2023届重庆市高三第一次联合诊断【康德卷】数学试题（解析版）

高三模拟试题PAGEPAGE12023年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗求出集合，利用交集的定义可求得集合.〖详析〗因为，因此，.故选：D.2.（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用诱导公式，逆用正弦和角公式计算出〖答案〗.〖详析〗.故选：C3.设复数z满足，则z的虚部为（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗设，则，根据复数的乘除法运算可得，结合虚部的定义即可求解.〖详析〗设，则，所以，，得，解得，所以复数z的虚部为.故选：B.4.某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗先得到15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，再根据组合知识计算出相应的概率.〖详析〗15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率为.故选：B5.某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别，两次观测时镜子间的距离为，人的“眼高”为，则建筑物的高度为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由相似三角形即可得到〖答案〗.〖详析〗设建筑物高度为，由于得由于得故选：A.6.设等差数列前n项和为，则（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗设数列首项为，公差为，由，等差数列通项公式，及等差数列前项和公式可得〖答案〗.〖详析〗设数列首项为，公差为，则，则由有：，即又，则.故选：B7.已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，点B恰好平分线段，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗数形结合，设，分别联立直线与双曲线，直线与直线可分别解得点的纵坐标,再根据点是中点，由中点坐标公式即可解得关系，从而可得双曲线C的离心率.〖详析〗双曲线的渐近线方程为，设，如图，直线与双曲线联立方程组，解得：，即，点的纵坐标为，直线与直线联立方程组，可得，点的纵坐标为，由于点是中点，由中点坐标公式可得，，，即.故选：B.8.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用，可判断，再利用，即可得到〖答案〗.〖详析〗，则，故函数在单调递减，单调递增，则则，即由，∴，故同理可证又，∴，则故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知两组样本数据和的均值和方差分别为和，若且，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗A选项，利用平均数的定义得到，，AB正确；利用方差的定义及计算方法，得到，D正确.〖详析〗，，因为，所以，A正确；，B正确；，同理可得：，故，C错误，D正确.故选：ABD10.在正方体中，点E，F，G分别是棱上的点，则一定成立的是（）A.B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗由已知可得，，，.根据数量积的运算即可判断A、B项；用表示出向量，根据数量积即可判断C、D项.〖详析〗如图，由已知可得，，，.对于A项，，故A项正确；对于B项，因为，所以，故B项正确；对于C项，因为，所以，当时，显然有，故C项错误；对于D项，因为，，，所以，故D项正确.故选：ABD.11.已知函数，则使得“的图像关于点中心对称”成立的一个充分不必要条件是（）A.的最小正周期为B.的图像向右平移个单位长度后关于原点对称C.D.的图像关于直线对称〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗根据正弦函数对称中心求出，然后根据选项内容逐项进行验证即可求解.〖详析〗的图像关于点中心对称，则，其中，，所以充要条件是.对于A，，故A正确；对于B，可知是原函数的对称点，，故B正确；对于C，，或或，不一定在S中，C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.12.已知函数，则（）A.有两个零点 B.过坐标原点可作曲线的切线C.有唯一极值点 D.曲线上存在三条互相平行的切线〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗利用导数研究函数的极值，结合零点的定义即可判断A；利用反证法，根据直线的点斜式方程求出切线方程，即可判断B；利用二次求导研究函数的极值，结合零点的定义即可判断C；利用函数的零点个数与方程的根个数、函数图象交点个数的关系，结合选项C即可判断D.〖详析〗A：，对于函数，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，则函数在，处分别取极大值和极小值，由，知只有一个零点，所以有两个零点，故A正确；B：假设B成立，设切点坐标为，切线方程为，即，∴，但显然，故B错误；C：，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，∴函数在处分别取到极大值和极小值，由知只有一个零点，有一个极值点，故C正确；D：若D正确，则存在实数m使得有三个不同的根，即函数与图象有3个交点，由选项C可知，，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中常数项为___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗利用二项式定理即可得解.〖详析〗因为的展开通项为，当，即时，为常数项，此时.故〖答案〗为：.14.已知，则的最小值是___________.〖答案〗4〖解析〗〖祥解〗把化为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式即可得到〖答案〗.〖详析〗，当且仅当即时，取等号，故的最小值是4，故〖答案〗为：.15.已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根据题意可得，，进而将原不等式转换为不等式组，解之即可.〖详析〗由题意知，，，故〖答案〗为：.16.在中，，点Q满足，则的最大值为___________.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗设中点为M，则，根据平面向量的线性运算可得，得当时，最大，此时是等边三角形，求出即可求解.〖详析〗设中点为M，则，，由，知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧，∴当时，最大，此时是等边三角形，则.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别为且.（1）求角C；（2）求的最大值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系化简已知等式即可得，结合，可求得的值.（2）通过边角互化将转换为，再由（1）知角，利用辅助角公式化简，即可求得最大值.〖小问1详析〗在中，由正弦定理得，，，.，，即〖小问2详析〗由正弦定理得：，其中，又，故，∴，∴，故的最大值为.18.已知数列是各项均为正数的等比数列，设.（1）证明：数列是等差数列；（2）设数列的前5项和为35，，求数列的通项公式.〖答案〗（1）证明见〖解析〗；（2）或.〖解析〗〖祥解〗(1)根据题意和对数的运算性质、等比数列的性质可得，进而求出，则，结合等差数列的定义即可证明；(2)根据等差数列前n项求和公式可得数列的公差为2，则，由(1)可知且，求出q和，结合等比数列的通项公式即可求解.〖小问1详析〗设的公比为，∴故，所以，故是以为公差的等差数列；〖小问2详析〗∵数列的前5项和为35，∴，又，故的公差2，故，即，即，故且，从而，或，所以或.19.如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，且平面平面.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.〖答案〗（1）证明见〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）通过证明平面来证得.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面所成锐二面角的大小.〖小问1详析〗设，则中点为M，且∵平面平面且交线为，平面，∴平面，∵平面，∴，又直三棱柱，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.〖小问2详析〗由（1）知平面，所以直线与平面所成的角为，不妨设以B为原点，分别为x，y，z轴正向建立坐标系，，设平面的法向量为，故可设，设平面的法向量为，，故可设，设平面与平面所成锐二面角为，∴.20.驾照考试新规定自2022年8月1日开始实施，其中科目一的考试通过率低成为热点话题，某驾校需对其教学内容和教学方式进行适当调整以帮助学员适应新规定下的考试，为此驾校工作人员欲从该驾校的学员中收集相关数据进行分析和统计，该驾校工作人员从2022年7月份该校首次参加科目一考试的新学员和8月份该校首次参加科目一考试的新学员中分别随机抽取了25人，对他们首次参加科目一考试的成绩进行统计，按成绩“合格”和“不合格”绘制成列联表如下：合格不合格合计2022年7月202022年8月15合计附：.0.10.050.010.005k2.7063.8416.6357.789（1）完成题中的列联表，并判断能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响？（2）若用样本中各月科目一考试的合格率作为该地区当月科目一考试通过的概率，已知该地区在2022年7月和8月首次参加科目一考试的学员人数之比为2∶1，现从该地区在2022年7月和8月首次参加科目一考试的学员中随机抽取两名学员进行学情调查，设抽到的两名学员中有X人首次参加科目一考试不合格，求X的分布列与数学期望.〖答案〗（1）列联表见〖解析〗，能（2）分布列见〖解析〗，〖解析〗〖祥解〗（1）根据题意和表中数据补全列联表，再结合独立性检验公式，即可求解.（2）根据已知条件，可分别求出7、8月份不合格率以及7、8月份首次参加考试的学员概率，从而可列出X的分布列，并求出数学期望.〖小问1详析〗由题得合格不合格合计2022年7月205252022年8月101525合计302050，∴可以在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响.〖小问2详析〗由题可知，该地7月份不合格率为，8月份不合格率为，抽取7月份首次参加考试的学员概率为，抽取8月份首次参加考试的学员概率为X可能的取值为0，1，2X012P.21.已知椭圆的离心率为，且过点，点O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C上的动点M，P，Q满足直线的斜率互为相反数，且点M不在坐标轴上，设直线的斜率分别为，求的值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用粗圆离心率的定义以及点在椭圆上,建立关于的方程组，求解即可；（2）设直线方程,与椭圆方程联立,通过韦达定理求出点的坐标,同理可求得点坐标，然后由两点间的斜率公式列出，化简即可.〖小问1详析〗由题，联立解得，所以椭圆方程为.〖小问2详析〗设，直线，联立椭圆方程得，，∴，，同理可得，∴，∴.22.已知函数，.（1）讨论的零点个数；（2）若对，不等式恒成立，求a的取值范围.〖答案〗（1）〖答案〗见〖解析〗；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）求出定义域为，，根据导函数符号得出函数的单调性，得出最小值.根据最小值与0的关系，结合函数的单调性，讨论函数零点的个数即可；（2）根据已知可推出.令，构造，求导根据函数的单调性可得，可转化为对恒成立.构造，根据导函数可得，即，进而即可求得a的取值范围.〖小问1详析〗解：由已知可得，定义域为，.因为，解可得，.解可得，，所以在上单调递减；解可得，，所以在上单调递增.所以，在处有唯一极小值，也是最小值，.所以，当时，，恒成立，此时的零点个数为0；当时，，有唯一零点；当时，，此时有，且.由在上单调递减，，，根据零点的存在定理可知，，即，使得；令，，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以.所以在上恒成立，又，，又在上单调递增，根据零点的存在定理可知，，即，使得.所以是的零点，所以的零点个数为2.综上所述，当时，的零点个数为0；当时，有1个零点；当时，的零点个数为2.〖小问2详析〗解:由已知可得，.因为，，所以有令，对于，，则，则对恒成立，即对恒成立.令，则只需即可.，所以在上单调递增.所以，所以，解得.高三模拟试题PAGEPAGE12023年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗求出集合，利用交集的定义可求得集合.〖详析〗因为，因此，.故选：D.2.（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用诱导公式，逆用正弦和角公式计算出〖答案〗.〖详析〗.故选：C3.设复数z满足，则z的虚部为（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗设，则，根据复数的乘除法运算可得，结合虚部的定义即可求解.〖详析〗设，则，所以，，得，解得，所以复数z的虚部为.故选：B.4.某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗先得到15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，再根据组合知识计算出相应的概率.〖详析〗15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率为.故选：B5.某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别，两次观测时镜子间的距离为，人的“眼高”为，则建筑物的高度为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由相似三角形即可得到〖答案〗.〖详析〗设建筑物高度为，由于得由于得故选：A.6.设等差数列前n项和为，则（）A. B. C.1 D.2〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗设数列首项为，公差为，由，等差数列通项公式，及等差数列前项和公式可得〖答案〗.〖详析〗设数列首项为，公差为，则，则由有：，即又，则.故选：B7.已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，点B恰好平分线段，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗数形结合，设，分别联立直线与双曲线，直线与直线可分别解得点的纵坐标,再根据点是中点，由中点坐标公式即可解得关系，从而可得双曲线C的离心率.〖详析〗双曲线的渐近线方程为，设，如图，直线与双曲线联立方程组，解得：，即，点的纵坐标为，直线与直线联立方程组，可得，点的纵坐标为，由于点是中点，由中点坐标公式可得，，，即.故选：B.8.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用，可判断，再利用，即可得到〖答案〗.〖详析〗，则，故函数在单调递减，单调递增，则则，即由，∴，故同理可证又，∴，则故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知两组样本数据和的均值和方差分别为和，若且，则（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗A选项，利用平均数的定义得到，，AB正确；利用方差的定义及计算方法，得到，D正确.〖详析〗，，因为，所以，A正确；，B正确；，同理可得：，故，C错误，D正确.故选：ABD10.在正方体中，点E，F，G分别是棱上的点，则一定成立的是（）A.B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗由已知可得，，，.根据数量积的运算即可判断A、B项；用表示出向量，根据数量积即可判断C、D项.〖详析〗如图，由已知可得，，，.对于A项，，故A项正确；对于B项，因为，所以，故B项正确；对于C项，因为，所以，当时，显然有，故C项错误；对于D项，因为，，，所以，故D项正确.故选：ABD.11.已知函数，则使得“的图像关于点中心对称”成立的一个充分不必要条件是（）A.的最小正周期为B.的图像向右平移个单位长度后关于原点对称C.D.的图像关于直线对称〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗根据正弦函数对称中心求出，然后根据选项内容逐项进行验证即可求解.〖详析〗的图像关于点中心对称，则，其中，，所以充要条件是.对于A，，故A正确；对于B，可知是原函数的对称点，，故B正确；对于C，，或或，不一定在S中，C错误；对于D，，故D正确.故选：ABD.12.已知函数，则（）A.有两个零点 B.过坐标原点可作曲线的切线C.有唯一极值点 D.曲线上存在三条互相平行的切线〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗利用导数研究函数的极值，结合零点的定义即可判断A；利用反证法，根据直线的点斜式方程求出切线方程，即可判断B；利用二次求导研究函数的极值，结合零点的定义即可判断C；利用函数的零点个数与方程的根个数、函数图象交点个数的关系，结合选项C即可判断D.〖详析〗A：，对于函数，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，则函数在，处分别取极大值和极小值，由，知只有一个零点，所以有两个零点，故A正确；B：假设B成立，设切点坐标为，切线方程为，即，∴，但显然，故B错误；C：，令，令或，所以函数在上单调递减，在和上单调递增，∴函数在处分别取到极大值和极小值，由知只有一个零点，有一个极值点，故C正确；D：若D正确，则存在实数m使得有三个不同的根，即函数与图象有3个交点，由选项C可知，，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中常数项为___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗利用二项式定理即可得解.〖详析〗因为的展开通项为，当，即时，为常数项，此时.故〖答案〗为：.14.已知，则的最小值是___________.〖答案〗4〖解析〗〖祥解〗把化为，再利用“1”的妙用，结合基本不等式即可得到〖答案〗.〖详析〗，当且仅当即时，取等号，故的最小值是4，故〖答案〗为：.15.已知定义域为的减函数满足，且，则不等式的解集为___________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根据题意可得，，进而将原不等式转换为不等式组，解之即可.〖详析〗由题意知，，，故〖答案〗为：.16.在中，，点Q满足，则的最大值为___________.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗设中点为M，则，根据平面向量的线性运算可得，得当时，最大，此时是等边三角形，求出即可求解.〖详析〗设中点为M，则，，由，知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧，∴当时，最大，此时是等边三角形，则.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角的对边分别为且.（1）求角C；（2）求的最大值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系化简已知等式即可得，结合，可求得的值.（2）通过边角互化将转换为，再由（1）知角，利用辅助角公式化简，即可求得最大值.〖小问1详析〗在中，由正弦定理得，，，.，，即〖小问2详析〗由正弦定理得：，其中，又，故，∴，∴，故的最大值为.18.已知数列是各项均为正数的等比数列，设.（1）证明：数列是等差数列；（2）设数列的前5项和为35，，求数列的通项公式.〖答案〗（1）证明见〖解析〗；（2）或.〖解析〗〖祥解〗(1)根据题意和对数的运算性质、等比数列的性质可得，进而求出，则，结合等差数列的定义即可证明；(2)根据等差数列前n项求和公式可得数列的公差为2，则，由(1)可知且，求出q和，结合等比数列的通项公式即可求解.〖小问1详析〗设的公比为，∴故，所以，故是以为公差的等差数列；〖小问2详析〗∵数列的前5项和为35，∴，又，故的公差2，故，即，即，故且，从而，或，所以或.19.如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，且平面平面.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，E为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.〖答案〗（1）证明见〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）通过证明平面来证得.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面所成锐二面角的大小.〖小问1详析〗设，则中点为M，且∵平面平面且交线为，平面，∴平面，∵平面，∴，又直三棱柱，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.〖小问2详析〗由（1）知平面，所以直线与平面所成的角为，不妨设以B为原点，分别为x，y，z轴正向建立坐标系，，设平面的法向量为，故可设，设平面的法向量为，，故可设，设平面与平面所成锐二面角为，∴.20.驾照考试新规定自2022年8月1日开始实施，其中科目一的考试通过率低成为热点话题，某驾校需对其教学内容和教学方式进行适当调整以帮助学员适应新规定下的考试，为此驾校工作人员欲从该驾校的学员中收集相关数据进行分析和统计，该驾校工作人员从2022年7月份该校首次参加科目一考试的新学员和8月份该校首次参加科目一考试的新学员中分别随机抽取了25人，对他们首次参加科目一考试的成绩进行统计，按成绩“合格”和“不合格”绘制成列联表如下：合格不合格合计2022年7月202022年8月15合计附：.0.10.050.010.005k2.7063.8416.6357.789（1）完成题中的列联表，并判断能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为“驾考新规的实施”对该驾校学员首次参加科目一考试的合格率有影响？（2）若用样本中各月科目一考试的合格率作为该地区当月科目一考试通过的概率，已知该地区在2022年7月和8月首次参加科目一考试的学员人数之比为2∶1，现从该地区在2022年7月和8月首次参加科目一考试的学员中随机抽取两名学员进行学情调查，设抽到的两名学员中有X人首次参加科目一考试不合格，求X的分布列与数学期望.〖答案〗（1）列联表见〖解析〗，能（2）分布列见〖解析〗，〖解析〗〖祥解〗（1）根据题意和表中数据