2024-2025学年江苏省南京市雨花台区九年级（上）第一次月考数学模拟试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京市雨花台区九年级（上）第一次月考数学模拟试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.用配方法解方程x2−2x=0时，配方后所得的方程是(

)A.(x+1)2=1 B.(x−1)2=12.由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩.据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为(

)A.5+5x+5x2=20 B.5(1+x)2=203.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则弦所对的圆周角等于(

)A.45° B.60°或120° C.135° D.45°或135°4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r可能是(

)A.r=1 B.r=3 C.r=5 D.r=75.我国古代数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程(正根)的几何解法．以方程x2+2x−35=0即x(x+2)=35为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是(x+x+2)2.同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，因此x=5.A. B. C. D.6.如图，在四边形材料ABCD中，AD//BC，∠A=90°，AD=9cm，AB=20cm，BC=24cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是(

)A.11013cmB.8cm

C.6二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。7.方程x2−2x=0的解为______．8.已知⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，则点P在⊙O______(填“内”、“外”或“上”)．9.某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本，连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，设这个百分率为x，可得方程______．10.已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积为______cm11.若关于x的方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m=______．12.若x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，则x13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD=105°，则∠DCE=______°.14.若x1，x2是一元二次方程x2+x−3=0的两个实数根，则x15.如图，⊙O的直径是AB=12cm，AM、BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM、BN分别相交于D、C两点，设AD=x，BC=y，则y与x的函数解析式为______．16.如图，点C是⊙A上一动点，B为一定点，D随着C点移动而移动，EG为BD的垂直平分线，∠CBD=90°，BD=2BC，EG=4BC，若⊙A半径为2，点B到点A的距离为4，则在C点运动过程中，CE的最大值为______．三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

解下列一元二次方程：

(1)3x2−2x−1=0；

(2)(2x−118.(本小题8分)

南京有着“天下文枢”、“江南第一州”等美誉.美丽环境来之不易，为了美化环境，我市加大了对绿化的投资，2021年用于绿化投资100万元，截止到2023年，这三年的绿化总投资为331万元，求我市2022、2023这两年绿化投资的年平均增长率．19.(本小题8分)

已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：

(说明：第(1)题只用无刻度的直尺作图，第(2)题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法.)

(1)在图①中，∠APB=90°；

(2)在图②中，∠APB=30°．20.(本小题8分)

如图，在△ABC中，AB=AC，过点A，C的⊙O与BC，AB分别交于点D，E，连接DE．

(1)求证DB=DE；

(2)延长ED，AC相交于点P，若∠P=33°，则∠A的度数为______°.21.(本小题8分)

如图，⊙O是△ABC的外接圆，E是BC的中点，AD是△ABC的高，连接OA、AE．

(1)求证：∠OAE=∠DAE；

(2)若∠BAC=84°，∠ABC=30°，则∠OAE=______°.22.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2−3x−k2+k+1=0(k为常数)．

(1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若该方程有两个实数根x1，x23.(本小题8分)

如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=16cm，BD=12cm，动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度运动到点D.若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．

(1)出发1秒钟时，△MON的面积=______cm2；

(2)出发几秒钟时，△MON的面积为1cm24.(本小题8分)

如图，AB为⊙O的直径，点C是AB上方⊙O上异于A，B的点，点D是AB的中点，过点D作DE//AB交CB的延长线于点E，连接AC，AD．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AC=8，BC=6，求图中阴影部分的面积．25.(本小题8分)

如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”.例如，方程x2−4x+3=0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．

(1)下列方程是三倍根方程的是______；

①x2−3x+2=0

②x2−3x=0

③26.(本小题8分)

如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮(△ABC)上切一块最大的且无破损的圆形铁皮(⊙O)．

(1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出⊙O.(保留作图痕迹，不写作法)

(2)三角形铁皮上有一破损小洞(点P)．

①如图②，点P在△ABC的中心，用直尺和圆规作出⊙O.(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)

②点P不在△ABC的中心．

i)点P的位置如图③所示，画出⊙O的示意图，并写出用直尺和圆规作⊙O的思路；

ii)随着点P位置的改变，⊙O的大小和位置都有可能发生变化.要使⊙O与i)中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置．27.(本小题8分)

【问题提出】

我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？

【初步思考】

(1)如图1，AB是⊙O的弦，∠AOB=100°，点P1、P2分别是优弧AB和劣弧AB上的点，则∠AP1B=______°，∠AP2B=______°；

(2)如图2，AB是⊙O的弦，圆心角∠AOB=m°(m<180°)，点P是⊙O上不与A、B重合的一点，求弦AB所对的圆周角∠APB的度数为______；(用m的代数式表示)

【问题解决】

(3)如图3，已知线段AB，点C在AB所在直线的上方，且∠ACB=135°，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形(①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹)；

【实际应用】

(4)如图4，在边长为12的等边三角形ABC中，点E、D分别是边AC、BC上的动点，连接AD、BE，交于点P，若始终保持AE=CD，当点E从点A运动到点C参考答案1.B

2.D

3.D

4.B

5.D

6.B

7.x1=0，8.内

9.25(1−x)−25(1−x)10.24π

11.1

12.0

13.15

14.−2

15.y=3616.617.解：(1)3x2−2x−1=0，

(3x+1)(x−1)=0，

∴3x+1=0或x−1=0，

∴x1=−13，x2=1；

(2)(2x−1)2=(x+1)2，

(2x−1)2−(x+118.解：设我市2022、2023这两年绿化投资的年平均增长率为x，

依题意得：100+100(1+x)+100(1+x)2=331，

整理得：100x2+300x−31=0，

解得：x1=0.1=10%，x2=−3.1(不合题意，舍去)19.解：(1)如图，A，B即为所求；

(2)如图，A，B即为所求．

20.38

21.18

22.(1)证明：∵Δ=(−3)2−4×1×(−k2+k+1)

=9+4k2−4k−4

=4k2−4k+5

=4(k−12)2+4>0，

∴无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：由根与系数的关系得出：x1+x223.15

24.(1)证明：连接OD，

∵点D是AB的中点，

∴AD=BD，

∴∠AOD=∠BOD，

∵∠AOD+∠BOD=180°，

∴2∠AOD=180°，

∴∠AOD=∠BOD=90°，

∵DE//AB，

∴∠ODE=∠AOD=90°，

∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线．

(2)解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AC=8，BC=6，

∴AB=AC2+BC2=82+62=10，

25.③

26.解：(1)如图①，⊙O即为所求，

(2)①方法一：使得O为BP的三等分点；方法二：使得O为△BDE的中心；方法三：作PQ/​/BC，PQ的垂直平分线与BP的交点O，作图如下：

②i)如图⑤或图⑥，⊙O即为所求．

思路1：作△ABC的角平分线BD，作⊙O′分别与BC，AB相切，连接BP，交⊙O′于点P′，过点P作PO//P′O′，交BD于点O，以O为圆心，OP为半径作⊙O．

思路2：作△ABC的角平分线BD，作点P