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文档简介

琴生不等式的几何应用综述在几何问题中常出现最值和不等式，内容丰富，方法和技巧灵活。有时很难用纯平面几何来求解。如果把握几何图形的特点，找出基本的不等式关系，利用函数的凹凸性，借助于琴生不等式，往往是解决问题的关键所在。1.1证明几何不等式【例6】在∆ABC中，求证,其中r为∆ABC内切圆半径，R为∆ABC外接圆半径，a,b,c为∆ABC的三边长[14]。证：令p=12(a+b+c),则有,于是1现在证明题目中最后一个不等式，利用G2(p−a)(p−b)≤利用上式，有同理，有，将上述三个不等式相加，有1原不等式得证。【例7】如图1所示，在∆ABC中，点I是内心，求证：3AI+BI+CI≤a+b+c证：做ID垂直与AB，D为垂足（见图1）AADDIIBBCC图图SEQ图\*ARABIC1,其中,从上式，有AI=类似的，有BI=所以，有AI+BI+CI=≤=将上式两端同时开方，再乘以3，得3AI+BI+CI≤【例8】O为锐角∆ABC的外心，∆ABC的三边分别为a,b,c，O到三边的距离分别为OD，OE，OF，证明：a+b+c>2(0D+OE+OF)[证：如图2所示，α+β+同理有β=CCγEDγEDβαBAβαBAOOFF图2由正弦定理和余弦定理的定义知，本题即证在∆ABC中sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC不妨设A≥B≥C,sinA+sinB+sinC>=sinA+1+=由于cosx在为下凸函数，所以cosA+cosB+cosC所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC原不等式得证。1.2求（证明）几何最值【例9】证明在周长为2p的三角形中，正三角形的面积最大[16]证：设三角形的三边长分别为x,y其中,同时取对数得令f(t)=ln(p−t),f''当且仅当p−x=p−y=此时， 有最大值所以,此时三角形为正三角形。A【例10】证明：圆的所有外切三角形中，正三角形的面积最小值。A2γ

2γBBC2βC2β2α图图3证：如图3，设圆的半径为r,该圆的任一外接∆ABC三切点处的半径两两相夹的圆心角分别为2α，2β，2γ，其中α+β+γ=π，0<α,β,γ<S由于y=tanx在（0，πtanα+tanβ+tanγ当且仅当α=β=γ=即当∆ABC为正三角形时，S∆ABC面积最小，最小面积为3【例11】设任意n多

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