2024-2025学年新教材高中数学课后素养落实十五2.3.2圆的一般方程含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(十五)圆的一般方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为()A．(1，－1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1))C．(－1，2) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))D[将圆的方程化为标准方程，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋1)2＝eq\f(45,4)，所以圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))．]2．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示的图形是()A．一个点B．一个圆C．一条直线D．不存在A[方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．]3．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是()A．D＝E＝0，F≠0 B．D＝F＝0，E≠0C．D＝E≠0，F≠0 D．D＝E≠0，F＝0D[∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，∴D＝E≠0．]4．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋eq\f(1,2)m2＝0所确定的圆中，最大面积是()A．eq\f(\r(3),2)π B．eq\f(3,4)πC．3π D．不存在B[所给圆的半径为r＝eq\f(\r(1＋m－12－2m2),2)＝eq\f(1,2)eq\r(－m＋12＋3)，所以当m＝－1时，半径r取最大值eq\f(\r(3),2)，此时最大面积是eq\f(3,4)π．]5．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0肯定不经过()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限D[圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(3,2)b))在第三象限，则a＜0，b＞0．直线x＋ay＋b＝0的斜率k＝－eq\f(1,a)＞0，在x轴上的截距为－b＜0，故直线过一、二、三象限，故选D．]二、填空题6．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0关于直线Dx＋Ey＋2F＋8＝0对称，则该圆的半径为________．2[圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，由题意有－eq\f(D2,2)－eq\f(E2,2)＋2F＋8＝0，则D2＋E2－4F＝16．∴圆的半径为r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)＝eq\f(1,2)×4＝2．]7．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上随意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．－2[由题意可得圆C的圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))在直线x－y＋2＝0上，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))代入直线方程得－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋2＝0，解得a＝－2．]8．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为________．5[由题意，得直线l恒过圆心M(－2，－1)，则－2a－b＋1＝0，则b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5．]三、解答题9．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在其次象限，半径为eq\r(2)，求圆的一般方程．[解]圆心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2，①又r＝eq\f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq\r(2)，所以D2＋E2＝20，②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.))又圆心在其次象限，所以－eq\f(D,2)<0，即D>0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4，))所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．10．已知关于x，y的方程为x2＋y2－2x－4y＋m＝0．(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值．[解](1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，整理得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，由题意知5－m＞0，解得m＜5．(2)设直线x＋2y－4＝0与圆：x2＋y2－2x－4y＋m＝0的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4＝0，,x2＋y2－2x－4y＋m＝0，))整理得5y2－16y＋8＋m＝0，则y1＋y2＝eq\f(16,5)，y1y2＝eq\f(8＋m,5)，又OM⊥ON(O为坐标原点)，则x1x2＋y1y2＝0，x1＝4－2y1，x2＝4－2y2，则(4－2y1)·(4－2y2)＋y1y2＝0，解得m＝eq\f(8,5)．故m的值为eq\f(8,5)．1．(多选题)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的是()A．圆M的圆心为(4，－3)B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25D．圆M被y轴截得的弦长为6ABD[圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25．圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5，令x＝0，则y2＋6y＝0，∴|y1－y2|＝6；令y＝0，x2－8x＝0，|x1－x2|＝8．]2．已知点A(－1，1)和圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0，一束光线从点A动身经过x轴反射到圆周上的最短路程是()A．6B．8C．10D．12B[易知点A在圆C外，找出点A(－1，1)关于x轴的对称点A′(－1，－1)，则最短路程为|CA′|－r．又圆的方程可化为(x－5)2＋(y－7)2＝4，则圆心C(5，7)，半径r＝2，则|CA′|－r＝eq\r(5＋12＋7＋12)－2＝10－2＝8．故所求的最短路程为8．]3．若圆x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，且∠ACB＝90°(其中C为已知圆的圆心)，则实数m＝________，圆的面积为________．－38π[设A(0，y1)，B(0，y2)，在圆方程中令x＝0得y2＋2y＋m＝0，y1，y2即为该方程的两根，由根与系数的关系及判别式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4m>0，,y1＋y2＝－2，,y1·y2＝m，))又由∠ACB＝90°，C(2，－1)，知kAC·kBC＝－1，即eq\f(y1＋1,－2)·eq\f(y2＋1,－2)＝－1，即y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4，代入上面的结果得m－2＋1＝－4，∴m＝－3，符合m<1的条件．r＝eq\f(1,2)eq\r(16＋4－4×－3)＝2eq\r(2)，∴圆的面积为πr2＝π×(2eq\r(2))2＝8π．]4．已知点A(－2，0)，B(0，2)，若点C是圆x2＋y2－2x＝0上的动点，则△ABC面积的最小值为________．3－eq\r(2)[如图所示，△ABC的面积最小时，点C到直线AB的距离最短，该最短距离其实就是圆心到直线AB的距离减去圆的半径．直线AB的方程为x－y＋2＝0，|AB|＝2eq\r(2)，x2＋y2－2x＝0可化为(x－1)2＋y2＝1，易知该圆的圆心为(1，0)，半径为1，圆心(1，0)到直线AB的距离d＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，故△ABC面积的最小值为eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)－1))＝3－eq\r(2)．]在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两条坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C．(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．[解](1)明显b≠0，否则二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图像与两坐标轴只有两个交点(0，0)，(－2，0)，这与题设不符．由b≠0知，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图像与y轴有一个非原点的交点(0，b)，故它与x轴必有两个交点，从而方程x2＋2x＋b＝0有两个非零的不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b＞0且b≠0，即b＜1且b≠0．所以b的取值范围是(－∞，0)∪(0，1)．(2)由方程x2＋2x＋b＝0得x＝－1±eq\r(1－b)．于是二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图像与坐标轴的交点是(－1－eq\r(1－b)，0)，(－1＋eq\r(1－b)，0)，(0，b)．设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．因圆C过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C的方程，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－\r(1－b)2＋D－1－\r(1－b)＋F＝0，,－1＋\r(1－b)2＋D－1＋\r(1－b)＋F＝0，,b2＋Eb＋F＝0.))解上述方程组，因b≠0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－b＋1，,F＝b.))所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0．(3)圆C必过定点．证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依靠于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al