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琴生不等式简介综述1.1基本内容Jensen在1905年给出了一个定义：设函数的定义域为，如果对于内任意两数，，都有,则称为上的凸函数。如果不等号方向反向，则称为上的凹函数。凸函数的几何意义是：如果通过曲线上的任意两点作弦，弦的中点必须在曲线上或在曲线上方。其推广形式是——若函数的是上的凸函数，则对于内的任意数,都有:当且仅当时等号成立,则称该不等式为琴生（Jensen）不等式[6]。1.2推广形式1.2.1加权形式若是上的凸函数，任意的，且,为正数，则有当且仅当时等号成立[7]。 1.2.2积分形式设是定义在上的可积函数，，,是 上的可微凸函数，则有积分形式的琴生不等式还有更一般的形式：设f(x)与p(x)均为定义在[a,b]上的可积函数，且m≤f(x)≤φ1.2.3高维形式设f(x)的定义域为M(M为[a,b],或(a,b),或无穷区间),φ(x)是M上的连续函数,且存在反函数φ−1(x),则对于任意的x下面给出它的一个高维推广，为了方便，引入下列记号：设M=M1×M2×……对于Xi=x表示m维向量：设f(X)的定义域为M,φix是定义在Mi上的连续函数,且存在反函数。若对于任意的X1，φ−1pp1fX1+p等式成立的条件是X则对于∀Xi∈M(i=1,2,,都有(2)当且仅当

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