运筹学第7章决策分析

2024/11/717.1决策问题的一般性描述决策的含义“决策”这个词人们并不陌生,为了达到预期的目的，从所有的可供选择的多个方案中，找出最满意的（最优的）方案的一种活动。广义的决策是指确定目标、制定和选择方案、方案的实施和验证等全过程。狭义的决策是指对决策方案的最后选择。古今中外的许多政治家、军事家、外交家、企业家都曾做出过许许多多出色的决策，至今被人们所称颂。决策的正确与否会给国家、企业、个人带来重大的经济损失或丰厚的利益。在国际市场的竞争中，一个错误的决策可能会造成几亿、几十亿甚至更多的损失。真可谓一着不慎，满盘皆输。关于决策的重要性，著名的诺贝尔经济学获奖者西蒙（H.A.Simon）有一句名言：“管理就是决策，管理的核心就是决策”决策是一种选择行为的全部过程，其中最关键的部分是回答“是”与“否”。决策分析在经济及管理领域具有非常广泛的应用，在投资、产品开发、市场营销、项目可行性研究等方面的应用都取得过辉煌的成就。决策科学本身内容也非常广泛，包括决策数量化方法、决策心理学、决策支持系统、决策自动化等。2024/11/722024/11/73决策的分类个体决策和群体决策宏观决策和微观决策战略决策和战术决策定性决策和定量决策程序化决策和非程序化决策单目标决策和多目标决策确定型决策、不确定型决策和风险型决策本章主要从运筹学的定量分析角度予以介绍。2024/11/74决策问题的基本要素行动集or策略集：有两个或两个以上的行动（或策略）。自然状态：自然界可能出现的一种状态。损益函数（支付函数）：每个行动在某一自然状态下所发生的某种结果，如获得的收益或损失。概率：每种自然状态出现的可能性。决策者根据自己过去的经验或专家估计获得自然状态发生的概率。2024/11/75一个决策问题必须具备以下基本条件：（1）存在一个明确且可以达到的目标，如收益最大或损失最小；（2）存在着两个或者两个以上的行动方案；（3）各行动方案所面临的、可能的自然状态完全可知；（4）各行动方案在不同状态下的损益值可以被计算或者被定量地估计出来。2024/11/767.2不确定型决策决策者对决策问题各方案有关自然状态是否出现不能确定，只能估计，甚至无法预测其发生的概率。根据决策者的主观倾向和经验判断进行决策。决策准则有：悲观决策准则，乐观决策准则，等可能决策准则，折衷值决策准则，后悔值决策准则。2024/11/77例1某公司一新产品投放市场的需求量情况有四种自然状态，即：较高（40万件/年以上）；一般（30万件/年以上）；较低（15万件/年以上）；很低（8万件/年以下）。为此，制订三个生产新产品的工艺方案，即：A1新建一条水平较高的自动生产线；A2改建一条一般水平的流水生产线；A3采用原有设备生产，部分零件外购。该产品准备生产10年。具体损益情况如表所示。自然状态损益值（万元）行动方案较高S1一般S2较低S3很低S4新建自动线A18542-15-40改建生产线A26040-10-35原有车间生产A340259-502024/11/78A2为最优方案

较高S1一般S2较低S3很低S4悲观新建自动线A18542-15-40-40改建生产线A26040-10-35-35原有车间生产A340259-50-501.悲观决策准则（max-min准则）悲观准则又称华尔德准则或保守准则，按悲观准则决策时，决策者是非常谨慎保守的，为了“保险”，从每个方案中选择最坏的结果，在从各个方案的最坏结果中选择一个最好的结果，该结果所在的方案就是最优决策方案。2024/11/79

较高S1一般S2较低S3很低S4乐观新建自动线A18542-15-4085改建生产线A26040-10-3560原有车间生产A340259-5040A1为最优方案2.乐观决策准则（max-max准则）当决策者对客观状态的估计持乐观态度时，可采用这种方法。此时决策者的指导思想是不放过任何一个可能获得的最好结果的机会，因此这是一个充满冒险精神的决策者。2024/11/7103.等可能决策准则

较高S1一般S2较低S3很低S4等可能新建自动线A18542-15-4018改建生产线A26040-10-3513.75原有车间生产A340259-506A1为最优方案等可能准则又称机会均等法或称拉普拉斯(Laplace)准则，它是19世纪数学家Laplace提出的。他认为：当决策者面对着n种自然状态可能发生时，如果没有充分理由说明某一自然状态会比其他自然状态有更多的发生机会时，只能认为它们发生的概率是相等的，都等于1/n。计算公式如下2024/11/7114.折衷值决策准则

较高S1一般S2较低S3很低S4折衷（乐观系数=0.6）新建自动线A18542-15-4035改建生产线A26040-10-3522原有车间生产A340259-504A1为最优方案折衷准则又称乐观系数准则或赫威斯准则，是介于悲观准则与乐观准则之间的一个准则。若决策者对客观情况的评价既不乐观也不悲观，主张将乐观与悲观之间作个折衷，具体做法是取一个乐观系数α(0≤α≤1)来反映决策者对状态估计的乐观程度，计算公式如下又称遗憾准则.当决策者在决策之后，若实际情况并不理想，决策者有后悔之意，而实际出现状态可能达到的最大值与决策者得到的收益值之差越大，决策者的后悔程度越大。因此可用每一状态所能达到的最大值（称作该状态的理想值）与其他方案（在同一状态下）的收益值之差定义该状态的后悔值向量。对每一状态作出后悔值向量，就构成后悔值矩阵。对后悔值矩阵的每一行即对应每个方案求其最大值，再在这些最大值中求出最小值所对应的方案，即为最优方案。计算公式如下5.后悔值决策准则⑴⑵⑶最优方案为先取每一列中最大值，用这一最大值减去这列的各个元素。再取结果的最大值。5.后悔值决策准则2024/11/714

较高S1一般S2较低S3很低S4后悔值决策准则新建自动线A10024524改建生产线A225219025原有车间生产A3451701545A1为最优方案后悔矩阵5.后悔值决策准则该状态最大值85，用85减去各个值该状态最大值42该状态最大值9该状态最大值-352024/11/7157.3风险型决策风险型决策问题须具备以下几个条件：①有一个决策目标（如收益较大或损失较小）。②存在两个或两个以上的行动方案。③存在两个或两个以上的自然状态。④决策者通过计算、预测或分析等方法，可以确定各种自然状态未来出现的概率。⑤每个行动方案在不同自然状态下的益损值可以计算出来。风险型决策决策者根据几种不同自然状况可能发生的概率所进行的决策。决策过程总结列出所有可能策略列出所有可能状态得到每一状态发生的概率（总和为1）画出支付表，列出所有信息用最大期望收益决策准则选出最佳策略2024/11/7162024/11/717最大可能准则选择一个概率最大的自然状态进行决策，而不考虑其他自然状态

选择收益值最大的策略为最佳策略

较高S1一般S2较低S3很低S4新建自动线A18542-15-40改建生产线A26040-10-35原有车间生产A340259-50各个状态的发生概率0.3

0.40.2

0.1A1为最优方案下面介绍几种风险型决策问题的决策方法。2024/11/718最大期望收益决策准则计算各策略的期望收益值EMV.选择期望收益值最大（EMV*）的策略为最佳策略

较高S1一般S2较低S3很低S4EMV新建自动线A18542-15-4035.3改建生产线A26040-10-3528.5原有车间生产A340259-5028.8各个状态发生的概率0.30.40.20.1A1为最优方案2024/11/719决策树法实际中的决策问题往往是多步决策问题，每走一步选择一个决策方案，下一步的决策取决于上一步的决策及其结果。因而是多阶段决策问题。这类问题一般不便用决策表来表示，常用的方法是决策树法。

决策树法是以图解方式分别计算各策略（行动方案）在不同状态下的期望收益值，然后通过比较作出决策。2024/11/720绘制□表示决策点，由它引出的分支为行动方案分支，分支的个数反映了可能的行动方案数。O表示状态点，从它引出的分支称为概率分支，每条分支的上面表明了自然状态及其出现的概率，概率分支数反映了可能的自然状态数。

表示决策终点，它旁边的数字表示每个方案在相应的自然状态下的收益值。2024/11/721决策树方案分枝概率分枝决策点

标决策期望收益值状态点

标方案期望收益值

决策终点

标每个方案在相应状态下面的收益值

概率分枝标自然状态的概率2024/11/722计算反向计算，从右向左分别计算各方案的期望收益值，并将结果标在相应的方案节点的上方。比较这些期望收益值的大小，选择最大的为最佳方案。自然状态损益值（万元）行动方案较高S1一般S2较低S3很低S4新建自动线A18542-15-40改建生产线A26040-10-35原有车间生产A340259-502024/11/72340259-506040-35-10新建自动线改建自动线原有车间生产需求量较高S1(0.3)需求量一般S2(0.4)需求量较低S3(0.2)需求量很低S4(0.1)需求量较高S1(0.3)需求量一般S2(0.4)需求量较低S3(0.2)需求量很低S4(0.1)1A2A3A18542-40-15需求量较高S1(0.3)需求量一般S2(0.4)需求量较低S3(0.2)需求量很低S4(0.1)①计算每个状态的期望收益。35.328.528.835.32024/11/724总结从左到右画决策树。从右到左计算O处计算期望收益值□处比较大小2024/11/725例4某公司需要在是否引进国外生产线问题上进行决策，即有引进国外生产线和不引进国外生产线两种方案。在引进国外生产线情况下，有产量不变和产量增加两种生产方案。在不引进国外生产线情况下，产量不变。该产品再生产6年，6年内跌价的概率为0.2，保持原价的概率为0.5，涨价的概率为0.3，有关数据如表所示。试用决策树法进行决策。损益值状态（万元）方案跌价原价涨价P(S1)=0.2P(S2)=0.5P(S3)=0.3引进生产线产量不变-25080200产量增加-300100300不引进生产线产量不变-20001502024/11/72612产量不变产量增加引进生产线不引进生产线4原价(0.5)涨价(0.3)跌价(0.2)-25080200原价(0.5)涨价(0.3)跌价(0.2)-300100300跌价(0.2)05原价(0.5)涨价(0.3)-20001503①计算每个状态的期望收益。②进行比较，并剪枝。5080805802024/11/727贝叶斯（ThomasBayes1702-1763，英国数学家）信息的价值若决策者掌握了全信息，就会给决策者带来额外的收益，这个额外的收益就是全信息的价值。全信息的价值来源于决策者总能作出正确的决策，而从不后悔，在这种情况下，决策者的期望收益称为全信息期望收益

EPPI（

EMV*）。它是获得完全信息后最优决策的期望收益.7.4贝叶斯决策2024/11/728对例1

较高S1一般S2较低S3很低S4EMV新建自动线A18542-15-4035.3改建生产线A26040-10-3528.5原有车间生产A340259-5028.8概率0.30.40.20.1EPPI=85*0.3+42*0.4+9*0.2+(-35)*0.1=40.6全信息的价值EVPI=EPPI-EMV*要求进行预测的费用EVPI，否则预测投资无实际上的经济价值。全情报价值应为预测获得信息所付出的代价之上限。对例1，EVPI=40.6-35.3=5.32024/11/729例5（练习）自然状态损益值（万元）行动方案需求量大S1P(S1)=0.3需求量一般S2P(S2)=0.5需求量小S3P(S3)=0.2大批生产A12014-2中批生产A2121710小批生产A3810122024/11/730贝叶斯决策第一步：由以往经验和资料获取状态发生的先验概率。先验概率：决策者收集、整理、加工获得。第二步：通过各种手段获得各状态下各试验事件发生的条件概率，利用贝叶斯定理计算出各状态的后验概率。后验概率：决策者通过抽样或试验等手段收集到的有关状态的信息第三步：用后验概率代替先验概率进行决策分析。2024/11/731条件概率在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率，记为P(B)P(AB)P(A|B)=

事件A

B及其概率P(A

B)事件B及其概率P(B)事件A事件B一旦事件B发生2024/11/732概率的乘法公式设A、B为两个事件，若P(B)>0，P(A)>0，有条件概率公式，则P(AB)=P(B)P(A|B)，或P(AB)=P(A)P(B|A)。因此得P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)。可以立刻导出贝叶斯定理公式：P(A|B)=(P(B|A)*P(A))/P(B).(阅读内容)例如：一座别墅在过去的20年里一共发生过2次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平均每周晚上叫3次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？

解：我们假设A事件为狗在晚上叫，B为盗贼入侵，则P(A)=3/7，P(B)=2/(20·365)=2/7300，P(A|B)=0.9，按照公式很容易得出结果：P(B|A)=0.9*(2/7300)/(3/7)=0.00058.2024/11/733全概率公式设事件S1，S2，…，Sn

两两互斥，S1+S2+…+

Sn=

（满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组），且P(Si)>0

(i=1,2,…,n)，则对任意事件B，有把事件S1，S2，…，Sn

看作是引起事件B发生的所有可能原因，事件B能且只能在原有S1，S2，…，Sn

之一发生的条件下发生，求事件B

的概率就是上面的全概率公式。2024/11/734贝叶斯公式（一般情形）贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因。设n个事件S1，S2，…，Sn

两两互斥，S1+S2+…+

Sn=

(满足这两个条件的事件组称为一个完备事件组)，且P(Si)>0(i=1,2,…,n)，则全概率自学内容例：高射炮向敌机发射三发炮弹，每弹击中与否相互独立且每发炮弹击中的概率均为0.3，又知敌机若中一弹，坠毁的概率为0.2，若中两弹，坠毁的概率为0.6，若中三弹，敌机必坠毁。求(1)敌机坠毁的概率;(2)若敌机坠毁了，求敌机被击中一弹的概率。解：设事件B=“敌机坠毁”；Ai=“敌机中弹”；i=0,1,2,3实际上，我们从题目知道应该是A0,A1,A2,A3构成完备事件组，但是敌机坠毁只和A1,A2,A3有关。先验概率：2024/11/737

SB需求量大S1需求量一般S2需求量小S3销路好B1

0.70.50.2销路差B20.30.50.8例6对于例5所描述的问题，决策者为了更好的进行决策，决定花费1万元请咨询公司调查该新产品的市场需求情况。调查结果为：在需求量大的情况下，该产品的销路好与不好的概率分别为0.7和0.3；在需求量一般的情况下，该产品的销路好与不好的概率均为0.5；在需求量小的情况下，该产品的销路好与不好的概率分别为0.2和0.8。---已知先验概率问：（1）根据得到的调查结果如何进行决策。（2）花费1万元进行调查是否合算？p(B2|S1)p(B1|S1)联合概率表

SB需求量大S1需求量一般S2需求量小S3totals销路好B1

0.7*0.30.5*0.50.2*0.20.5销路差B20.3*0.30.5*0.50.8*0.20.5totals0.30.50.2自然状态损益值（万元）行动方案需求量大S1P(S1)=0.3需求量一般S2P(S2)=0.5需求量小S3P(S3)=0.2大批生产A12014-2中批生产A2121710小批生产A3810122024/11/739在信息为销路好时2024/11/740在信息为销路差时2024/11/741销路好时的各方案的期望收益为

2024/11/742销路差时的各方案的期望收益为：

A12024/11/743样本信息的最大期望收益为

ERI＝P(B1)E*(B1)+P(B2)E*(B2)=0.5×15.24+0.5×13.86=14.55样本信息的价值为EVSI＝ERI－E*=14.55-14.1=0.45用1万元的费用获取新的信息，远远超过其信息的价值本身，因此花费这笔咨询费不合算。不咨询时的最大期望收益（贝叶斯决策）作业：假设某公司考虑在地区1或地区2销售某一新产品，具体如下收益（百万）高需求H(p=0.3)低需要L(p=0.7)A14-2A23-1现公司考虑是否委托咨询公司进行市场调研，调研费用为0.09百万。已知调查结果有两种：市场偏爱该产品（F）和不偏爱（U）。并会得到以下概率：P(F|H)=0.47P(U|H)=0.53P(F|L)=0.08P(U|L)=0.92问公司是否该委托？

H（高需求）L（低需求）totalsF0.47*0.3＝0.1410.08*0.7＝0.0560.197U0.53*0.3=0.1590.92*0.7=0.6440.803totals0.30.7联合概率表A1A2不委托委托,0.09H,0.3L,0.7A1A2A1A2H,0.716L,0.284H,0.716L,0.284H,0.198L,0.802H,0.198L,0.802F,0.197U,0.8034-234343-1-2-1-2-1H,0.3L,0.7-0.20.22.2961.8542.296-0.802-0.2080.2-0.2080.28550.22024/11/7477.5效用理论及其应用

、效用概念的引入前面介绍风险型决策方法时，提到可根据期望益损值（最大或最小）作为选择最优方案的原则，但这样做有时并不一定合理。请看下面的例子：例6

设有两个决策问题：问题1：方案A1：稳获100元；方案B1:用掷硬币的方法，掷出正面获得250元，掷出反面获得0元。2024/11/748当你遇到这类问题时，如何决策？大部分会选择A1。但不妨计算一下其期望值：Y10250P(Y1=k)1/21/2方案B1的收益为随机变量Y1。则其期望收益为：于是，根据期望收益最大原则，应选择B1，但这一结果很难令实际决策者接受。此乃研究效用函数的初衷。例7（赌一把）一个正常的人，遇到“赌一把”的机会。情况如下面的树，问此人如何决策？正常人B赌不赌45元掷出正面P=0.5-10元P=0.50100元掷出反面10元对绝大部分人来说，只要兜里有10元钱，又不急用的话，就选择“赌”。因为此时“赌”的平均收益为：以上例子说明：⑴相同的期望益损值（以货币值为度量）的不同随机事件之间其风险可能存在着很大的差异。即说明货币量的期望益损值不能完全反映随机事件的风险程度。⑵同一随机事件对不同的决策者的吸引力可能完全不同，因此可采用不同的决策。这与决策者个人的气质、冒险精神、经济状况、经验等等主观因素有很大的关系。⑶即使同一个人在不同情况下对同一随机事件也会采用不同的态度。现假设这个人是个穷人，10元钱是他一家三天的口粮钱，而且他仅有10元钱。这时，他宁肯用这10元钱来买全家三天的口粮，不致挨饿，而不愿去冒投机的风险。当我们以期望益损值（以货币值为度量）作决策准则时，实际已经假定期望益损值相等的各个随机事件是等价的，具有相同的风险程度，且对不同的人具有相同的吸引力。但对有些问题这个假定是不合适的。因此不能采用货币度量的期望益损值作决策准则，而用所谓“效用值”作决策准则。效用：度量决策者对风险的态度、对某种事物的倾向或对某种后果的偏爱等主观因素强弱程度的数量指标。一般来说，损益值大的，其相应的效用值也越大，但二者的关系一般不是线性关系。2024/11/752例7

某工程投资项目有A、B两种方案，A方案成功与失败的概率分别是0.9和0.1，B方案成功与失败的概率分别是0.6和0.4，各方案在成功与失败条件下的损益情况如表所示，决策者应如何决策？自然状态行动方案成功失败期望收益A概率0.90.1132收益150-30B概率0.60.4220收益500-2002024/11/753效用函数的构造心理测试法函数拟合法2024/11/754对比提问法：设计两种方案A1，A2A1：无风险可得一笔金额x2A2：以概率P得一笔金额x3，以概率(1-P)损失一笔金额x1x1<x2<x3，u(xi)表示金额xi的效用值。在某种条件下，决策者认为A1，A2两方案等效。P·U(x1)+(1-P)U(x3)=U(x2)(

)P,x1,

x2,

x3为4个未知数。已知其中3个可定第4个。2024/11/755可以设已知x1,

x2,

x3，提问确定P。一般用改进的V－M法，即固定P=0.5,每次给出x1,

x3，通过提问定x2，用(*)求出U(x2)。2024/11/756例8

投资者甲面临一个风险投资项目决策问题。该投资项目的最大收益为300万元，最小收益为-50万元，试用V-M法确定该投资者的效用曲线。解：首先假定u(300)=1，u(-50)=0。决策者甲2024/11/757决策者乙2024/11/7581.0损益值0.750.50.25-5050100150200250300中间型保守型投资者乙效用曲线风险型投资者甲效用曲线效用值2024/11/759例9

某公司对开发A、B两种新产品进行决策。已知新产品的销路好与销路差的概率分别为0.7和0.3，产品A在销路好与销路差的情况下的收益分别为300万元和-50万元，产品B在销路好与销路差的情况下的收益分别为200万元和-20万元。试分别用例8中投资者甲和投资者乙的效用曲线进行决策。2024/11/760解：若用期望值准则进行决策，有即方案A为优选方案。

用投资者甲的效用曲线进行决策，有即方