2024-2025学年高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用举例学案含解析新人教A版必修1

PAGE3．2.2函数模型的应用举例内容标准学科素养1.会利用给定的函数模型解决实际问题．2.能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题.提升数学运算培育数学建模授课提示：对应学生用书第64页[基础相识]学问点函数模型的应用eq\a\vs4\al(预习教材P101－106，思索并完成以下问题)(1)某商场销售一批优质衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快削减库存，商场确定实行适当降价措施．经调查发觉，假如每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2件．于是商场经理确定每件衬衫降价15元．那么经理的确定正确吗？提示：正确．(2)我们已学过的函数有哪些？提示：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数．学问梳理几种常用的函数模型：一次函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；反比例函数模型：y＝eq\f(k,x)＋b，(k，b为常数，k≠0)；二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；指数型函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b>0且b≠1，a≠0)；对数型函数模型：y＝alogbx＋c(a，b，c为常数，b>0且b≠1，a≠0)；幂函数模型：y＝a·xα＋c(a，α，c为常数，a≠0)．[自我检测]某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特别动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A．300只 B．400只C．600只 D．700只解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.答案：A授课提示：对应学生用书第65页探究一二次函数模型[例1]在经济学中，函数f(x)的边际函数定义为M(x)＝f(x＋1)－f(x)，利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)＝P(x＋1)－P(x)，某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)＝3000x－20x2(单位：元)其成本函数为C(x)＝500x＋4000(单位：元)，利润是收入与成本之差．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数M1(x)．(2)利润函数P(x)与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值？(3)你认为本题中边际利润函数M1(x)取最大值的实际意义是什么？[解析](1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3000x－20x2)－(500x＋4000)＝－20x2＋2500x－4000(1≤x≤100，x∈N)．M1(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2480－40x，(1≤x≤100，x∈N)(2)∵P(x)＝－20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(125,2)))2＋74125∴当x＝62或63时，P(x)min＝74120又∵M1(x)是减函数，∴当x＝1时M1(x)max＝2440故P(x)与M1(x)不具有相等的最大值．(3)边际利润函数M1(x)当x＝1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统利润最大，M1(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在削减．方法技巧利用二次函数模型解决问题的方法：在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．依据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．跟踪探究1.某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，须要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为H(x)＝500x－eq\f(1,2)x2，其中x是产品销售出的数量(0≤x≤500)．(1)若x为年产量，y表示利润，求y＝f(x)的解析式；(2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？(3)当年产量为何值时，工厂有盈利？(已知eq\r(21.5626)＝4.65)解析：(1)当0≤x≤500时，产品全部售出，∴f(x)＝500x－eq\f(1,2)x2－(5000＋25x)，即f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋475x－5000，当x>500时，产品只能售出500台，∴f(x)＝500×500－eq\f(1,2)×5002－(5000＋25x)，即，f(x)＝－25x＋120000.(2)当0≤x≤500时，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－475)2＋107812.5，当x>500时，f(x)＝120000－25x<120000－25×500＝107500.故当年产量为475台时取得最大利润，且最大利润为107812.5元，最佳生产支配475台．(3)若工厂有利润，则应用f(x)>5000，∴475x－eq\f(1,2)x2>5000，整理得x2－950x＋10000<0，解得10<x<940，∵市场需求量为每年500部，∴10<x≤500，故当年产量超过10部后，工厂有盈利．探究二分段函数模型的应用[例2]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则赐予实惠：每多1人，飞机票价格就削减10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解析](1)设旅行团人数为x，飞机票价格为y元，则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0＜x≤30，,900－10x－30，30＜x≤75，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0＜x≤30，,1200－10x，30＜x≤75.))(2)设旅行社获利S元，则S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0＜x≤30，,x1200－10x－15000，30＜x≤75.))即S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900x－15000，0＜x≤30，,－10x－602＋21000，30＜x≤75.))因为S＝900x－15000在区间(0,30]上，当x＝30时，S取最大值12000.又S＝－10(x－60)2＋21000在区间(30,75]上，当x＝60时，S取最大值21000.故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．方法技巧1.分段函数模型的应用分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间．对每一个区间进行分类探讨，从而写出函数的解析式．需留意分段函数的最值是各区间上所得最值的最大者或最小者．2．应用分段函数时的三个留意点(1)分段函数的“段”肯定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法为：先求各段函数值的范围，再求各段函数值范围的并集.跟踪探究2.某医疗探讨所开发一种新药，假如成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满意如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4μg时治疗疾病有效，假如某病人一天中第一次服药为上午7：00，问一天中怎样支配服药时间(共4次)效果最佳？解析：(1)依题意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6t，0≤t≤1，,－\f(2,3)t＋\f(20,3)，1＜t≤10.))(2)设其次次服药在第一次服药后t1小时，则－eq\f(2,3)t1＋eq\f(20,3)＝4，解得t1＝4，因而其次次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即有－eq\f(2,3)t2＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t2－4)＋eq\f(20,3)＝4，解得t2＝9小时，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t3小时(t3＞10)，则此时第一次服进的药已汲取完，血液中含药量应为其次、第三次的和－eq\f(2,3)(t3－4)＋eq\f(20,3)－eq\f(2,3)(t3－9)＋eq\f(20,3)＝4，解得t3＝13.5小时，故第四次服药应在20：30.探究三指数、对数型函数模型[例3]声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lgeq\f(I,10－12)给出，其中I为声强(单位：W/m2)．(1)平常常人交谈时的声强约为10－6W/m2，求其声强级．(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，能听到的最低声强为多少？(3)比较志向的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5×10－7W/m2，这两位同学是否会影响其他同学休息？[解析](1)当I＝10－6W/m2时，代入得Y＝10lgeq\f(10－6,10－12)＝10lg106＝60，即声强级为60分贝．(2)当Y＝0时，即为10lgeq\f(I,10－12)＝0，所以eq\f(I,10－12)＝1，I＝10－12W/m2，则能听到的最低声强为10－12W/m2.(3)当声强I＝5×10－7W/m2时，声强级Y＝10lgeq\f(5×10－7,10－12)＝10lg(5×105)＝50＋10lg5＞50，所以这两位同学会影响其他同学休息．方法技巧指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．跟踪探究3.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量削减eq\f(1,3)，至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)解析：设过滤n次能使产品达到市场要求，依题意，得eq\f(2,100)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,1000)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n≤eq\f(1,20).则n(lg2－lg3)≤－(1＋lg2)，故n≥eq\f(1＋lg2,lg3－lg2)≈7.4，考虑到n∈N，故n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．授课提示：对应学生用书第66页[课后小结]1．解应用题要弄清题意，从实际动身，引进数学符