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PAGE类型二用数学的思维分析世界——逻辑推理、数学运算素养3逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题动身,依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.详细表现:(1)发觉和提出命题;(2)驾驭推理的基本形式和规则;(3)探究和表述论证的过程;(4)构建命题体系;(5)表达与沟通.【例3】(多选题)(2024·新高考山东、海南卷)已知a>0,b>0,且a+b=1,则()A.a2+b2≥eq\f(1,2) B.2a-b>eq\f(1,2)C.log2a+log2b≥-2 D.eq\r(a)+eq\r(b)≤eq\r(2)解析因为a>0,b>0,a+b=1,所以a+b≥2eq\r(ab),当且仅当a=b=eq\f(1,2)时,等号成立,即有ab≤eq\f(1,4).对于A,a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×eq\f(1,4)=eq\f(1,2),故A正确;对于B,2a-b=22a-1=eq\f(1,2)×22a,因为a>0,所以22a>1,即2a-b>eq\f(1,2),故B正确;对于C,log2a+log2b=log2ab≤log2eq\f(1,4)=-2,故C错误;对于D,由(eq\r(a)+eq\r(b))2=a+b+2eq\r(ab)=1+2eq\r(ab)≤2,得eq\r(a)+eq\r(b)≤eq\r(2),故D正确.综上可知,正确的选项为ABD.答案ABD【训练3】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成果.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成果,给乙看丙的成果,给丁看甲的成果.看后甲对大家说:我还是不知道我的成果.依据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成果B.丁可以知道四人的成果C.乙、丁可以知道对方的成果D.乙、丁可以知道自己的成果解析由甲说:“我还是不知道我的成果”可推知甲看到乙、丙的成果为“一人优秀,一人良好”.乙看丙的成果,结合甲的说法,丙为“优秀”时,乙为“良好”;丙为“良好”时,乙为“优秀”,可得乙可以知道自己的成果;丁看甲的成果,由于乙与丙一人优秀,一人良好,则甲与丁也是一人优秀,一人良好,丁由甲的成果可推断自身成果.答案D素养4数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题.详细表现:(1)理解运算对象;(2)驾驭运算法则;(3)探究运算思想;(4)设计运算程序.【例4】(2024·浙江卷)已知tanθ=2,则cos2θ=________,taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ-\f(π,4)))=__________.解析由题意,cos2θ=cos2θ-sin2θ=eq\f(cos2θ-sin2θ,cos2θ+sin2θ)=eq\f(1-tan2θ,1+tan2θ)=eq\f(1-4,1+4)=-eq\f(3,5).taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ-\f(π,4)))=eq\f(tanθ-tan\f(π,4),1+tanθ·tan\f(π,4))=eq\f(tanθ-1,1+tanθ)=eq\f(2-1,1+2)=eq\f(1,3).答案-eq\f(3,5)eq\f(1,3)【训练4】(2024·武汉模拟)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作始终线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上;(2)作C的随意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.证明(1)依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,直线AO的方程为y=eq\f(y1,x1)x;BD的方程为x=x2.解得交点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2,\f(y1x2,x1)))留意到x1x2=-8及xeq\o\al(2,1)=4y1,则有y=eq\f(y1x1x2,xeq\o\al(2,1))=eq\f(-8y1,4y1)=-2,因此D点在定直线y=-2(x≠0)上.(2)依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),代入x2=4y得x2=4(ax+b),即x2-4ax-4b=0,由Δ=0得(-4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.故切线l的方程可写为y=ax-a2.分别令y=2、y=-2得N1、N2的坐标为N1(eq
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