2024-2025学年重庆一中九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.tan45°的值等于(

)A.32 B.33 C.2.重庆今年夏天连续高温，9月7日是二十四节气中的“白露”，“白露”是反映自然界察气增长的重要节气，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.3.下列计算正确的是(

)A.a3⋅a3=a9 B.4.下列函数中，y是x的二次函数的是(

)A.y=2x2+1 B.y=2x C.5.如图，AF是∠BAC的角平分线，DF//AC，若∠BDF=60°，则∠1的度数为(

)A.20°

B.25°

C.30°

D.45°6.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且△DEF的面积是△ABC面积的9倍，则OC：OF=(

)A.1：2

B.1：3

C.1：4

D.1：97.估计(224−A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间8.已知抛物线y=−12x2+x+c的图象经过A(−1,m)，B(3,m)，C(−2,yA.y1>y2 B.y1≥9.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OC，OD上的两点，且BE=CF，过点F作FG⊥FC交AB于点G，若∠EBC=α，则∠AFG用含α的式子表示为(

)A.2α

B.45°−α

C.90°−2α

D.22.5°+α10.已知整式M=amxm+am−1xm−1+⋯+a1x+a0，N=bnxn+bn−1xn−1+⋯+b1x+b0，其中am−1，am−2，…，a0，bn−1，bn−2，…，b0为自然数，m，am，n，bn为正整数，且满足：A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。11.计算：(3−1)12.若一个正多边形的边数是12，则这个正多边形的一个外角的度数为______．13.现有四张正面分别标有数字−2，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀后，随机抽取一张记下数字后放回，背面朝上洗均匀后再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字之积为奇数的概率为______．14.二次函数y=x2+2x−515.如图，正比例函数y=2x与反比例函数y=kx(k≠0)的图象相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，若△ABC的面积为6，则k16.若关于x的不等式组x−3<x+135(x−m)≥−3x+5有解且至多有4个整数解，关于y的分式方程2y+my−3=4−2m17.如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，连接OD，将△AOD沿OD翻折，得到△EOD，连接EC.若AB=5，AD=12，则EC=______．18.若一个四位自然数各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大2，十位数字比个位数字大2，那么称这个四位数为“中二数”，一个“中二数”A的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P(A)=a+b+c+d，若P(A)被9除余2，则A的最大值为______；若另一个“中二数”B的千位数字为m，个位数字为n，且P(A)P(B)是3的倍数，则A−B的最小值为______．三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

计算：

(1)(a−1)2−(a−2)(a+2)；

20.(本小题10分)

如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BD是对角线．

(1)用尺规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线EF，EF分别交BD，AD，BC于点O，E，F，连接BE，DF.(只保留作图痕迹)

(2)在(1)问所作的图形中，求证：四边形BFDE为菱形.(请完成下面的填空)

证明：∵EF垂直平分BD，

∴______，EF⊥BD，

∵AD//BC，

∴______，

在△EDO和△FBO中

∠EOD=∠FBO(    )DO=BO，

∴△EDO≌△FBO(ASA)，

∴______，

∴四边形BFDE为菱形(两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形)．

在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后______．21.(本小题10分)

近日，北京新中考改革政策的发布受到全社会的广泛关注，其中体育科目总分由40分提升至70分，在中考的总分占比从6.06%大幅提升至13.2%，这一举措足以见对国家中小学体育的重视.北京某校为了解目前九年级学生的体育锻炼情况，随机抽取甲、乙两个班各10名学生进行一分钟跳绳测试，若一分钟跳绳个数为x，根据测定标准划分等级为：0≤x<155“不合格”，155≤x<170“及格”，170≤x<185“良好”，x≥185“优秀”.学校对两个班学生一分钟跳绳个数相关数据收集、整理、描述、分析如下：

甲、乙两个班所抽学生的跳绳成绩统计表班级平均数众数中位数优秀率甲乙班186ab60%其中，乙班跳绳成绩“优秀”的跳绳个数分别为：185，187，188，188，188，210

根据以上信息，解答丁列问题；

(1)上述图表中a=______，b=______；

(2)根据以上数据，你认为该年级甲班与乙班哪个班的学生一分钟跳绳成绩更好？请说明理由(写出一条理由即可)；

(3)该校九年级共有学生3200人，请估计该校九年级一分钟跳绳成绩为“优秀”(x≥185)的学生共有多少人？22.(本小题10分)

今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒.已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元．

(1)该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？

(2)9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋⋅礼迎国庆”的促销活动，A款礼盒按原价打八折出售，销量在9月16日的基础上增加了50%，超市调研发现，B款礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，则B款礼盒的促销价应定为多少元？23.(本小题10分)

如图，在△ABC中AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于点D，动点P从点B出发，沿折线B→A→C运动，到达点C时停止运动，设点P运动的路程为x(0<x<10)，连接DP.△ADP的面积为y1，△ABC的面积与点P的运动路程x的比为y2．

(1)请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；

(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；

(3)结合函数图象，请直接写出函数y1>y224.(本小题10分)

周末妈妈和小明在位于小明家A西北方向的书店B看书.回家时，小明想先沿BC去位于家A的正西方向、距家2402米的菜鸟驿站C处取包裹，然后再沿CA回家；妈妈想先沿BD去位于家A的北偏西15°方向的干洗店取衣服，然后再沿DA回家.已知书店B位于菜鸟驿站C的北偏东15°方向、干洗店D的南偏西75°方向.(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)

(1)求小明家与书店的距离AB(结果保留整数)；

(2)25.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=38x2−34x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A在点B的右侧，连接AC，BC．

(1)求直线AC的解析式；

(2)如图，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接PA，PC，点M和点N是直线AC上的两个动点(点M在点N的下方)，且MN=52，连接BM，PN，当S△PAC=3时，求BM+MN+PN的最小值；

(3)将该抛物线沿CA方向平移使得新抛物线与x轴的左交点恰好是点A，与x轴的右交点记为点26.(本小题10分)

四边形ABCD中，∠BAD=90°，连接BD，AC交于点O，且满足AC⊥BD，线段AD的中垂线交DC延长线于点E，∠AED=∠CAD．

(1)如图1，tan∠ODC=13，AC=6，求线段OC的长；

(2)如图2，连接BE，过点O作OF//CD交AD于点F，若BE=AO，求证：BD−OF=AB；

(3)如图3，在(1)的条件下，点M是射线DB上的动点，点P为线段AB的中点，连接AM，过点P作PN⊥AM于点N，将线段AM绕着点A逆时针旋转90°至线段AM′，点N旋转后的对应点记作点N，连接BN′，MN′，DN′，当△BDN′的面积最小时，请直接写出此时S△BMN′S参考答案1.C

2.D

3.C

4.D

5.C

6.B

7.A

8.C

9.A

10.D

11.3212.30°

13.1414.(−1,−6)

15.6

16.6

17.1191318.7931

5555

19.解：(1)(a−1)2−(a−2)(a+2)

=a2−2a+1−(a2−4)

=a2−2a+1−a2+4

=a2−a2−2a+1+4

20.21.22.解：(1)设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒，

根据题意得：x+y=350100x+200y=50000，

解得：x=200y=150．

答：该超市9月16日A礼盒的销量是200盒，B礼盒的销量是150盒；

(2)设B款礼盒的促销价应定为m元，则9月17日B款礼盒的销售量为150+(200−m)=(350−m)盒，

根据题意得：100×0.8×200×(1+50%)+m(350−m)=54000，

化简得：m2−350m+30000=0，

解得：m1=150，m2=200(不符合题意，舍去)23.解：(1)∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，

∴BD=12BC=3，

∴AD=AB2−BD2=4，

∴S△ABC=12AD⋅BC=12，

∴y2=12x(0<x<10)，

如图，当点P在AB上时，过点D作DH⊥AB于H，

∵S△ABD=12AD⋅BD=12AB⋅DH，

∴DH=AD⋅BDAB=125，

∵AP=AB−PB=5−x，

∴S△ADP=12×125×(5−x)=−65x+6，

由对称性可得当点P在AC上时，S△ADP=12×125(x−5)=65x−624.解：(1)过点C作CE⊥AB于E，如图所示：

∵书店B位于小明家A的西北方向，

∴∠CAB=45°，

∴△ACE为等腰直角三角形，

∴∠ACE=45°，CE=AE，

∵∠ACB=90°−15°=75°，∠BAD=45°−15°=30°，∠ADB=75°+15°=90°，

∴∠BCE=∠ACB−∠ACE=75°−45°=30°，△ABD为直角三角形，

在Rt△ACE中，AC=2402米，∠CAB=45°，

∴sin∠CAB=CEAC，

∴CE=AC⋅sin∠CAB=2402×sin45°=240(米)，

∴AE=CE=240米，

在Rt△BCE中，∠BCE=30°，CE=240米，

∴tan∠BCE=BECE，

∴BE=CE⋅tan∠BCE=240×tan30°=803(米)，

∴AB=BE+AE=803+240≈80×1.73+240≈378(米)，

答：小明家与书店的距离AB约为378米．

(2)在Rt△BCE中，∠BCE=30°，CE=240米，

∴cos∠BCE=CEBC，

∴BC=CEcos∠BCE=240cos30∘=1603(米)，

∴小明回家的路程是：BC+CA=16025.解：(1)∵抛物线y=38x2−34x−3的图象与x轴交于A，B两点(A在B右侧)，与y轴交于点C，

当x=0时，y=−3，

即C(0,−3)，

当y=0时，38x2−34x−3=0，

解得：x1=4，x2=−2，

即A(4,0)，B(−2,0)，

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

∴4k+b=0b=−3，

∴k=34b=−3，

∴直线AC的解析式为：y=34x−3；

(2)如图1，过点P作PK/​/y轴，交AC于点K，过点B作BE/​/AC，过点N作NE/​/BM，BE和NE交于点E，过点E作EH⊥x轴于H，

设P(t,38t2−34t−3)，则K(t,34t−3)，

∴PK=34t−3−(38t2−34t−3)=−38t2+32t，

∵S△PAC=S△APK+S△PKC=3，

∴12⋅PK⋅(xA−xC)=3，

∴12×4(−38t2+32t)=3，

解得：t1=t2=2，

∴P(2,−3)，

∵BE//AC，NE//BM，

∴四边形BMNE是平行四边形，

∴BE=MN=52，BM=NE，

∴BM+MN+PN=EN+MN+PN，

由于MN是定值，所以当EN+PN最小时，BM+MN+PN的值最小，即E，N，P三点共线时，EN+PN的值最小，此时BM+MN+PN的值最小，

∵BE//AC，

∴∠EBH=∠OAC，

∵∠BHE=∠AOC，

∴△BEH∽△ACO，

∴BEAC=BHAO=EHOC，

∴525=BH4=EH3，

∴BH=2，EH=32，

∵OB=2，

∴OB=BH，

∴H与O重合(如图2)，

∴E(0,32)，

∴BM+PN=EN+PN=(2−0)2+(−3−32)2=972，

26.(1)解：设∠E=2α，

∵∠AED=∠CAD，

∴∠CAD=2α，

∵线段AD的中垂线交DC延长线于点E，

∴EA=ED，

∴∠EAD=∠EDA=180°−2α2=90°−α，

∴∠EAC=∠EAD−∠CAD=90°−3α，

∵∠ACD=∠E+∠CAE，

∴∠ACD=90°−3α+2α=90°−α，

∴∠ACD=∠EDA，

∴AC=AD=6，

∵AC⊥BD，

∴tan∠ODC=OCOD=13，

设OC=m，则OD=3m，AO=6−m，

在Rt△AOD中，由勾股定理得(6−m)2+(3m)2=62，

解得m=65或m=0(舍)，

∴OC=65；

(2)证明：如图，延长AB至点G，使AG=BD，连接GE，

由(1)知∠ACD=∠EDA=90°−α，

∴∠CAD=180°−∠ACD−∠EDA=2α，

∵AC⊥BD，

∴∠ADB=90°−∠CAD=90°−2α，

∴∠CDB=∠EDA−∠ADB=90°−α−(90°−2α)=α，

在△AED中，∠EAD=180°−∠AED−∠ADE=180°−2α−(90°−α)=90°−α，

∴∠EAD=∠EDA，

∴EA