2024-2025学年重庆市复旦中学教育集团高一（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市复旦中学教育集团高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={0,2,4,6,8,10}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=(

)A.{4,8} B.{0,2,6} C.{0,2} D.{2,4,6}2.若函数y=f(x)的定义域为{x|0≤x≤1}，值域为{y|0≤y≤1}，那么函数y=f(x)的图象可能是(

)A. B.

C. D.3.集合A={x∈Z|0≤x<10}有(    )个非空子集．A.512 B.511 C.1024 D.10234.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则(

)A.p和q都是真命题 B.￢p和q都是真命题

C.p和￢q都是真命题 D.￢p和￢q都是真命题5.“3x+1≤2”的一个充分不必要条件是(

)A.0<x<12 B.−1<x≤12 C.x<−1或6.已知正实数x，y满足1x+2y=2，则A.1 B.2 C.4 D.87.若函数f(x)的定义域为[0,3]，则函数g(x)=f(x2−1)A.(−1,1)∪(1,8] B.[−1,1)∪(1,8]

C.[−2,−1)∪(−1,1)∪(1,2] D.[−2,−1)∪(1,2]8.已知函数f(x)满足条件：f(1)=12，f(x+y)=f(x)⋅f(y)，f(x)在R上是减函数，若∃x∈[1,4]，使f(x2A.(−∞,5) B.(−∞,5] C.(−∞,4) D.(−∞,4]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列选项中表示正确的是(

)A.⌀⊆⌀ B.2∈∁RQ

10.下列说法正确的是(

)A.若a>b，则ba>b+1a+1

B.函数f(x)=1−x2与函数g(x)=1−x⋅1+x是相同函数

11.不等式(x−a)2023(x−1)2024(x−2A.{x|0<x<2且x≠1} B.{x|1<x<2}

C.⌀ D.{x|x<1或1<x<2或x>3}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)满足：f(x)+2f(−x)=2x2+x−1，则f(2)=______；f(x)=13.国庆节期间，重庆复旦中学全体学生进行了选修课报名，据统计，高一某班共45名同学在语文类、数学类和物理类三类选修课具有报名意向，其中有21人想报名语文类选修课，有29人想报名数学类选修课，有28人想报名物理类选修课，同时想报名语文和数学选修课的有10人，同时想报名数学和物理选修课的有15人，没有三类选修课都想报名的同学，则只想报名物理选修课的同学有______人.14.已知函数f(x)=x2+ax+6x+1，a为实数，若对于∀x∈(0,+∞)，f(x)≥2恒成立，则实数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合A={x∈N|0<x<5}，B={x|0<x<3}，C={x||x−1|<1}．

(1)求集合A∩B，B∪C；

(2)求(∁RA)∩C16.(本小题15分)

已知函数f(x)的解析式为f(x)=x+2,x≤−1x2,−1<x≤2−x+6,x>2．

(1)求f(1)、f[f(2)]的值；

(2)在直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出f(x)的最大值；

(3)解关于17.(本小题15分)

已知二次函数f(x)过坐标原点，有f(−1)=f(3)，且f(x)在R上的值域为(−∞,1]．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求解关于x的不等式2a−ax>f(x)，其中a为实数．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x2+ax,f(2)=5．

(1)求实数a值；

(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性，并用单调性的定义证明；

19.(本小题17分)

对于定义域为D的函数y=f(x)，若存在区间[a,b]⊆D，使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则称区间[a,b]为函数f(x)的“最美区间”．

(Ⅰ)求函数f(x)=x2的“最美区间”；

(Ⅱ)若f(x)=x+2+k存在最美区间[a,b]函数，求实数k参考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.D

6.C

7.D

8.B

9.ABD

10.BD

11.ABC

12.13

213.5

14.[−2,+∞)

15.解：(1)集合A={1,2,3,4}，B={x|0<x<3}，C={x|0<x<2}，

所以A∩B={1,2}，B∪C={x|0<x<3}；

(2)A={1,2,3,4}，则∁RA=(−∞,1)∪(1,2)∪(2,3)∪(3,4)∪(4,+∞)，

所以(16.解：(1)因为f(x)=x+2,x≤−1x2,−1<x≤2−x+6,x>2，

所以f(1)=12=1，f(2)=22=4，

则f[f(2)]=f(4)=2；

(2)

由图象可知，最大值为4；

(3)当x≤−1时，由f(x)<2可得，x+2<2，

解得x<0，所以x≤−1；

当−1<x≤2时，由f(x)<2可得，x2<2，

解得−2<x<2，所以−1<x<2；

当x>2时，由f(x)<2可得，−x+6<2，

解得17.解：(1)由f(−1)=f(3)，

得二次函数f(x)的图象为对称轴为x=1的抛物线，

又f(x)在R上的值域为(−∞,1]，

∴二次函数的图象为开口向下的抛物线，且顶点纵坐标为1，

由此设f(x)=a(x−1)2+1，且a<0，

已知二次函数f(x)的图象过坐标原点，可得a(0−1)2+1=0，

解得a=−1，则f(x)=−(x−1)2+1=−x2+2x；

(2)又2a−ax>f(x)，得2a−ax>−x2+2x，即(x−2)(x−a)>0，

当a>2时，解得x>a或x<2，

当a=2时，解得x≠2，

当a<2时，解得x<a或x>2．

∴当a>2时，不等式2a−ax>f(x)的解集为{x|x>a或x<2}，

当a=2时，不等式18.解：(1)由f(x)=x2+ax知，f(2)=4+a2=5，解得a=2；

(2)f(x)=x2+2x在(1,+∞)上是单调增函数，证明如下：

设1<x1<x2，则：

f(x1)−f(x2)=(x12+2x1)−(x22+2x2)=(x12−x22)+(2x1−2x2)，

=(x1−x2)(x1+x2−2x1x2)，

因为1<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+x2>2，且x19.解：(Ⅰ)因为f(x)=x2≥0，且f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，所以a≥0，

因为a<b，所以b>0，故f(x)在[a,b]上单调递增，

可得f(b)=b，即b2=b，解得b=1或0(舍去)，

所以a<1，同理由f(a)=a解得a=0(a=1舍去)，

综上所述，f(x)=x2的“最美区间”