考场仿真卷01-2021年高考数学模拟考场仿真演练卷（解析版）

绝密★启用前

2021年高考数学模拟考场仿真演练卷(新高考)

第一模拟

本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.命题“□£>(),2-工2+1$0”的否定是()

A.Dx>0,炉・/+1>0B.□%>(),x3-^+1>0

C.□烂0,A-3-x2+l>0D.Dx>0,x3-^+1>0

【答案】A

【分析】

由含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】

因为命题为全称命题，则其否定为3>0,

故选：A.

2.f表示虚数单位，复数z=(1+2力2”在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】

先将复数化为代数形式，然后根据复数的几何意义就可以作出判断.

【详解】

□z=(1+2J)2・i=(1+4/-4)<=-4-3i,

匚复数N=(l+2z)2”在复平面内对应的点的坐标为(・4,-3),位于第三象限.

故选：C.

3.如图，长方体A3C£>-A4G〃被两平面分成三部分，其中EF//GHNBC,则这三个几何体中是棱

柱的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】

根据棱柱的定义判断即可.

【详解】

长方体ABCD-A4GA被两平面分成三部分，其中EF//GH//BC,

其中两个三棱柱，底面是直角三角形；

另一个是底面为6边形的直棱柱，

所以这三个几何体中是棱柱的个数为：3.

故选：D.

_____________uuUU1X11

4.若3_1而,|幅|=1，则04(04+08)=()

A.2B.1C.-1D.0

【答案】A

【分析】

根据5AAB=O川-求出函•历=1，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.

【详解】

函J_函函=1,

OAAB=OA(AO+OS)=-(OA)2+OAOB=-\+OAO§=O,

OAOB=\，

次(厉+9)=加+方历=1+1=2.

故选：A.

TT]

5.已知函数/(x)=sin(5+。)6y•的图象如图所示，则()

\乙)

A.函数/*)的最小正周期是2乃

B.函数f(x)在区间(5,乃J上单调递减

C.函数/(x)在区间——-上的最小值是-1

43

D.曲线y=/x+关于直线工=-]对称

【答案】C

【分析】

根据函数图象求出函数解析式，再结合选项一一判断即可:

【详解】

解：|11函数怪I象川知————..———,所以T=7T,因为7*=---=1,所以最小正周期为冗♦所以G=2，

41264co

故A错误;

(5万、‘所以/修1，所以学+。=£+2攵万次eZ,解得

又函数过点二,1sin|2x—+

U2JI1262

(p=~+2k7r,keZ,因为|夕|＜曰，所以尹=一?，所以/(%)=sin2x-7^tj,当参")所以

3

()仃

汇/2式75q乃、qj7~、

2x——G—,因为y=sinx在XE上不单调，故B错误;

31I333JI33)

,「3乃4乃~|兀「7兀7兀］“一.（c万、1v3

当,所以2%—二£—,—,所以sin2x-二■€-1,—故C正确;

L43J3|_63」I3）2

,当x=一巴时，y=sin—=—^±1故尢=_：不

2622

是函数y=/（x+^J的对称轴，故D错误

故选：c

222

6.已知椭圆C：=+与=1（«>/）>0）的左焦点为尸（・c,0）,上顶点为/（0,b）,直线》=-幺上

a2b2c

存在一点P满足（FP+FA）>AP=0»则椭圆的离心率的取值范围为（）

A,占，1）B.[―,1）C.[@二L1）D.（0,—]

2222

【答案】C

【分析】

设点尸（--ym）»由（所+另5）•而=0，得。4-312+04=-/〃2c2&0,从而可得出e的不等式，从而

可求得其范围.

【详解】

由题意可得4（0,6）,尸（-60）,设点八一—,m），则而二（c一幺，咐，丽=（c㈤，而二（一幺,m-刀,

因为：司+万5）•丽=0,所以多一2«2—6+加2=0，即/-3a2c2+"=-用2c24），即〃-34+100,

解得主必we2g红叵，即避二Iwew垦1,又因为椭圆离心率eVL所以椭圆的离心率为

2222

[与,1），

2

故选：C.

【点睛】

方法点睛:本题考查求离心率的取值范围.解题关键是找到关于a，c的齐次不等式.只要设点P（-—jn）,

c

由向量数曷积的坐标表示以列出方程，利用方程有解即由机2之o可得a,c的不等式，得出离心率的范围.

7.已知一组数据丢失了其中一个，另外六个数据分别是10,8,8,11,16,8,若这组数据的平均数、中

位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为

A.12B.20C.25D.27

【答案】D

【分析】

设出未知数，根据这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，列出关系式，因为所写出的结果对于X

的值不同所得的结果不同，所以要讨论X的三种不同情况.

【详解】

设这个数字是％,则平均数为W?,众数是8,若用,8,则中位数为8,此时％=-5,

若8<x<10,则中位数为X,此时2/=生尸+8,X=9,

若"10,则中位数为10,2x10=巴上+8,x=23,

所芍可能值为-5,9,23,其和为27.

故选£>.

【点睛】

本题考查众数，中位数，平均数，考查等差数列的性质，考查未知数的分类讨论，是一个综合题目，这

是一个易错题目.

8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：

设工=凡用卜[表示不超过X的最大整数，则），=[目称为高斯函数，也称取整函数，例如：

[-3.7]=-4,[2.3]=2.己知/（力=/1一，，则函数y=[〃x）]的值域为（）

ex+12

A.{0}B.{-1,0}C.{-2,—1,（）}D.{-1,0,1}

【答案】C

【分析】

利用常数分离法将原函数解析式化为/（"=-告|■+；,然后分析函数/（力的值域，再根据高斯函数的

含义确定丁=[/(力]的值域.

【详解】

ex1e'+l—2121

f\X)=-------=----------=------1—，

―ex+\2ex+\2ex+\2

291-11A

当xNO时，ev>1»则TV--；―-<0,故f(x)=一一-+-e,故[f(x)]w｛-1,0｝；

eI1e+izL乙)

但x<0时，0<e*<1,则一2<-----<-1,故/(x)=一一；―l»[/(x)]e｛-2,—1｝；

ei1eI1zzzj

综上所述，函数y=[f(x)]的值域为｛-2,-1,0｝.

故选：c.

【点睛】

本题考查新定义函数及函数值域求解问题，解答本题的关键在于根据指数函数的性质分析清楚

/(力=1一3的值域，然后确定y=[〃x)]的值域.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在公比4为整数的等比数列｛4｝中，是数列｛4｝的前〃项和，若4+。4=18,%+々3=12,则下列

说法正确的是()

A.4=2B.数列｛1g4｝是公差为2的等差数列

C.数列的前〃项和的最大值为1D.数列｛S“+2｝是等比数列

【答案】AD

【分析】

利用等比数列通项公式求解可，q,进而求得igq，s“+2,从而判断各选项.

【详解】

伍=4.(1+/)=18

由等比数列通项公式得<।4:;、

[a2+a3=(q+q~)=12

4=16

4=2

解得《1，或《1，

4二2q=3

又公比g为整数，故〈।），4=4©内=2〃，故A选项正确；

q=2

Iga”=lg2“=〃lg2,故数列｛电q｝是公差为lg2的等差数列，故B选项错误；

数列是以:•为首项和公比为;"的等比数列，故前几项和为北、2|=]'J"'故C

~2

选项错误；

S“十2=2向，故｛S“+2｝为等比数列，即D选项正确：

故选：AD.

【点睛】

本题的解题关键在于结合等比数列的通项公式求得基本量.

10.“杨辉三角”是中国占代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组

平行线，从上往下每条线上各数之和依次为：1,1,2,3,5,8,13,…，则（）

/4

，匕2二才

,二3：二3二二丫

♦才"/二4♦♦41

1051

I-■15201561

A.在第9条斜线上，各数之和为55

B.在第〃（几.5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小

C.在第〃条斜线上，共有2〃十1一（一1）,个数

4

D,在第11条斜线上，最大的数是C；

【答案】BCD

【分析】

根据从上往下每条线上各数之和依次为：1,1,2,3,5,8,13,…，得到数列规律为4+4向=（+2判

断A选项，再根据杨辉三角得到第〃条斜线上的数为：c'cLC'cL-ct；，。、叫'…判断BCD

选项；

【详解】

从上往下每条线上各数之和依次为：1,1,2,3,5,8,13,…，

其规律是4+。〃+1=q+2，

所以第9条斜线上各数之和为13+21=34,故A错误；

第1条斜线上的数：°：,

第2条斜线上的数：C：：

第3条斜线.上的数：

第4条斜线上的数：C；,C；，

第5条斜线上的数：C?,C；，G，

第6条斜线的数：

・・・・・・,

依此规律，第〃条斜线上的数为：。二，。：_2,。：3，。二，♦-，。二；,。二（川厂・，

在第11条斜线上的数为c：。，c：,c；c；，c：,c；，最大的数是c；,

由上面的规律可知；〃为奇数时，第〃条斜线上共有等个数；

〃为偶数时，第〃条斜线上共有共有］=日个数，

所以笫n条斜线上共2〃+1一（—1）”,故c正确；

4

由上述每条斜线的变化规律可知：在第〃（〃..5）条斜线上，各数自左往右先增大后减小，故B正确；

故选：BCD

【点睛】

关键点点睛：本题关键是找到第〃条斜线上的数为C:，C：.2,C：3，CL-C：t，C：（«.武•••

11.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统•的和谐

美.定义：能够将圆0的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆。的一个“太极函数”.则下列有关说

法中，正确的是()

A.对于圆。：f+y2=l的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数

B.函数/(x)=sinx+l是圆。：/+仃一］)2=］的一个太极函数

C.存在圆。，使得=是圆。的一个太极函数

D,直线(机+l)x—(2m+l)y—l=0所对应的函数一定是圆。：(x—2『+(y—1)2=R2(R＞。)的太极函

数

【答案】BCD

【分析】

利用“太极函数”的定义逐个判断函数是否满足新定义即可.

【详解】

对于A,如下图所示，若太极函数为偶函数，QSACE=SK0rspDFB，所以该函数平分圆。的周

对于B,/(x)=siiu:+l也关于圆心(0,1)对称，平分圆。的周长和面积，所以函数/(x)=sinr+l是圆

。：/+(),一球=］的一个太极函数；故B正确；

对于3f(x)=

"+1-，+1--7+1

v/（-x）=—^-=-^一=-^-r=-/（x）,该函数为奇函数，图象关于原点对称.

e+1，+]1+e

7

2使得了⑺ex-\

所以存在圆0：X+y2=i是圆。的一个太极函数，如下图所示，故C正确;

ex+\

对于D,对于直线(m+l)x-(2m+l)y-l=0的方程,变形为〃z(x-2y)+(x-y-1)=0,

〔(…x-2y=二0。叫K=2

令《直线（机+1）%—（2心+1）>-1二0经过圆。的圆心，可以平分圆。周长和面

积，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】

本题考查函数对称性的判定与应用，将新定义理解为函数的对称性为解题的关键，考查推理能力，属于较

难题.

12.在口48。中角A、B、。所对的边分别为。、b、C,能确定。为锐角的有（）

A.ACCB>0B.a2+b1>c2

C.A、3均为锐角，且sinA>cosBD.tanA+tanB+tanC>0

【答案】BCD

【分析】

判断出cosC的符号，可判断AB选项；判断A+8与J的大小关系，可判断C选项；判断tanC的符号,

2

可判断D选项.

【详解】

对于A选项，AC-C5=-CA-C5=-|c4|-|cfi|cosC>0,可得cosC<0,则C为钝角，A选项不满足

条件:

2»22

对于B选项，由余弦定理可得cosC=-十一°>0,则C为锐角，B选项满足条件;

2ab

71

对于C选项，因为B为锐角，则也为锐角，

2

因为sinA>cos8=sin（2一81，且函数y=sinx在（0,3[上单调递增，A、巴-B均为锐角,

U）I2）2

所以，A>£—3,则所以，0vC=%—（A+8）V£,C选项满足条件；

对于D选项，若□ABC为直角三角形，则tanA、tanB、tanC中有一个无意义，不合乎题意.

,

t.•A-^-B+C=Jr,A+B=7T-Ct..tan(A+B)=tan(^--C)=-tanC,

tan4+tanB

由两角和的正切公式可得tan(A+B)=,则tanA+tanB=tan(A+B)(l-tanAtanB),

1-tanAtanB

所以，tanA+tan9+tanC=tan(A+占)(1—tanAtanB)+tanC

=tanC-tanC（l-tanAtan^）=tan4tanBtanC>0,

由于口A8C中至少有两个锐角，则lanA、tanB、tanC中至少有两个正数,

进而可知tanA、tan8、tanC均为正数，从而C为锐角，D选项满足条件.

故选：BCD.

【点睛】

方法点睛：判断口43。的内角C为锐角，可从以下方面来进行分析；

（1）：.角函数值符号：cosC>0或tanC>0；

（2）平面向量数量积：G4.C§>0

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设随机变量〃~N（2,l）,若尸（77<36+1）=尸则机=.

【答案】2

【分析】

根据v3机+1）=尸（〃>加一5）,利用正态分布的对称性求解.

【详解】

因为P（7<3w+1）=P[rj>m-5）,

一i…3加+1+加一5-

加以-------------=2,

2

解得m=2.

故答案为：2

冗冗

14.记集合力=口，b],当先时，函数/'(夕)=2j5sin8cose+2cos2。的值域为&若

_64

是七口5”的必要条件，则方-。的最小值是

【答案】3

【分析】

根据三角函数知识求出B,再根据必要条件的概念列式可解得结果.

【详解】

函数/(〃)=273sin6>uus04-2uus20=43sin2^+cos2^+1=2sin(2^+^)+1.

o

当比时,2。+9£[-9，4]，所以sin(2e+m)£[-[,l],

64J66362

TT

所以2sin(26>+-)+1e[0,3],即B=[0,3],

6

若“xA”是'口8”的必要条件，则8口4

a<0

所以C，所以人一。23,

[b>3

□b-a的最小值是3.

故答案为：3.

【点睛】

关键点点睛：将是、口歹的必要条件转化为8口人是解题关键.

15.过双曲线。:夕-£=13>°乃>0)的焦点耳作以焦点鸟为圆心的圆的切线，其中一个切点为M,

△6巴M的面积为其中。为半焦距，线段峙恰好被双曲线。的一条渐近线平分，则双曲线C的离

心率为.

【答案】&

【分析】

由图像可得耳N_LON,由焦点到渐近线的距离等于b可求得忻N|=b,进而图像中线段的长度，根据

的面积为°2列出等量关系式，最后解方程求出离心率即可.

【详解】

由题意，可得图像如图:

ON//MF2,F、N工ON,

j\FlN\=b,[\ON\=a,

叫|=周=3,

4a2(c2-a2^=c4,

□e4-4e2+4=0.

□e2=2»e=V2-

故答案为：&.

【点睛】

双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法:

□求出a,c,代入公式e=£；

a

□只需要根据一个条件得到关于a,b,。的齐次式，结合62=°2—加转化为。的齐次式，然后等式（不等

式）两边分别除以a或加转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

16.在四棱锥S—44c。中，AB//CD,AD=AB=BC=；CD=2,SA=5SB=SD=&，则三

棱锥S-AB。外接球的表面积为.

【答案】竺乃

4

【分析】

依题意知。。的中点。1为外接圆的圆心，设三棱锥S-4BD外接球的球心为。，则0«_L平面

ABCD,设外接球的半径为H，则尺2=0。；+00：=5£2+0石2,代入数据即可求解半径，从而得球表

面积.

【详解】

如图所示，取CO的中点。1,连接4Q,BO「并连接。。交AQ于H,

连接SH.因为48〃CO,AD=AB=BC=-CD=2,

2

所以囚边形AB。。和四边形ABCQ均为平行四边形，

所以AD=BO】=BC=AO],故BO]=DO]=CO、=AO1,

所以0]为△ABO外接圆的圆心且BC1.BD,

则£>=2有，BH=*D=6,A"=gAq=l,

因为SB=SD=«，所以S”_L8。，所以SH=2.

因为5A=逐，AH=l,所以S42=A”2+S”2,所以S〃J_A”，

因为AHcBH=H,所以S〃_L平面

设三棱锥S—A8。外接球的球心为0,连接0。，OS,00],

则00、_L平面ABCD，则S”〃OQ.过点。作OE_LS”于点E,则OEHHO、,

故四边形。。1座为矩形，故OM=OE=1,HE=OO].

设oq=x,外接球的半径为R,则氏2=00：+9=5石2+0E2,

又。«=2,则/+4=(2—4+1,解得X=L所以R2=粤，

416

所以三棱锥S-ABD外接球的表面积为4.T/?2=—7t.

故答窠为：—

4

【点睛】

方法点睛：求外接球半径的常用方法：

（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去

求解；

（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；

（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一

定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.（10分）如图，已知口人〃。的内角A、B、C的对边分别为。、力、C,其中人工。，且尻os8=ccosC,

延长线段8C到点O,使得BC=4C0=4,ZC4D=30°

（1）求证：N3AC是直角；

（2）求f的值.

AD

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【分析】

（1）利用正弦定理边化角，利用二倍角的正弦公式得到sin2B=sin2C,注意到bHc,排除2B=2C的情况，

得到28+2C=180。，即可进一步求得L瓦IC的值；

（2）分别在三角形NC0和三角形48c中使用正弦定理得到AO=2sinNAC0,AB=4sinZACB,进

而求得.

【详解】

（1）由正弦定理可得sin8cos8=sinCcosC,

即sin2B=sin2C,

b^c,

28+20=180。

B+C=90°,

ZB.4C=180o-90o=90°

（2）由（1）可知,

BC=4,CD=\,

ZR4C=90%NCAO=30。，

ADABAB.

2,---=---sinZ.ACB.

sinZACDsin30°BC4

AD=2sinZACDfA8=4sinN4CB,且sinNACD=sinNACB.

四二2

AD

【点睛】

本题考查正弦定理在解三角形中的综合应用，关键是熟练利用正弦定理边角互化和计算.

18.（12分）已知数列｛4｝的前〃项和为5，4>1,若数列｛4｝满足q+1>可，且105〃=（24+1）（4+2）,

nGN..

（L）求数列｛4｝的通项；

（口）是否存在加，九，kWN*，且机<"<%,使得成立？若存在，写出一组符合条件的机，H,

A的值；若不存在，请说明理由.

从口3（5“一S〃,）=&,□zg,一4"%这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（匚）（□）答案见解析.

【分析】

（）利用已知条件和数列通项％与前〃项和5“间的关系进行推理，利用定义得到数列为等差数列，最后

利用等差数列的通项公式求得数列的通项：

（一）首先假设存在相，n,keN'，且6<〃<2,使得结论成立，然后利用等差数列的通项公式或前〃

项和公式进行推理，求得一组值或说明正整数机，n,2不存在.

【详解】

解：（□）由10q=（2q+l）（q+2）,得2a；-54+2=0,解得q=2或a=；.

由于q＞1,所以q=2.

因为10\=（勿〃+l）（q,+2）,所以1OS”=加：+5%+2.

故1的川=IOS…-10S„=2a；+i+5。,用+2—2＜/：-5alt-2,

整理，得2(°3一。：)-5(%+4)=0,即(4+]+4)[2(%+「％)-5]=0.

5

因为数列｛q｝满足勺+1＞外,所以｛4｝是单调递增数列，且q=2,故。向+《工0,因此4

则数列｛〃“｝是以2为首项，£为公差的等差数列，

所以%=2+g(〃_l)=g(5〃_l).

()若选□:满足条件的正整数机，n,%存在，如m=n=2,k=3.

假设存在机，*ksN"，且相＜〃＜2,使得3(S〃一S〃J=SQ

53则3却+。人于+%2

因为s.=/+r=-k+-k,

44、44)44

整理,得315（〃2-〃/）+3（〃-m）］=5炉+3%,

3（"一加2）二42,2

所以不妨设'）,所以加=-2,n=-k.

3（n-m）=k,33

所以取女=3,则相=1,〃=2.

若选二：满足条件的正整数机，"，攵不存在.

理由如下：

假设存在机，〃，keN"，且相＜〃＜々，使得2(4〃+qJ=4，

13

则5〃?-1+5〃-1=5(5左-1),整理，得2m+2"k=g,(*)

显然，左边为整数，所以(*)式不成立.故满足条件的正整数加，n,女不存在.

【点睛】

关键点点睛：本题以数列为载体，要求考生掌握等差数列的定义、通项公式及前九项和公式,体现了数学

抽象、逻辑推理和数学运算的数学核心素养，关键在于准确地运用相应的公式，建立方程组,运用方程的

思想求解.

19.〔12分）如图，四棱锥尸—A8CO中，底面ABC。是矩形，AB=2,A£>=4,且侧面248_1_底面

ABCD,侧面尸人。底面点F是PB的中点，动点E在边上移动，且PA=2.

（1）证明：PA_L底面A3CO；

（2）当点E在BC边上移动，使二面角E—A尸—8为60。时，求二面角尸-AE—P的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）叵.

4

【分析】

（1）由侧面PAB±底面ABCD,得到ADJ.平面PA3,ADYAP,同理侧面PAD1,底面ABCD,再

由AB_L4£），得到ABJL平面PAD、A8_LA尸可得答案；

（2）由PAJ■底面ABC。，AD1侧面PAB,8C_L侧面PAB,分别以A£>,AB,求出平面尸AE、

平面PAE的法向量由数量积公式可得答案.

【详解】

（1）证明：•・,侧面PABJ_底面ABCZ）,且侧面PABc底面ABCO=AB,

•.•AQJ_A3,.平面PA8,「.ADJ,AP,同理侧面尸A。_L底面ABCD,

且侧面PAOfl底面ABCD=AD,

vABA.AD,.•.钻_1平面尸4。，，48_1.4。，

/.PA_L底面ABCD.

（2）・.・E4J_底面A3CO,点尸是PB的中点，且PA=A8,

AFLPB.・.・AOJJ则面PAB,RAD!IBC.

BCJ■侧面PAB，BC1AF,

AF_L侧面28。，/./BFE为二面角E—4尸-B所成的角，

当N即汨=60°时，BE=6

vAD,AB,AP三线两两垂直，分别以AO,AB,AP为X、＞、z轴建立空间直角坐标系，如图所

示，

4(0,0,0),P(0,0,2),产(0,1,1),网迷,2,0b

AP=(0,0,2),而=(0,1,1),XE=(76,2,0),

设平面FAE的法向量为根=（式［,乂，4）,

加•荏=0\f6x1+2y1=0

则〈一，得〈

m-AF=0y+Z]=0

令4=3,得玉=灰,凹=一3,则相=（而,一3,3卜

设平面PAE的法向量为〃=（工2，%，22），

n-AP=02Z2=0-

由，一，得鬲+2%”令*®得3Tz『0,

M•AE=0

〃二(",-3,01

设二面角F-AE-2为a,Mcosa=—^.+%=—.

2V6V154

【点睛】

本题考查了面面垂直的性质、线面垂直的证明，以及求二面角的余弦值，解题的关键点是建立空间直角坐

标系，利用数量积公式，考查了学生的空间想象力和计算能力.

20.112分）甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人先分别坐

在圆桌的A，8，C三点，第一轮从甲升始通过掷骰子决定甲的竞答对手，如果点数是奇数，则按逆时针

选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，

如果点数是奇数按逆时针选对手，点数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获

胜的概率分别为?，!且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获

胜场数达到2场，游戏结束，该选手为晋级选手.

（1）求比赛进行了3场且甲晋级的概率；

（2）当比赛进行了3场后结束，记甲获胜的场数为X,求X的分布列与数学期望.

【答案】（1））；（2）分布列见解析；期望为空.

6144

【分析】

（1）根据题意分别求出每一类情况的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解；（2）由题意可知X的

所有可能取值为0,1，2,利用独立事件与互斥事件的概率公式求出对应的概率即可求出分布列与数学期

望.

【详解】

解：（1）甲赢两场，分下面三种情况

口第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜

概率为，

232232322318

」第一场甲输，二三场均胜

111212111211121111

概率为：-x-x-x-x—X—+—X—+—X—X—X—X-X-----1-----X-I=-------

2323232323232323)18

第一场甲胜，第二场输，第三场胜

1211c21nli12(1211)1

概率为:

2323(2322323(2323)18

由互斥事件的概率加法公式可知：比赛进行了3场且甲晋级的概率为：[+1+1=

1818186

（2）依题意X的所有可能取值为0,1,2

由(1)知P(X=2)=L

6

当比赛进行了3场后结束,甲获胜的场数为X=O时,

分两种情况:

11111121111

3场比赛中甲参加了1场,输了，概率为:—X—X—X—X-----1-----X—X—X—X—=——

232222322216

3场比赛中甲参加了2场,都输了，概率为:lxlxlxlxlx2lx^xixlxlxi±

232223+232223=36

3场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到3场.

所以尸(X=0)=」+」13

1636144

131107

故p(X=1)=1_p(X=0)-P(X=2)=1---——

1446144

故X的分布列为

X012

13107

P

L441446

w八131107cl155

则E(X)=0x---F1x----F2x——---.

1441446144

【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查数据处理能力、运算求解能力，考查数学运算、数据

分析、数学抽象核心素养.

22

21.（12分）已知椭圆C:[+4=l（a>b>0）的短轴长为2,离心率为二.

a~b2

（1）求椭圆。的方程；

（2）点P是椭圆。上一点，且在第一象限内，过尸作直线与交y轴正半轴于4点，交x轴负半轴于8点,

与椭圆C的另一个交点为£且=点。是尸关于x轴的对称点，直线”与椭圆C的另一个交点

为尸.

（□）证明：直线AQ,4P的斜率之比为定值;

（L）求直线E/的斜率的最小值.

•2=1；（2）（□）证明见解析；（口）逅.

【答案】（1）y+y

2

【分析】

（1）根据条件解出。力的值，写出椭圆方程;

（2）⑴设p点的坐标为（与,%）,由点。是P（毛,%）关于x轴的对称点可得0%,一%）,由尸4=4B可

得Ag3%），代入求斜率左必和斜率即,，计算比值；

（"）设直线PA的方程为丁="+小，与椭圆联立求E点坐标，由上一问所求斜率的比值可得直线。4的方

程是）=-3辰+加，与椭圆联立求产点坐标，从而求出直线E尸的斜率，不等式求最值.

【详解】

28=2,

解：（1）由题意得|£=",解得a=应,

a2b=i.

a2=b2+c2.

2

所以椭圆C的方程为］+y2=i.

（2）（/）设P点的坐标为（工,％）,

因为点。是尸（%，为）关于1轴的对称点，P4=AB，

所以2（%,一%），A（0,；为）・

所以直线。的斜率为*'_一为一5稀_-3%,PA的斜率为

8与2%

与2x0

%_

所以

所以直线AQ，AP的斜率之比为定值.

（//）设直线PA的方程为y=履+”.

y=kx+m,e、、

联立方程组〈；八2八化简得（1+2公）/+451r+为2—2=0.

f+2yz=2,

设E点的坐标是（X，y）,

所以玉不二翟所以X

2k(m2-\)

所以X+m.

(1+2公)/

所以E点的坐标是（（，2：o'：*）；+M.

由（2）可知，直线QA的方程是y=-3"+加.

所以尸点的坐标是（（；：屋/（普嬴；+'"）•

-hk(in2-1)2^(m2-1)

----------Fni------------------

(1+185)/(1+2公)/6A2+1

所以直线EF的斜率原「=

2m2-22m2-24k

(1+18/)/―(1+2%2)/

因为A>0,所以2.="士=’(6%+1)21、2、热?=亚.

即4k4&4Vz2

当且仅当62=1,即攵=迈时，原F有最小值迈•

k62

所以