2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列命题中，正确的是(

)A.平行于同一直线的两个平面平行 B.平行于同一平面的两条直线平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一直线的两个平面平行2.若1+2i是关于x的实系数方程x2A.b=2，c=3 B.b=−2，c=3

C.b=−2，c=−1 D.b=2，c=−13.如图，四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，BC=BD=2，点E是CD的中点，若直线AB与平面ACD所成角的正切值为24，则点B到平面ACD的距离为(

)A.23

B.23

C.24.如图，设P为正四面体A−BCD表面(含棱)上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有(

)

A.4个 B.6个 C.10个 D.14个二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.复数z满足z(1+i)=2i，则Imz=______．6.等比数列{an}(n∈N∗)中，若a2=116，7.已知a，b是空间的两条直线，那么“a⊥b”是a，b相交的______条件．8.以下各项属于公理的是______．

①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

②过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

③空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

④平行于同一条直线的两条直线平行．

⑤如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，那么该直线与这个平面平行．9.设数列{an}是等差数列，若a4和a2023是方程4x2−8x+3=0的两根，则数列{a10.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，若A1C1=2，△ABC的面积为211.已知a=(1,3)，a⋅b=212.空间四边形ABCD，AB=CD=8，M、N、P分别为BD、AC、BC的中点，若异面直线AB和CD成60°的角，则MN=______．13.已知数列{an}满足a1=−1414.在△ABC中，b2+c2=a215.用一个平面将圆柱切割成如图的两部分，将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为y=1.5+2cosx.16.已知异面直线a，b所成角为60°，直线AB与a，b均垂直，且垂足分别是点A，B.若动点P∈a，Q∈b，|PA|+|QB|=2，则线段PQ中点M的轨迹围成的区域的面积是______．三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

已知|a|=1，|b|=2，〈a,b〉=π4．

(1)18.(本小题8分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1和C1D1的中点．

(1)证明：E，F，D，19.(本小题10分)

亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉(如图1).假设我们把亭子看成由一个圆锥P−O1与一个圆柱OO1构成的几何体Ω(如图2).一般地，设圆锥P−O1中母线与底面所成角的大小为α，当20°<α<35°时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米．

(1)求几何体Ω的体积；

(2)如图2，设E为圆柱底面半圆弧CD的三等分点，求圆柱母线20.(本小题12分)

如图，四边形ABCD是矩形，AD=2，DC=1，AB⊥平面BCE，BE⊥EC，EC=1.点F为线段BE的中点．

(

I

)求证：CE⊥平面ABE；

(Ⅱ)求证：DE//平面A

CF；

(Ⅲ)求AC和平面ABE所成角的正弦值．21.(本小题14分)

已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知∠BAD=60°，△PDB是等边三角形．

(1)求证：AC⊥PD；

(2)求二面角P−BC−A；

(3)若点E是线段AD上的动点，问：点E在何处时，直线PE与平面PBC所成的角最大？求出最大角，并说明点E此时所在的位置．

参考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.1

6.4

7.既不充分也不必要条件

8.①②④

9.2026

10.211.(112.4或413.−114.215.616.317.解：(1)|a|=1，|b|=2，〈a,b〉=π4，

则a⋅b=|a||18.证明：(1)如图，连接EF，BD，B1D1，

∵EF是△B1C1D1的中位线，∴EF/​/B1D1，

∵BB1与DD1平行且相等，∴四边形BDD1B1是平行四边形，

∴BD/​/B1D1，∴EF/​/BD，

∴E，F，D，B四点共面；

(2)∵EF//BD，且EF≠BD，∴直线BE和DF相交，

延长BE，DF，设它们相交于点P，

∵P∈直线BE，直线BE⊂平面BB1C1C，∴P∈平面BB119.解：(1)圆柱的体积V1=πr2ℎ=π×22×3=12π，

圆锥的体积为V2=13⋅πR2ℎ1=13×2．52×1.5=3.125π，

∴几何体Ω的体积V=V1+V2=15.125π；

(2)连接PO1，BO1，

根据题意可得PO1//FE，

∴∠BP20.(Ⅰ)证明：如图，

由AB⊥平面BCE，可得AB⊥CE，

又由BE⊥EC，而AB∩BE=B，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，

故CE⊥平面ABE；

(Ⅱ)证明：连结BD交AC于M，连结FM，由点F为线段BE的中点，

可得FM//DE，而FM⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，故DE/​/平面ACF；

(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知，CE⊥平面ABE，∠CAE即为AC和平面ABE所成的角．

由已知，AC=5，CE=1，

在直角三角形ACE中，可得sin∠CAE=CEAC=55．

21.(1)证明：因为点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，

所以PO⊥平面ABCD，

又AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，

因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，

因为PO∩BD=O，PO，BD⊂平面PBD，

所以AC⊥平面PBD，

又PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD．

(2)解：过P作PH⊥BC于H，连接OH，

因为OP⊥平面ABCD，所以OH⊥BC，

所以∠PHO为二面角P−BC−A的平面角，

由题意知，△PBD是边长为2的等边三角形，

所以PO=3，

由S△OBC=12OC⋅OB=12OH⋅BC，知OH=OC⋅OBBC=3×12=32，

在Rt△POH中，tan∠PHO=POOH=2，即∠PHO=arctan2，

所以二面角P−BC−A的大小为arctan2．

(3)解：因为A