河南省南阳市第二中学校2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

河南省南阳市二中2024-2025学年高二上学期数学11月月考卷(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知x+2xnA.6B.18C.24D.482.已知a=(cosθ,1,sinθ),b=(sinθ,1,cosθ),则向量a+b与a-b的夹角是().A.30°B.60°C.90°D.120°3.已知某离散型随机变量X服从二项分布PX=k=CA.0.56B.0.64C.0.72D.0.804.已知点P为抛物线x²=4y上任意一点，点A是圆x²+yA.6-5B.255.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x/万元4235销售额y/万元49263954根据上表可得线性回归方程y=bx+â中的b为9.4A.9.1万元B.9.2万元C.67.7万元D.65.5万元6.x²-x+1A.-210B.210C.30D.-307.用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为().A.25B.630C.605D.5808.已知点P为双曲线x2a2-y2b2=1a0,b>0)右支上一点，F₁,F₂分别是双曲线的左、右焦点，且A.2+1C.2-二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9.已知3-2x9ABCD.展开式中所有项的二项式系数的和为2⁹10.已知6名同学排成一排，下列说法正确的有().A.甲不站两端，共有A14A3种排法B.甲、乙必须相邻，共有A4A24C.甲、乙之间恰有两人，共有A4D.甲不排左端，乙不排右端在，共有A611.下列结论正确的有().A.若事件A与B是互斥事件，则A与B也是互斥事件B.若事件A与B是相互独立事件，则A与B也是相互独立事件C.若P(A)=0.6,P(B)=0.2,A与B相互独立,那么P(A∪B)=0.68D.若P(A)=0.8,P(B)=0.7,A与B相互独立,那么P12.下列结论正确的有().A.过点A(1,3),B(-3,7)的直线的倾斜角为135°B.若直线2x+3y+6=0与直线ax-y+2=0垂直,则aC.已知A(1,1),B(2,3)及x轴上的动点P,则|PA|+|PB|的最小值为5D.直线x+2y-4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离为9三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.三个元件T₁，T₂，T₃正常工作的概率分别为12,34,314.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，比赛期间，某项目需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方法种数为.15.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填序号)四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆x-1²+y-a²=4相交于A，(12分)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ,求Eξ.19.(12分)如图,在梯形ABCD中,ABCD,AD=DC=CB=1,∠BCD(1)求证:AD(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值.20.(12分)某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数.(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：主食蔬菜主食肉类总计50岁及以下50岁以上总计(2)是否有99%的把握判断其亲属的饮食习惯与年龄有关?(3)从样本中50岁及以下的人中按分层随机抽样的方法抽取6人，再从6人中选3人，求至少抽到一名“主食蔬菜”的人的概率.附：xp(χ²≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82821.(12分)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1a(1)求椭圆(C₁(2)设椭圆(C₁的左焦点为F₁,右焦点为F₂,直线l₁过点.F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于直线l₁,，垂足为点P，线段.PF₂的垂直平分线交l₂(3)设(C₂与x轴交于点Q，不同的两点R，S在(C₂上，且满足QR⋅RS=0,22.(12分)设不等式x²+y²≤4确定的平面区域为U，(1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率；(2)在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V内的个数为X，求X的分布列和数学期望. 答案一、1.C2.C3.B4.D5.D6.A7.B.8.C二、9.ABD10.ACD11.BCD12.ABD三、13.1532分析：设事件A表示T₁正常工作，事件B表示T₂正常工作，事件C表示T₃正常工作，则PA=12,PB=PC=34.电路不发生故障，即T₁正常工作且T₂，T₃至少有一个正常工作，T₂，T₃不发生故障即T₂，T₃至少有一个正常工14.15015.516.②③分析:由题意知,a,b,AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图.不妨设图中所示正方体的棱长为1，故.AC=1,AB=2斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆.设直线a,b的方向向量分别为a=(0,1,0),b=(1,0,0).如图,设点B在运动过程中的坐标为(cosθ,sinθ,0),其中θ=∠B'CD,θ∈[0,2π).那么AB在运动过程中的向量B'A设B'A与a所成夹角为α，则α∈=故α∈π4π2,设B'A与b所成夹角为β，则β==当B'A与a的夹角|∵∴∴β=π3,即此时∴②正确,①错误.四、17.解：因为△ABC为等边三角形且C为圆心，所以该三角形的边长为2，由等边三角形的性质可知高为3,即C到AB的距离为3.由圆方程可得,C(1,a),所以圆心C到直线ax+y--2=0的距离d=|a+a-18.解：由题意知变量ξ的取值可能为2，3，4，PPξ=3P所以Eξ19.(1)证明:∵梯形ABCD为等腰梯形,AB∥CD,∴∠BCD=∠ADC.连接BD,又∵∠BCD=2∴∠∵平面BFED⊥平面ABCD,平面BFED∩平面ABCD=BD,∴AD⊥平面BFED.(2)解：由(1)可建立以点D为坐标原点，直线DA,DB,DE分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如图所示.令EP则D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,λ,1),∴设n₁=(x,y,z)为平面PAB的一个法向量,则n1⋅AB=0,n1⋅BP∵n₂=0∴==∵0≤λ≤3,∴当λ=3时，cosθ有最大值12又∵θ为锐角，20.解:(1)2×2列联表如下表:主食蔬菜主食肉类总计50岁及以下481250岁以上16218总计2010302∴有99%的把握判断其亲属的饮食习惯与年龄有关.321.解:1e=ca=3∴点O到直线l的距离d∴∵a=3∴c=1,∴a=3,∴椭圆C(2)由(1)可得l₁:x=-1.∵线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M,∴|PM|=|MF₂|,即M到直线l₁的距离d∴M的轨迹为以F₂为焦点，l₁为准线的抛物线，设其方程为y²=2(3)C₂与x轴的交点为Q(0,0),设R∴∴∵∴化简可得y考虑|=由①可得y2y可得|∴|22.解:(1)依题意可得U中整点有(0,0),(0,±1),(0,±2),(±1,0),(±2,0),