人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义-1.1空间向量及其运算(含解析)

洪创教育精品文档工作室洪创教育精品文档工作室1.1空间向量及其运算知识梳理知识梳理1、空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量2、空间向量的有关定理〔1〕共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点〔2〕共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点3、空间向量的数量积及运算律〔1〕数量积及相关概念①两向量的夹角：两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，假设〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.〔2〕空间向量数量积的运算律：①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.知识典例知识典例题型一空间向量根本关系例1向量互为相反向量，＝3，那么以下结论正确的选项是〔〕A． B．为实数0C．与方向相同 D．＝3【答案】D【详解】向量互为相反向量，那么模相等、方向相反..应选：D.稳固练习稳固练习1、以下说法正确的选项是〔〕A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．基底中基向量与基底基向量对应相等【答案】C【解析】【分析】根据空间向量根本定理判断选项可解.【详解】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底,所以错.项，空间基底有无数个,所以错.项中因为基底不唯一，所以错.应选.2、在以下命题中：①假设、共线，那么、所在的直线平行；②假设、所在的直线是异面直线，那么、一定不共面；③假设、、三向量两两共面，那么、、三向量一定也共面；④三向量、、，那么空间任意一个向量总可以唯一表示为.其中正确命题的个数为〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】①假设、共线，那么、所在的直线平行或重合；所以①错；②因为向量是可以自由移动的量，因此即使、所在的直线是异面直线，、也可以共面；所以②错；③假设、、三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此、、三向量不一定共面；所以③错；④假设三向量、、共面，假设向量不在该平面内，那么向量不能表示为，所以④错.应选：A.题型二空间向量的表示例2如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，那么以下向量中与相等的向量是〔〕A． B．C． D．【答案】C解：因为，所以，在平行六面体中，，应选：C【点睛】稳固练习稳固练习1、在四面体中，点在上，且，为中点，那么等于〔〕A． B．C． D．【答案】B解：在四面体中，点在上，且，为中点，所以，即.应选：B.2、在四面体中，、分别是、的中点，假设记，，，那么______.【答案】解：在四面体中，、分别是、的中点，那么.故答案为：.题型三基底问题例3〔多项选择〕设，，是空间一个基底，那么()A．假设⊥，⊥，那么⊥B．那么，，两两共面，但，，不可能共面C．对空间任一向量，总存在有序实数组(x，y，z)，使D．那么＋，＋，＋一定能构成空间的一个基底【答案】BCD【解析】【分析】根据基底的概念，对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，与都垂直，夹角不一定是，所以A选项错误.对于B选项，根据基底的概念可知，，两两共面，但，，不可能共面.对于C选项，根据空间向量的根本定理可知，C选项正确.对于D选项，由于，，是空间一个基底，所以，，不共面.假设＋，＋，＋共面，设，化简得，即，所以，，共面，这与矛盾，所以＋，＋，＋不共面，可以作为基底.所以D选项正确.应选：BCD稳固练习稳固练习1、有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③向量是空间的一个基底，那么向量也是空间的一个基底．其中正确的命题是〔〕A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；这是正确的．③向量是空间的一个基底，那么向量不共面，也是空间的一个基底；所以正确．应选：C．2、以下关于空间向量的命题中，正确的有______.①假设向量，与空间任意向量都不能构成基底，那么；②假设非零向量，，满足，，那么有；③假设，，是空间的一组基底，且，那么，，，四点共面；④假设向量，，，是空间一组基底，那么，，也是空间的一组基底.【答案】①③④【解析】【分析】根据空间向量根本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择.【详解】对于①：假设向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；对于②：假设非零向量，，满足，，那么与不一定共线，故②错误；对于③：假设，，是空间的一组基底，且，那么，即，可得到，，，四点共面，故③正确；对于④：假设向量，，，是空间一组基底，那么空间任意一个向量，存在唯一实数组，使得，那么，，也是空间的一组基底，故④正确.故答案为：①③④题型四共面问题例4点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，都有，那么的值是()A．1 B．0 C．3 D．【答案】D【解析】试题分析：因，那么M、A、B、C四点共面，必有，解得，应选D．考点：空间向量的共面问题．稳固练习稳固练习1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，假设点F是侧面CD1的中心，且那么m，n的值分别为()A．，－ B．－，－ C．－， D．，【答案】A由于，所以.应选：A【点睛】2、设是平面内不共线的向量，假设A，B，D三点共线，那么____.【答案】【解析】【分析】由A、B、D三点共线、共线向量定理得关于的方程，即可得答案；【详解】，又A、B、D三点共线，由共线向量定理得，，故答案为：.题型四数量积例4a、b是异面直线，且a⊥b，分别为取自直线a、b上的单位向量，且，那么实数k的值为___.【答案】6【解析】【分析】根据向量垂直数量积为0，可得关于的方程，解方程即可得答案；【详解】由，得，∴，∴，∴.故答案为：6.稳固练习稳固练习如下图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.【答案】答案见解析【解析】【分析】运用向量的减法表示向量＝－，再由向量数量积的定义分别求·和·可得答案.【详解】∵＝－，∴·＝·－·

＝|cos〈〉－|cos〈〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16.题型五异面直线夹角例5⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱AB、▱BC的对角线都分别相互垂直且相等，假设AB＝a，求异面直线与AC所成的角.【答案】60°【解析】【分析】根据几何体的特点，利用向量法求得，以及对应的模长，那么问题得解.【详解】如下图.因为故因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，故故又故.而，故可得，又∵异面直线所成的角是锐角或直角，∴异面直线BA1与AC成60°角.稳固练习稳固练习如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，，，求异面直线与所成角的余弦值．【答案】．【分析】根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【详解】因为，因为，所以．所以异面直线与所成角的余弦值为．题型六线段长度求解例6：如图，在的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面用的两个半平面内，且都垂直，，那么__________．【答案】【解析】，所以，所以，故填：.稳固练习稳固练习平行六面体，，，，，设，，；〔1〕试用、、表示；〔2〕求的长度；【答案】〔1〕；〔2〕.【分析】〔1〕根据空间向量的线性运算法那么，由此能求出结果．〔2〕由．，，由此能求出的长度．【详解】解：〔1〕．〔2〕．，，，，设，，；，的长度为．题型七共面证明例7如图，、、、、、、、、为空间的个点，且，，，，，，.求证：〔1〕、、、四点共面，、、、四点共面；〔2〕；〔3〕.证明：〔1〕∵，，∴A、B、C、D四点共面．∵，，∴E、F、G、H四点共面．〔2〕，∴.〔3〕.稳固练习稳固练习如图，点M，N分别在对角线上，且．求证：向量共面．【答案】证明见解析.【分析】由题意，在上取点，使，从而可证，，从而可证向量，，共面．【详解】证明：如图，在上取点，使，又，，又，，同理，，故由、、共面可知，向量，，共面．稳固提升稳固提升1、以下命题中，假命题是〔〕A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比拟大小B．两个相等的向量，假设起点相同，那么终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等【答案】D【详解】A.向量是有向线段，不能比拟大小.真命题.B.两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，那么终点也相同.真命题.C.零向量：模长为0的向量.真命题.D.共线的单位向量是相等向量或相反向量.假命题.应选：D.2、对于空间任意一点和不共线的三点，，，有如下关系：，那么〔〕A．四点，，，必共面 B．四点，，，必共面C．四点，，，必共面 D．五点，，，，必共面【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到，判定，，共面，进而可得出结果.【详解】因为，所以，即，根据共面向量根本定理，可得，，共面，所以，，，，四点共面．应选：B．3、在以下命题中：①假设向量共线，那么所在的直线平行；②假设向量所在的直线是异面直线，那么一定不共面；③假设三个向量两两共面，那么三个向量一定也共面；④三个向量，那么空间任意一个向量总可以唯一表示为.其中正确命题的个数为〔〕A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】此题考查向量的知识点；对于①：根据两向量共线定义知道，两向量共线有可能两向量所在的直线重合，所以此命题错误；对于②：两个向量可以平移到一个平面内，所以此命题错误；对于③：假设三个向量两两共面，这三个向量有可能不共面，所以此命题错误；对于④：根据空间向量的根本定理知道，这三个向量要不共面才可以，所以此命题错误，所以选A4、设向量不共面,那么以下可作为空间的一个基底的是()A． B．C． D．【答案】C选项A,B中的三个向量都是共面向量，所以不能作为空间的一个基底.选项D中，，根据空间向量共面定理得这三个向量共面，所以不能作为空间的一个基底.选项C中不共面,故可作为空间的一个基底.应选：C.5、如图，在空间四边形ABCD中，〔〕A． B．1 C．0 D．不确定【答案】C【详解】.应选：C.6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设,,,A1C1与B1D1的交点为E,那么=_____.【答案】-a+b+c【详解】如图,)=)=故答案为7、在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，假设=，=，=，那么=_____．

【答案】【详解】解：=(+)=+)=+=．故答案为：.8、假设，，,,假设不共面,当时,α+β+γ=____.【答案】3【解析】【分析】由,所以故有α+β+γ=3.【详解】由,所以故有α+β+γ=3.故答案为39、如下图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，用向量，，表示和【答案】；【解析】【分析】根据向量的加法、减法法那么及条件，先求出，，，，再结合图形，运用向量加法，用空间向量根本定理表示出待求向量．【详解】因为M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，所以，，，所以======；======10、如下图，在平行六面体中，，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且用基底表示以下向量.〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕..连接〔1〕是的中点〔2〕是的中点〔3〕是的中点〔4〕点在上，且【点睛】此题考查空间向量根本定理，属于根底题11、如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．〔1〕设，，，用向量，，表示，并求出的长度；〔2〕求异面直线与所成角的余弦值．【答案】〔1〕；；〔2〕.