过点。作3c的垂线交于E,证明出四边形A3ED为矩形，△BCD为等腰三角形，由勾股定

理算出DE=6,BD=瓜,即可求解.

【详解】

解：过点。作BC的垂线交于£,

D

A

.•.ZDEB=90。

ZA=ZABC=90°f

・•・四边形A5£O为矩形，

:.DE//AB,AD=BE=\,

:.ZABD=ZBDE,

Q3O平分NADC,

:.ZADB=ZCDB,

ADUBE,

:.ZADB=ZCBD,

幽CDB司CBD

:.CD=CB=3,

AD=BE=1,

CE=2，

:.DE=-JDC2-CE2=V9-4=V5-

22

：.BD=ylDE+BE=>/5+i=V6

.,„_BE_1_x/6

..sin//BRDnE==-=—，

BDR6

sinZABD=—1

6

故答案为：逅.

6

【点睛】

本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是

构造直角三角形求解.

29.（2022•江苏常州•中考真题）如图，在Rt/MBC中,ZC=90°,AC=9,8。=12.在氐一£）£万

中，NF=90。，£>F=3,EF=4.用一条始终绷直的弹性染色线连接CF,RtDEF从起

始位置（点。与点8重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB

上，则RtZMBC的外那被染色的区域面积是

【答案】28

【解析】

【分析】

过点F作A8的垂线交于G,同时在图上标出M,N,F'如图，需要知道的是心A8C的被染

色的区域面积是S悔彩,所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，

求出相应边长，即可求解.

【详解】

解：过点尸作AB的垂线交于G,同时在图上标出M,MF'如下图：

,NC=90°,AC=9,8c=12,

：.AB=>JAC2+BC2=15>

在RtDEF中,ZF=90°,DF=3,EF=4.

DE=yjDF2+FE2=5，

AE=AB—OE=15—5=10,

EF//AF',EF=AF',

..・四边形AEFF'为平行四边形，

AE=FF'=IO.

Sm：F=^DFEF=^DEGF=6,

12

解得：GF=y

DF//ACf

：.NDFM="CM/FDM=NOAM,

DFMsACM,

,DMDF1

-AC-3?

:.DM^-AM=-AB=—,

344

BC//AF',

同理可证：一ANF's_DNC,

AF'AN1

---=----=—，

BCDN3

345

,•.DN=3AN=-AB=—,

44

MN=DN-DM,

444

Rt-ABC的外部被染色的区域面积为SfWMN=；*（¥+10卜£=28,

故答案为：28.

【点睛】

本题考查了直角三角形，相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，

解题的关键是把问题转化为求梯形的面积.

30.（2022•江苏泰州•中考真题）如图，以与圈。相切于点A,P。与团。相交于点8,点C在

AmB上，且与点A,B不重合，若回产=26。，贝胞C的度数为\

【答案】32

【解析】

【分析】

连接OA,根据切线的性质和直角三角形的性质求出团。=64。.再根据圆周角的定理，求解即

可.

【详解】

解：连接04,

与团。相切于点A,

团回加0=90°,

豳0二90°-团P,

00P=26°,

团团0=64°,

回回C=g回。=32°.

故答案为：32.

【点睛】

此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线,

求出自。的度数.

3L（2022•江苏常州•中考真题）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽

略不计）扭动成四边形A3CD,对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂.若

ZfiAO=60°,则橡皮筋AC断裂（填"会"或"不会"，参考数据：6*1.732）.

【答案】不会

【解析】

【分析】

设扭动后对角线的交点为0,根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的

性质及条件，得出△相£＞为等边三角形，利用勾股定理算出AO=106,从而得到AC,再

比较即可判断.

【详解】

解：设扭动后对角线的交点为0,如下图:

ZBAD=60°,

根据正方形的性质得，

得出扭动后的四边形四边相等为菱形，

AD=AB=20,

A3。为等边三角形，

BD—20,

BO=-BD=\0,

2

AO=《AB。-B（f=10>/3-

根据菱形的对角线的性质：AC=2AO=206x34.64,

34.64<36,

•••AC不会断裂，

故答案为：不会.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌

握菱形的判定及性质.

32.（2022•江苏常州•中考真题）如图，一A8C是O的内接三角形.若/ABC=45。，AC=后,

则，。的半径是.

【解析】

【分析】

连接。4、OC,根据圆周角定理得到NAOC=90。，根据勾股定理计算即可.

【详解】

解：连接。4、0C,

ZABC=45°,

ZAOC=2ZABC=90°,

：.OA2+OC2=AC2,CP2OA2=2,

解得：OA=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键.

33.（2022•江苏常州•中考真题）如图，在.ABC中，E是中线AO的中点.若△AEC的面积

是1,则△A3。的面积是.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据A4CE的面积=ADCE的面积，AABD的面积=AA8的面积计算出各部分三角形的面积.

【详解】

解：AD是8C边上的中线