2025年高考数学专项题型点拨训练之函数性质

年高考数学专项题型点拨训练函数性质【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称【题型三】轴对称【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性【题型五】画图：类周期函数【题型六】恒成立和存在型问题【题型七】嵌套函数函数知识无处不在，它可以和任何知识结合起来考察，尤其是由数学语言来判断函数的周期或者对称轴以及对称中心，再解决相应的问题，所以熟练掌握函数的基本性质是基础，而高考考察的即为延申的代数问题，包括抽象函数的理解和图像的变化。对于高三的学生，需要把常见的结论以及数学语言的理解熟练于心，才能保证做题的速度与准确度。易错点：对称中心平移和对称轴平移后求值问题若f(x)都可以唯一表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，当h(x)m时，则f(x)关于点(0，m)中心对称，即可以理解为将奇函数g(x)向上平移了m个单位，即f(x)f(x)2f(0)2m；当h(x)m时，则有f(x)f(x)2h(x)．推论若f(x)g(x)m，则f(x)max＋f(x)min2f(0)2m．例（1）已知f(x)=，则．（2）已知f(x)=，则．（3）已知函数，则．（4）已知函数，则．注意辨别奇函数g(x)和常数项m后直接用f(x)f(x)2f(0)2m来破解．变式1：（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（

）A． B．C． D．变式2：（2024·广西·二模）已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（

）A．的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C．函数的周期为2D．【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数中心对称的数学语言：若满足，则关于中心对称三次函数的对称中心的横坐标即为二次求导的零点。【例1】（2024·陕西西安·三模）已知函数，若，则的取值范围为．【例2】（多选）（2024·重庆·模拟预测）函数，，那么（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是奇函数【例3】（多选）（2024·湖南娄底·一模）已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（

）A． B．C．在定义域内单调递减 D．为奇函数【变式1】（2024·江西上饶·二模）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（

）A．28 B．16 C．20 D．12【变式2】（2024·全国·模拟预测）函数的部分图象为（

）A． B．C． D．【变式3】（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中.(1)求证：是奇函数；(2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围.【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称1.三角函数的对称中心（对称轴）有无数个，适当结合条件确定合适。2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【例2】（2024·湖南·模拟预测）已知函数满足，，当时，，则函数在内的零点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式1】（多选）（2024·江苏·一模）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称C．不等式无解 D．的最大值为【变式2】（2024·河南·一模）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.且，，当，，则.（用数字作答）【题型三】轴对称数学语言：函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；2.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.3.与关于直线对称。常见的偶函数：【例1】（多选）（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，则（

）A． B．为奇函数C． D．【例2】（2024·宁夏银川·二模）定义域为的函数满足为偶函数，且当时，恒成立，若，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【例3】（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（

）A． B． C． D．【变式1】（2024·全国·模拟预测）若定义在上的函数满足，且，则下列结论错误的是（

）A． B．的图象关于直线对称C． D．是奇函数【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知函数为偶函数，且，当时，，则（

）A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称C．的最小正周期为2 D．【变式3】（多选）（2024·河北邢台·一模）已知函数和函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，，且，则下列说法正确的是（

）A．为偶函数B．C．若在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为D．【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性基本规律关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。【例1】（2024·浙江·一模）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则.【例2】（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则.【例3】（多选）（2024·江西·模拟预测）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【变式1】（多选）（2024·吉林白山·二模）已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（

）A． B．C． D．【变式2】（多选）（2024·广东韶关·二模）已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（

）A．关于直线对称 B．C．的周期为4 D．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且当时，．若，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【题型五】画图：类周期函数基本规律“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：1.是从左往右放大，还是从右往左放大。2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。【例1】定义：若存在非零常数k，T，使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立，则称函数f(x)为“k距周期函数”，其中T称为函数的“类周期”．则（

）A．一次函数均为“k距周期函数”B．存在某些二次函数为“k距周期函数”C．若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1，且f（1）=1，则f(x)=xD．若g(x)是周期为2函数，且函数f(x)=x+g(x)在[0，2]上的值域为[0，1]，则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n，2n+2]上的值域为[2n，2n+1]【变式1】定义“函数是上的级类周期函数”如下:函数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期.若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式2】（多选）（2024·山东济南·模拟预测）已知函数定义域为R，满足，当时，.若函数的图象与函数的图象的交点为，，，(其中表示不超过的最大整数)，则（

）A．是偶函数 B． C． D．【题型六】恒成立和存在型问题基本规律常见不等式恒成立转最值问题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；【例1】（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，．若存在，使得成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【例3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式1】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足：对任意x，，恒成立，且，则（

）A．函数的图象过点B．函数的图象关于原点对称C．的图象关于点对称D．【变式2】（2024·上海奉贤·二模）已知定义域为的函数，其图象是连续的曲线，且存在定义域也为的导函数.(1)求函数在点的切线方程；(2)已知，当与满足什么条件时，存在非零实数，对任意的实数使得恒成立？(3)若函数是奇函数，且满足.试判断对任意的实数是否恒成立，请说明理由.【变式3】（21-22高三上·全国·阶段练习）已知函数．(1)若，求不等式的解集；(2)若，，使得能成立，求实数m的取值范围．【题型七】嵌套函数在某些情况下，我们可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数．在函数里面调用另外一个函数，就叫做函数嵌套．如果调用自己本身，就叫做递归调用，也叫递归嵌套．一嵌套函数解析式问题的解题方法：换元法：将被嵌套的部分换为一个主元t，即求出yf(t)解析式，属于通法．待定系数法：将被嵌套部分换成一个常数，最后解出这个常数即可．二不动点与稳定点不动点：对于函数f(x)(xD)，我们把方程f(x)x的解x称为函数f(x)的不动点，即yf(x)与yx图象交点的横坐标．例如：函数f(x)2x1有一个不动点为1，函数的不动点．有两个不动点，1．稳定点：对于函数f(x)(xD)，我们把方程f[f(x)]x的解x称为函数f(x)的稳定点，即yf[f(x)]与yx图象交点的横坐标。很显然，若为函数yf(x)的不动点，则必为函数yf(x)的稳定点．证明：因为f()，所以f(f())f()，故也是函数yf(x)的稳定点．【例1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例2】（2024·安徽池州·模拟预测）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石．简单来说就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称为“不动点”函数．若存在个点，满足，则称为“型不动点”函数，则下列函数中为“3型不动点”函数的是（

）A． B．C． D．【例3】（2024·浙江温州·二模）定义：对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”集合分别记为和，即.(1)证明下面两个性质：性质1：；性质2：若函数单调递增，则；(2)已知函数，若集合中恰有1个元素，求的取值范围.【变式1】（多选）（2024·全国·模拟预测）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个不动点，那么下列函数具有“不动点”的是（

）A． B．C． D．【变式2】（2024·贵州黔西·一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于