高考数学全真模拟试题第12626期

单选题(共8个，分值共：)1、已知正数、满足，则的最小值为（

）A．B．C．D．2、某城市2020年1月到10月中每月空气质量为中度污染的天数分别为1，4，7，9，，，13，14，15，17，且.已知样本的中位数为10，则该样本的方差的最小值为（

）A．21.4B．22.6C．22.9D．23.53、已知为锐角且，则的值为（

）A．B．C．D．4、以下各角中，是第二象限角的为（

）A．B．C．D．5、笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率为（

）A．B．C．D．6、集合或，若，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．7、在中，角的对边分别为，若(为非零实数)，则下列结论正确的是（

）A．当时，是锐角三角形B．当时，是锐角三角形C．当时，是钝角三角形D．当时，是直角三角形8、函数在的图象大致为（

）A．B．C．D．多选题(共4个，分值共：)9、已知角的终边与单位圆相交于点，则（

）A．B．C．D．10、下列命题中正确的是（

）A．若，，，则B．若复数，满足，则C．若复数为纯虚数，则D．若复数满足，则的最大值为11、已知函数，，对任意，则（

）A．B．C．D．12、已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（

）A．若，，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则双空题(共4个，分值共：)13、已知，，且，则的最小值为___________，此时___________.14、已知事件A与互斥，且，，则_______，________.15、若扇形的周长为定值，则当该扇形的圆心角______时，扇形的面积取得最大值，最大值为______.解答题(共6个，分值共：)16、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1，E，F分别是棱BC，CC1的中点.（1）若线段AC上存在点D满足平面DEF//平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（2）证明：EF⊥A1C.17、计算：(1)；(2)．18、设函数，且.（1）请说明的奇偶性；（2）试判断在上的单调性，并用定义加以证明；（3）求在上的值域.19、计算(1)；(2).20、已知向量与的夹角，且，

，求与的夹角的余弦值．21、我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)若该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的众数和第80百分位数.双空题(共4个，分值共：)22、___________，___________.

高考数学全真模拟试题参考答案1、答案：C解析：利用指数运算可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.，所以，，因为、均为正数，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.2、答案：B解析：先根据中位数求出，再求出平均数，根据方差的公式列出式子，即可求解.解：由题可知：，则该组数据的平均数为，方差，当且仅当时，方差最小，且最小值为.故选：B.3、答案：C解析：利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正弦可求的值.为锐角，故，而，故，又.故选：C.4、答案：B解析：将各选项中的角表示为，利用象限角的定义可得出合适的选项.对于A选项，，为第三象限角，则为第三象限角；对于B选项，，为第二象限角，则为第二象限角；对于C选项，为第三象限角；对于D选项，为第四象限角.故选：B.5、答案：D解析：依据古典概型即可求得“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率；把2只鸡记为，，2只兔子分别记为“长耳朵”H和短耳朵h，则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出，共有如下24种不同的取法：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中“长耳朵”H恰好是第2只被取出的动物，则共有种不同的取法.则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率故选：D6、答案：A解析：根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．解：，①当时，即无解，此时，满足题意．②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．小提示：易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.7、答案：D解析：由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解．对于，时，可得：，可得，这样的三角形不存在，故错误；对于，时，可得：，可得为最大角，由余弦定理可得，可得是钝角三角形，故错误；对于，时，可得：，可得为最大角，由余弦定理可得，可得是锐角三角形，故错误；对于，时，可得：，可得，即为直角，可得是直角三角形，故正确.故选：D小提示：思路点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用这个结论．8、答案：B解析：由可排除选项C、D；再由可排除选项A.因为，故为奇函数，排除C、D；又，排除A.故选：B.小提示：本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题，在做这类题时，一般要利用函数的性质，如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等，是一道基础题.9、答案：ABC解析：根据三角函数定义得到正弦，余弦及正切值，进而利用诱导公式进行计算，作出判断.根据三角函数的定义得：，，，故AB正确；，C正确；，D错误.故选：ABC10、答案：AD解析：A由复数相等条件即可判断正误；B、C应用特殊值法，代入验证即可；D根据的几何含义：以为圆心2为半径的圆，求为该圆上的点到最大距离，判断正误.A：由复数相等知：，有，正确；B：若，有，错误；C：若时，，错误；D：令，则为圆O：，而表示圆O上的点到的最大距离，所以，正确.故选：AD.11、答案：BCD解析：对选项A，根据指数的运算性质即可；对选项B，可判断出是奇函数，即可判断；对选项C，通过作差法比较即可；对选项D，根据函数的单调性和奇偶性转化不等式，再通过判别式即可判断.对选项A，，，故选项A错误；对选项B，，，则，故选项B正确；对选项C，不妨设，则，故，故选项C正确；对选项D，因为是奇函数，在上递减则要使恒成立只需：只需：只需：而，故，故选项D正确故选：BCD12、答案：BD解析：根据空间直线与平面间的位置关系判断．解：对于A，若，，，，则与相交或平行，故A错误；对于B，若，，，则由线面平行的性质得，故B正确；对于C，若，，，则或，故C错误；对于D，若，，，则由面面垂直的判定定理得，故D正确.故选：BD.13、答案：

4

3解析：由基本不等式可得，结合已知条件可得的最小值，再根据等号成立的条件求出对应的a、b，即可求.由，当且仅当，即，时等号成立，此时.故答案为：4，3.14、答案：

0.6##

0.9##解析：利用对立事件的概率之和为1进行求解；互斥事件A与的概率加法公式因为事件与是对立事件，且，所以；因为事件A与互斥，所以故答案为：0.6，0.915、答案：

2

解析：设扇形的半径为，则，扇形的面积，利用二次函数的性质分析即得解设扇形的半径为，则扇形的弧长为故扇形的面积由二次函数的性质，当时，面积取得最大值为此时，故答案为：2，16、答案：（1）存在为的中点时使平面DEF//平面ABC1，理由见解析；（2）证明见解析.解析：（1）若为的中点，连接，易得，应用线面平行的判定可得面ABC1、面ABC1，再由面面平行的判定可证面DEF//面ABC1，即可确定D的位置，（2）若是与交点，是中点，连接，易得为、中点且为平行四边形，进而证明△为等腰三角形即可证结论.（1）若为的中点，连接，又E，F分别是棱BC，CC1的中点，∴，又面ABC1，面ABC1，则面ABC1，面ABC1，面ABC1，则面ABC1，由，则面DEF//面ABC1，综上，存在为的中点时使平面DEF//平面ABC1.（2）若是与交点，是中点，连接，由三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，E，F分别是棱BC，CC1的中点，∴为、中点，易知：且，且，∴且，即为平行四边形，∴，又AB⊥AC，AC＝AA1，∴在直角△和直角△中，，，∴，故在等腰△中，，即.17、答案：(1)(2)解析：（1）根据幂的运算和分数指数幂与根式之间直接可得；（2）先换底，然后由对数的运算公式可得.(1)原式(2)原式18、答案：（1）是奇函数；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）.解析：（1）根据求出，根据定义可知是奇函数；（2）在上单调递增，按照取值、作差、变形、判号、下结论这五个步骤证明可得解；（3）根据（2）的单调性求出最值可得值域.（1）由，得，，所以.由于定义域为，关于原点对称，且，所以是奇函数.(2）在上单调递增，证明如下：证明：设，则.因为，所以，，所以，在上单调递增.（3）因为函数在上单调递增，所以，.所以函数在上的值域为.小提示：本题考查了函数的奇偶性，考查了利用定义证明函数的单调性，考查了利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题.19、答案：(1)2(2)解析：（1）根据对数计算公式，即可求得答案；（2）将化简为，即可求得答案.(1)(2)20、答案：.解析：由模、夹角求，应用向量数量积的运算律求，令与的夹角为，则有即可求余弦值.∵向量与的夹角，且，

，∴，，设与的夹角为，则，∴与的夹角的余弦值为．21、答案：(1)(2)，理由见解析(3)2.73解析：（1）由直方图中所有小长方形面积之和为1，可计算得a的值；（2）求出100位居民月均用水量不低于3吨的频率，根据频率，频数，样本容量的关系进行运算；（3）根据众数，百分位数的求法进行运算.(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在的频率为，同理，在，，，，，等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02，由，解得；(2)由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为：，由以上样本的频率分布可以估计30万居民中月均用水量不低于3