浙江省宁波市宁波九校2023-2024学年高二年级上册1月期末数学试题

宁波市2023学年第一学期期末九校联考高二数学试题

第I卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.抛物线炉=2〉的焦点坐标为()

A.(0,；B.(1,0)C.(0,1)D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，即可求解.

【详解】由抛物线f=2y,可得抛物线的开口向上，且2〃=2,所以〃=1,

所以抛物线的焦点坐标为尸(0,g).

故选：A.

2.直线x-3y+5=0的横截距为()

A.1B.-5C.-ID.3

【答案】B

【解析】

【分析】令y=o,求出x的值，即可得解.

【详解】由直线x—3y+5=0,

令y=O,则％=-5.

故选：B.

3.已知y=是可导函数，如图所示，直线>=履+2是曲线y=/(外在1=3处的切线，令

g(x)=xf(x)t/⑶是g(x)的导函数，则g'(3)=()

A.OB.IC.-1D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】先求出g'(x)W(x)+/(x)，再根据图象求出f(3)=l,r⑶=-g,代入g'⑶计算即可.

【详解】由图可知：y=f(x)过(3,1),所以f(3)=l,

又y=h+2过(3/)，所以1=3攵+2,2=-g,即f'(3)=-g.

而g'M=矿(x)+f(x),所以g'(3)=/⑶+3/(3)=l+3x(-l)=0

故选：A.

4.下列说法正确的是()

A.事件A与事件B互斥，则它们的对立事件也互斥.

-1-1——1

B.若P(A)=；；,P(B)=,且P(A8)=:，则事件A与事件8不是独立事件.

3：2;6

C.若事件A,CC两两独立,则P(ABO=P(A)P(B)P(C).

D.从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件A=｛取出的两个球均为红色｝,6=｛取出的两个球颜色

不同｝，则A与8互斥而不对立.

【答案】BD

【解析】

【分析】AC可举出反例排除；B选项利用对立事件概率公式计算，根据独立事件概率公式验证；D选项根

据互斥和对立的定义判定.

【详解】A选项，投掷两枚骰子，出现的数字之和为10为事件A,出现的数字之和为11为事件8,

则事件4与事件8互斥，

事件A的对立事件,为出现的数字之和不为10,

事件5的对立事件豆为出现的数字之和小为11,

则氐力不互斥，比如出现数字之和均为9,故A错误；

B选项，由题意得P(AB)=1-尸(而)=2,

P⑷尸(8)=口一户(可][1—户出)]——PG钻)工尸⑷尸伊)

则事件A与事件B不是独立事件，故B正确；

C选项，假设有一个均匀的正四面体，一面涂有红色，一面涂有黄色，一面涂有蓝色，另一面涂有红、

黄、蓝色，随机取一面观察其中的颜色.

事件A="出现红色”，尸（A）=g；事件8="出现黄色”，P（B）=1；事件C="出现蓝色”，

P（C]=g；我们很容易得到P（AB）=1=P（A）P（B）,P（AC）=^=P（A）P（C）,

P（BC）=-=P（B）P（C）t但是「（A5C）=一,P（A）P（B）P（C）=-,P（4BC）=P（A）P（B）P（Q,

448

故C错误；

D选项，2个红球分别为红1、红2；2个白球分别为白1、白2.

则C包含以下基本事件，（红1，红2）,（红1,白1）,（红1,白2）,（红2,白1）,（红2,白2）,（白

1,白2）.

事件A包含以下基本事件：（红1,红2）；

事件8包含以下基本事件：（红1，白1），（红1，白2）,（红2,白1）,（红2,白2）,

显然A与8互斥而不对立，故D正确.

故选：BD.

22

5.己知双曲线三一方=1（。>0/>0）的离心率为右，其中一条渐近线（斜率大于0）与圆

（%-3）2+（丁-2）2=/交于私N两点，且|MN|=竽则厂=（）

A.1B.y/2C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而列出弦长求解即

可得出结果.

222>2,、22

【详解】双曲线*■-专一Ka〉。”〉。）的离心率为石，得色:一=1+=（V5p

解得：2=2,于是双曲线的渐近线方程为y=±21,即2x±y=0,

a

圆（x-3）2+（y-2）2=r2的圆心（3,2）,半径「，

当渐近线（斜率大于0）时，即为2x-y=0时，

|2x3-2|二4

点（3,2）到此直线2x-），=0的距离为d

亚2+R飞

W，解得:

又因为弦长=2尸彳=2r=2.

故选：c.

6.电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，己成为社会稳定和人民安全的重大威胁.2023年"月17日外交

部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效.此

前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗，则对这10

人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区假设每人被骗取钱财的概率

为〃且相互独立，若当〃=〃0时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最

大值，则Po的值为()

A.1—立B.

55

【答案】B

【解析】

【分析】根据相互独立事件同时发生的概率写出概率公式，再用导数的方法确定Po的值.

【详解】设至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率为了(〃),

因为：r(p)=8(l-p)74(-)/1+(一切)'++(l~p)9=2(l-p)77p2-5p+/

由0<pvl,得：5P2-10〃+1>0=〃<1一竽.

(2/5(2J5)

所以〃p)在0,1--^-上递增，在1—1』上递减

所以当p=l-竽时，〃p)取得最大值.即“0=1-辿.

故选：B

,11,

7.已知A,B,。是抛物线f=2〃y(p>0)上的三点，且4(2,1),若厂+1-=4,则点A到直线BC

"B尤AC

的距离的最大值为()

A.75B.2&C.回D.26

【笑】C

【解析】

【分析】将42,1)代入抛物线方程，得到p=2,得到d=4y,设B,C和旬，由

11

厂+厂=4求出玉+七=一%々，设直线BC的方程为)，=去+小，联立抛物线方程，得到两根之和,

化人8^AC

两根之积，从而得到女二团，得到直线8c恒过定点求出距离最大值.

【详解】将42,1)代入f=2py(p>0)中得，2P=4,解得〃=2,故f=4y,

,2\（,2

x

设5X，耳,C2->~~由题意得XH9，X，9工±2，

1144,/、

故27+=%+三互=4，即氏+9+4=%9+2（玉+w）+4,

故x1x2+%+%=0,即X]+/=-%匕，

设直线BC的方程为y=履+加，联立抛物线方程X2=4)，得，

2

X-4AX-4/W=0»则内+电=4k,xxx2=-4m,△=14(-+加)>°，

故4攵=46，解得A=〃z,

所以直线BC的方程为y=Z(x+1),恒过定点D(-1,O),

故点A到直线BC的距离最大值d=\AD\=J(2+if+(1—0)2=V10.

为取等号，A/J_L8C',因为心Q=g，以％=m二一3,满足△=14(/+机)>0,

故选：C

8.若存在正实数MV,使得等式4x+a(y-3e2*(lny—lnx)=0成立，其中e为自然对数的底数，则实

数。的取值范围()

A.(』0)=卜2,+8)B.(-oo,0)U4,+8)

C.(^0,0)j[4e2,+oo)D.(-oo,0)U占，+81

[<1B

【解析】

【分析】化简题目所给等式，分离常数。，通过构造函数法，结合导数来求得。的取值范围.

【详解】依题意存在正实数x,y,使得等式4x+a()，—3e2x)(lny-lnx)=0成立，

4+心一3e2'nq=0,

当。=0时，4=0,不符合题意，所以

令r二2>0,4+a(r-3e2)lnr=0,—^=(r-3e2)lnz,

构造函数3e2)」nfj>0,^(r)=inr+^^l=lnr-y-+l,

其中对数函数y=In,在(0,+8)上递增，反比例函数y=_?在(0,+。)上递增，

所以「⑺在(0,+8)上递增，且广卜2)=近2-去+1=0，

所以在区间(0看)，八力<0,4X)单调递减；在区间区,+8),制x)>0,“力单调递增.

所以f(。的最小值为/(。2)=12-3e2).Ine2=-4e2.

要使一?二(-3e2).hw有解，

则一一>-4e2,4《e2①，

aa

当a<0时，①成立；当a〉0时，a>X-

e

所以0的取信范闱是(HO.O)Dp-.+ooj.

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.三个向量共面，即它们所在的直线共面.

B.若｛〃，仇以为空间的一个基底，则｛@+仇6+乙3+d｝构成空间的另一个基底.

C.若直线/的方向向量”二(1,0,3),平面a的法向量为2=(—2,0,|),则直线〃/a.

D.设乐&为平面。与平面月的法向量，若8$〈兀外=-苧，则平面。与平面夕所成角的大小为

71

4,

【答案】BD

【解析】

【分析】由共线向量的定义判断A；利用空间向量基底定义判断B；根据直线与平面位置关系的向量要求判

断C；根据面面角的定义判断D.

【详解】对于A选项，三个向量共面，根据向量可以任意平移，可知它们所在的直线可能共面，也可能异

面，故A错误；

对于B选项，若｛凡6,4｝为空间的一个基底，则a,3,《不共面，假设共面，

tn=1

则存在"7,〃(，几"W0)使得石+〃="(〃+£)+〃(。+方)，则有<〃=1,

/M+/2=0

解得不存在这样机〃值，则d+++4不共面，则｛4++d,d+〃｝构成空间的另一个基底，

故B正确：

对于C选项，直线/的方向向量〃二(1,0,3),平面a的法向量为$=

/、2

则而•”=lx(-2)+3x§=0,则桃_|_〃，若/<za,则〃/a,但选项中没有条件/aa,有可能会出现

Iua,故C错误；

对于D选项，勺,均为平面。与平面夕的法向量，若cos4,〃2=一4,根据平面与平面夹角范围为

,°'1>

if

所以平面a与平面夕所成角的大小为一，故D正确，

4

故选：BD.

10.已知两组样本数据王,工2，工3，匕，毛和%，%，为，》，)?5的均值和方差分别为亍，9和若

七十凡=100且％>»(i=l,2,3,4,5),则()

A.x>yB.x+y=100

c.D.s：-s；

【答案】ABD

【解析】

【分析】选项A,根据平均数公式和玉+,=100且可〉y.(i=l,2,3,4,5)即可判断：选项B利用公式计

算即可；选项D分别写出S；国，然后结合了+5=100与玉+y=100即可.

【详解】因为七+M=100,xf>y(/=1,2,3,4,5),

所以+x2+x3+x4+xs)>](y+%+必+乂+必)，

即无>9，故A正确；

__1]

由工+y=工(*+电+占+匕+&)+^()'|+%+%+乂+为)

=1x(100+100+100+100+100)=100,

所以工+尸=100,B选项正确；

由S；=|[■-X)-+(%-%)~+(七-X)+-x)~+(W-x)一，

2

%一9+仪-丁

又无+了=100=>歹=100—元,

七+y=I00ny=100-xx(Z=1,2,3,4,5),

;2

所以£=1[(>i-Sy+(y2-y)+(必一if+(M一耳~+(%—I)?

所以s；=$,故D选项正确，c错误.

故选：ABD.

11.已知函数/(x)=ln(cosx)+sin2x,则()

A.f(x)=f(-x)B./(x)在(一方寻单调递增

[IC

C./㈤有最小值D.f(x)的最大值为二

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用导数，函数的变化趋势等方法对选项逐一判断即可.

详解】已知函数/(x)=hUcosxHsin。，

对于A选项：/(-x)=ln[cos(-x)]+sin2(-x)=ln(cosx)+sin2x=/(x),正确;

对于B选项：

TT7CI

当X£(一「,一:)时，cosxG(0,——),2cosx------G(-oo,0),sinx<0，

242cosx

所以r(x)=sinx仗2cosx———)>0,所以/⑴在(一二一工)单调递增，王确；

cosx24

对于C选项：

当时，cosx0,ln(cosx)—>-oo,sin2x1,/(x)-oo,故

/(x)没有最小值，不正确：

对于D选项：

f(x)=ln(cosx)+sin2x的最小正周期为2兀，是偶函数，

定义域为(一二+2E,工+2kjt),keZ.故只需研究(一2,0］即可.

222

JTTTTT

由B选项知：/")在(--,一-)单调递增，在(一-,0］上单调递减,

244

12.菱形4RCD内接干椭圆三+Z=i,其周长的值可以取到()

42

A.2历B.2722C.3而D.10

【答案】BC

【解析】

【分析】设出对角线的斜率，表示出菱形的顶点坐标，最后使用两点间距离公式计算周长即可.

r2v2

【详解】如图，将菱形ABC。内接于椭圆二十乙=1,

42

设A(马，凶),8(々,必)，

当直线Q4的斜率不存在或为0时，菱形的四个顶点与椭圆的四个顶点重合，此时显然周长为4#;

当直线的斜率存在且不为。时，设QA的方程为丁=M，。8的方程为了=一?工,

k

设菱形ABC。周长为L，

联立方程组y=丘，—+^-=1,可得（1+2/）］2一4=0,显然A>0,

42

不妨设点A在第一象限，8在第二象限,

可得|A3|=26=即乙=4|4.£

V-r+/+213)

_

16J7■

综上所述：Lw--—»4\/6,

易得2J五，10，不在此范围内，故排除A,D，2722>3瓦，在此范围内，得到B,C正确.

故选：BC

【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法

（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解.

（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求

最值(注意：有时需先换元后再求最值).

第n卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若直线/的一个方向向量是d=则直线/的倾斜角是.

【答案】三

3

【解析】

【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.

【详解】因为直线/的方向向量为d=(l,6),所以直线的斜率为百，即直线的倾斜角的大小是女.

故答案为：

3

14.已知点4(0,2),B(0,-2),动点尸满足直线%与PB的斜率之积为一2,则点尸的轨迹方程

2V2

【答案】2V1+土=1(%工0)

42

【解析】

【分析】设尸(x,y),根据斜率的乘积为-2列式运算可得轨迹方程.

【详解】设P(x,y),则即八=2^，3二一,XHO，

XX

所以kpA.kpB=-2,即匕2x2±2=_2,整理得£十三=1,

xx42

所以点P的轨迹方程为'=(%#0).

故答案为：?+[=1，(XH0).

uim3umniumuuraiuuw

15.已知正方体43。。一44。。1边长为1,AE=-AA^AF=-AB,AG=-AD,平面平面

422

平面AGB交于一点M则点M到平面的距离为.

A}FD,,q"c

【答案】拽##工6

1818

【解析】

【分析】根据给定的正方体建立空间直角坐标系，利用平面基本事实确定点M位置，并求出其坐标，利用

点到平面距离的向量求法求解即得.

【详解】令AFC5E=Q,OFC5G=P,连接4户,。。，显然平面8成>。平面A/。=OQ,

平面A^OPI平面AG3=AP,则OQriAP=M,建立如图所示的空间直角坐标系，令A3=4,

则A(0,0,0),B,(4,0,0),D,(0,4,0),E(0,0,1),3(4,0,4),D(0,4,4),F(2,0,4),G(0,2,4)<(4,4,4),

348

在平面内，直线A/方程为z=2x,直线8E方程为z=：x+l,联立解得。(一,0,一)，

455

在平面ABC。内，直线BG方程为y=-gx+2,直线力b的方程为y=—2x+4,联立解得

44

33

4t4f4f4/

令4M=/AP=(一,一,旬,0</<1,则M(一,一,4f),

3333

4124r4/

。。=(一,-4,——),DM=(—,——4,4f—4),

生

--4

33

--4r-4122102

由DQ//DM，得4-解得，=5,即点M(土§,2),B,M=(-y,-,2),

5--4

BR=(-4,4,0)，4。=(0,4,4),设平面40c的法向量〃=(4仇“，

n-B,D,--4a+4/?=0

则〈.，令。=1,彳寻〃=(1,1,一1),

nB}C=4Z?+4c=0

14

于是点M到平面BQ。的距离~=1用知-〃|=J_=此g,而正方体ABCD一A4G。的棱长为1,

1mV39

所以点M到平面BQ。的跑离为:d=吟.

故答案为：友.

18

【点睛】思路点睛：确定三个平面的公共点，利用平面的基本事实，先求出其中两个平面的交线，再求出

另两个平面的交线即可.

16.对任意不£。,+8）,函数/（幻=/111。一。始。一1）20（。＞1）恒成立，则。的取值范围为

【答案】e;,+oo

【解析】

【分析】变形为之构造产(f)=fhu/〉O,求导得到单调性进而"T>1恒成

立，故尸(〃1)>0,分当工一1£(0,1］和不一1>1两种情况，结合g(〃卜史上单调性和最值，得到

It

得到答案.

【详解】由题意得ailna21n(x—1),

因为/€(l,+oo),所以,

即Inax~］>(x-l)ln(x-l),

令尸(。="n/J>0,则F(ax~l)N尸(x-1)恒成立，

因为F'(r)=l+lnz,

令方',)>0得，cel尸(f)=〃n,单调递增，

令尸'(f)<0得，Ov/ve'尸(。=〃11，单调递减，

且当Ovr<l时，/〈。恒成立，当Z>1时，/(/)>0恒成立，

因为〃所以>1恒成立，故尸

当工一1£(0,1］时，F(x-l)<0,此时满足尸(优一)之尸(x—l)恒成立，

当即X>2时，由于尸(。="酎在1£卜工+8)上单调递增，

由F(4*T)2户(0—1)得2x—10m/之口(*一1),

x-1

人../、In”

令g(〃)=---，

则g，(〃)=匕坐，当〃«l,e)时，g'(w)>0,g(〃)=皿单调递增,

UU

当〃£(e,+8)时，g'(〃)<0,g(〃)=史上■单调递减，

故g(〃)=吆在〃=©处取得极大值，也是最大值，^(e)=—=i,

uee

1i「］

故即〃)屐，所以，。的取值范围是e)+8.

c

e-_/

■i\

故答案为：/,+8

【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本

题难点是优tInaNln(x-l)两边同时乘以x-\,变形得到ax'l}nax-'>(x-l)ln(x-l),从而构造

/(f)=，lnr">0进行求解.

四、解答题：本题共6题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知圆M：(x-2)2+y2=4及圆内一点4(3,0),p为圆M上动点，以尸为圆心，以为半径的圆P.

(1)当且。在第一象限时，求圆尸的方程；

(2)若圆P与圆(X-2)2+y2=r"r>0)恒有公共点，求r的取值范围.

【答案】(1)(x-3)2+(y->/3)2=3

⑵[1,3]

【解析】

【分析】⑴根据题意，得到1PM2TM4「+|母『，得出A4_Lx轴，求得P(3,G),进而得到圆的标准

方程；

(2)根据题意，得至结合题意，得到俨山一厂归2引尸山一耳对任意的|PA|e[l,3]恒成

立，列出不等式组，即可求解.

【小问1详解】

解：由圆M：(x-2)2+y2=4,可得圆心M(2,0),半径厂=2，

又由A(3,0)且|PA|=y/3时，=|AM|2+|PA|2,

可得出_Lx轴，所以/=/=3,则小=±6，

因为P在第一象限，所以P(3,、Q),

所以圆尸的方程为(x—3『+(y-百了=3.

解：由圆(工一2)2+丁=/(r>0),可得圆心坐标(2,0),

因为|M4|=1,|MP|=2,所以/[1,3],

要使得圆P与圆*一2y+V='（「>0）恒有公共点，且圆心距为|MP=2,

所以归一「42«||阿-「对任意的|PA|G[1,3]恒成立，

-2<r+l

则满足“3-，归2,解得1W-W3,即实数「的取值范围为[L3].

|152

18.用分层随机抽样从某校高二年级800名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个

样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为6

组：[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90/00）,绘制得到如图所示的频率分布直方图.

（1）估计男生成绩样本数据的第80百分位数：

（2）若成绩不低于80分的为“优秀”成绩，用样本的频率分布估计总体，估计高一年级男生中成绩优秀人

数；

（3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75,女生成绩样本数据的平均数和方差分别

为73.5和119,求总样本的平均数和方差.

【答案】（1）84（2）96人；

（3）平均数和方差分别为72.5和148.

【解析】

【分析】（1）求出第80百分位数一定位[80,90）内，利用百分位数的公式计算出答案；

（2）求出成绩不低于80分的频率，估计处高二年级男生中成绩优秀人数；

（3）求出总样本的平均数，利用整体方差和局部方差的相关公式求出答案.

【小问1详解】

在[40,80）内的成绩占比为0.01x10+0.015x10+0015x10+0.03x10=0.7<0.8,

在[40.90）内的成绩占比为0.7+0.025x10=0.95>0.8,

因此第80百分位数一定位[80,90）内.

（）2_07

因为80+10x=———=84,所以估计第80百分位数约是84.

0.95-0.7

【小问2详解】

成绩不低于80分的频率为（0.025+0.005）x10=0.3,

所以高二年级男生中成绩优秀人数估计为：0.3x40x8=96,

所以估计高二年级男生中成绩优秀人数为96人；

【小问3详解】

设男生成绩样本平均数为元=71,方差为，=187.75,

女生成绩样本平均数T=73.5,方差为$=119,总样本的平均数为方差为『，

-40-60-”《

z=---x+---y=72.5.

100100"

2

=喘[187.75+（71-72.5）2]+捐[119+（735_72.5）]=148,

所以总样本的平均数和方差分别为72.5和148.

19.如图所示，在三棱锥尸―A3C中，侧棱底面ABC,BC±AB.PA=AB=BC=2fM为棱PC

的中点，N为棱BC的上的动点.

（1）求证：AM±PB.

（2）若二面角C—AM—N的余弦值为矩，求g的值.

14NC

【答窠】（1）证明见解析

里=2

NC

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的性质证明线线垂直即可.

（2）建立空间直角坐标系，用面面角的向量求法求出参数即可.

【小问1详解】

取尸8中点O,连接AO,DM.

因为R4=AB，所以AT>J_P8,

因为24_1_底面48。，

所以

由

所以3cl平面PAB,

所以5C_LP8

因为M为棱PC的中点，所以MD//BC,所以P8_LMQ，MRAOu面

所以PB_L平面AOM,所以尸8_LAM.

【小问2详解】

以A为原点，建立如图所示坐标系，则4(0,0,0),尸(0,0,2),8(0,2,0),C(2,2,0),

M(1,1,1),AM=(1,1,1),AB=(0,2,0),BC=(2,0,0)，

设BN=>0),得AN=A8+BN+4B=BC+/(=(24,2,0)，

取平面AMC的法向量加二(-1,1,0),

令〃二（x,y,z）是平面AMN的一个法向量,

n-AM=0[x+y+z=0

则《，即C八令x=l,则y=—Zz=4—l,〃=(1,一4,4一1)

〃AN=0[2Ax+2y=0

八/-A-_l2+1l_K+l|_5>/7

由COS(/?•th)=]———r=—zz---/==----,=------

同徊血71+储+(2-2A/22-/1+114

23

解得2或4二二(舍).

32

得BN=2BC,所以网=2.

3NC

20.已知函数/（x）=xlnx-gor2

（1）求函数的极值点个数；

（2）若函数f（x）存在极大值点方,且使得2/（题）＞62恒成立，求实数。的取值范围.

【答案】（1）答案见解析

(3

(2)ClG0,—y

Ie

【解析】

【分析】（1）对/（x）求导后，讨论〃的范围确定导函数的符号，从而确定函数/（x）的单调性，进而求出

极值点的个数；

（2）由（1）得，当0＜。＜1时，/（幻存在极大值点，记为.”,且为根据已知的不等式构造函数

a

h（x）=x\nx-xf根据导数判断/i（x）的单调性从而得到/又2,再构造函数p（x）=/J,继续利用导

X

数判断单调性，进而求出a的取值范围.

【小问1详解】

“力的定义域为（0,+8），

由题意得了'（x）=lnx+l—⑪，

令g（x）=lnx+l-ar（x>0）,则g,（x）=--a=^—^-,

xx

①当nKO时，g'（x）>0恒成立，八处在（0,a）递增，

当X->0时，f（x）->-00,当Xf+8时，r（x）->+8,

••・在（o,+8）存在冽,使得r（m）=o,

・•・〃力在（0,⑼单调递减，在（加,+8）单调递增，〃力在X=m处取得极大值，

此时“%）有一个极值点；

②当。>0时，令短（#=0得1=一，

a

当xw（。，:）时，g'（x）>0,f（x）单调递增，

时，gr（X）<0,7"）单调递减，

所以r（x）W=-Ina,

（i）当一InaVO，即aNl时，此时/'。）0/'（皆）=一111。（0,

〃幻在（0,+e）无单调增区间，

所以此时/（x）无极值点；

（ii）当一lna>0,即0<a<i时，

当％->0时，/'（x）f-co,当xf+8时，/f（x）->-oo,

.•.在（O,-lna）存在为，使得/'（石）=0,在（Tna,*x>）存在々，使得广㈤=0,

，〃力在（0,内）单调递减，在（看,%）单调递增，在（%,+动单调递减，

/（力在工=百处取得极小值，在工=%处取得极大值，

此时/（幻有两个极值点.

综上所述，当〃W0时，/（X）有一个极值点；

当0<a<I时，/（X）有两个极值点；

当。21时，f(x)无极值点.

【小问2详解】

由(1)得，当Ovavl时，”力存在极大值点，记为且与A—A1,

a

,、Inx+1

则r(不)=。，即。=-n--，

则2/(%)=2/In与一说=%jln%一为>e2,

令力(力=xlnx-%(x>l),/z(e2)=e2,即力(X。)>〃(/),

.//(x)=lnx>0,所以6(x)在(1,”)单调递增，

2

由/t(x0)>/z(e)得%>e?,

令〃(工)=------(x>e-),p(x)=­r—<0,

xv7JC

所以P*)在％£伫,+8)上单调递减，所以p")<〃(e2)=M，

所以实数a的取值范围

【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的极值点以及利用导数解决不等式恒成立时的参数的

范围问题.解决此类问题的关键在于构造函数，明确导数与函数的单调性以及极值之间的关系，将不等式恒

成立问题转化为函数的最值问题，其中要注意分类讨论.

21.如图所示，设抛物线E:y2=2px(p>0),过抛物线E内一点的两条直线分别与抛物线交于

A,C和B,D,且满足AM=4MC,8M=；IM。，其中4>0,当AC_Lx轴时，2=-.

3

(1)求抛物线E的方程；

(2)当义变化时，砥8是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1)y2=4x

(2)是，2

【解析】

【分析】(1)当AC_Lx轴时，得到5=%=1,%-1二；(1一几)，结合必=一九=而，即可求解；

一.+1

A

（2）由AM=4MC，得到，,联立方程组得到y；-2M=34-1,同理得至I]£-2%=34一1,

15?|

v-"+1

转化为y,%是方程产一2），=32-1的两个根，结合根与系数的关系，即可求解.

【小问1详解】

解：当ACJ_x轴时，2=-,可得AM=gMC,则4=2=1,以-1=；（1一比）

可得以=一九="£，所以p=2,所以抛物线E的方程为丁=4L

【小问2详解】

解：设A（x”yJ,B（w，y2），Ca，y3），D（X4，N4）

匕2+1

2

由4M二；IMC，可得，

0+1

%=

4=例

因为A,。在抛物线V=4x,可得，