高中数学第六章计数原理61分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2课时两个计数原理的应用课后习题新人教A版选择性

第2课时两个计数原理的应用

A级必备知识基础练

1.如图所示,在A,3间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通,现发现A,8间电

路不通,则焊接点脱落的不同情况有（）种.

A.9B.11C.13D.15

2.从0,1,2,…,9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点（a,6）的坐标,能够确

定不在才轴上的点的个数是（）

A.100B.90C.81D.72

3.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少1个，至多5个,则不同的分法共有（）

A.4种B.5种C.6种D.7种

4.某城市的电话号码由七位升为八位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（）

A.9X8X7X6X5X4X3X2

B.8X97

C.9X107

D.8.1X107

5.某县总工会利用业余时间开设太极、书法、绘画三个培训班，甲、乙、丙、丁四人报名参加，每

人只报名参加一项,且甲、乙不参加同一项,则不同的报名方法种数为.

6.已知集合2,3,4）,集合A,8为集合J/的非空子集,若对Vx^A,y£B,恒成立,则称（4B）

为集合.加的一个“子集对”，则集合时的“子集对”共有个.

7.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1个,其中甲工程队不能承建1

号子项目，则不同的承建方案有种.

8.某文艺小组有20人,其中会唱歌的芍14人,会跳舞的有10人,从中选出会唱歌与会跳舞的各1

人参加演出，且既会唱歌乂会跳舞的至多选1人,有多少种不同的选法?

9.在3000到8000之间有多少个无重复数字的奇数?

B级关键能力提升练

10.一植物园的参观路径如图所示,若要全部参观并且路线不重复,则不同的参观路线共有（）

A.6种B.8种C.36种D.48种

11.（多选题）已知集合A=[-1,2,3,4）,m,〃£力,则对于方程式+日=1的说法正确的是（）

mn

A.可表示3个不同的圆

B.可表示6个不同的椭圆

C.可表示3个不同的双曲线

D.表示焦点位于x轴上的椭圆有3个

12.现有某类病毒记作K匕,其中正整数m,〃（勿W7,〃W9）可以任意选取,则不同的选取种数

为,m,n都取到奇数的概率为.

13.（1）从5种颜色中选出3种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每一个顶点涂一种颜色,并使同

,条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数;

⑵从5种颜色中选出4种颜色,涂在一个四棱锥的五个顶点上,每个顶点上涂一种颜色,并使同一

条棱上的两个顶点异色,求不同的涂色方法数.

C级学科素养创新练

14.现有五种不同的颜色,要对图形中的四个部分进行着色,要求有公共边的两块不能用同一种颜色,

不同的涂色方法有种.

15.称子集AQg{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}是“好的”，如果它有下述性质一一“若2kGA,则

2卜1£力且2人4W力(〃£N)”(空集和V都是“好的")，则"中有多少个包含2个偶数的“好的”

子集？

第2课时两个计数原理的应用

l.c按照可能脱落的焊接点的个数分类讨论：

若脱落1个,则有1,4,共两种情况；

若脱落2个，则有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情况；

若脱落3个,则有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种情况；

若脱落4个,则有(1,2,3,4),共1种情况.

综上共有24抬*1=13种情况.

故选C.

2.C分两步，第1步选也因为。W0,所以有9种不同的选法;第2步选为因为&W6,所以也有9种

不同的选法.由分步乘法计数原理知共有9X9W1(个)点满足要求.

3.A三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5,每堆至少1个，只有2种分法，即1和4,2

和3两种方法.

三堆中“最多”的一堆为4个,其他诙堆总和为6,每堆至少1个，只有2种分法,即2和4,3和3两

种方法.

所以不同的分法共有2/2力(种).

4.D电话号码是七位数字时，该城市可安装电话9X10,部，同理升为八位时为9X10’部，所以可增

加的电话部数是9X1O'_9X1()6次.1X107.

5.54甲有三个培训可诜，甲、乙不参加同一项，所以乙有两个培训可诜，丙、丁各有三个培训可诜,

根据分步乘法计数原理,不同的报名方法种数为3X2X3X3巧4.

6.17当4=⑴时,5有2$-lW(种)情况;

当A={2}时,8有22-1知种)情况；当力二⑶时,8有1种情况;当力={1,2}时,8有2。-13(种)情况；当

力={1,3},{2,3},{1,2,3}时,8均有1种情况，所以集合必的“子集对”共有7+3月均+3=17(个).

7.96完成承建任务可分五步.第1步,安排1号子项目，有4种不同的承建方案;第2步,安排2号

子项目，有4种不同的承建方案;第3步,安排3号子项目，有3种不同的承建方案;第4步,安排4

号子项目，有2种不同的承建方案;第5步,安排5号子项目，有1种承建方案.由分步乘法计数原理

得,共有4X4X3X2XIq6(种)不同的承建方案.

8.解易知既会唱歌又会跳舞的有4人,只会唱歌的有10人,只会跳舞的有6人.第1类,首先从只会

唱歌的10人中选出1人,有10种不同的选法,从会跳舞的10人中选出1人,有1。种不同的选法，

共有10X10=100（种）不同的选法;第2类,从既会唱歌又会跳舞的4人中选1人,再从只会跳舞的6

人中选1人,共有4X6=24（种）不同的选法.所以一共有100・24=124（种）不同的选法.

9.解分两类:一类是以3,5,7为首位的四位奇数,可分三步完成:先排千位有3种方法,再排个位有4

种方法,最后排中间的两个数有8XI种方法,所以满足要求的数有3X4X8X7=672（个）.另一类是

首位是4或6的四位奇数,也可分三步完成,满足要求的数有2X5X8X7/60（个）.

由分类加法计数原理得,满足要求的数共有672巧60=1232（个）.

10.D选择参观路线分步完成:第一步选择三个“环形”路线中的一个，有3种方法，再按逆时针或

顺时针方向参观有2种方法;第二步选择余下两个“环形”路线中的一个，有2种方法，也按逆时针

或顺时针方向参观有2种方法;最后一个“环形”路线，也按逆时针或顺时针方向参观有2种方法.

由分步乘法计数原理知,共有3X2X2X2X2N8（种）方法,故选D.

11.ABD当m=n第时,方程不+（1表示圆,故有3个,选项A正确；当m=An且m,nX）吐方程高+

表示椭圆,焦点在x,轴上的椭圆分别有个，故有（个），选项正确,正确；当丽《）

-n-1y33X2WBD

时，方程式+”刁表示双曲线，故有3*1丹X3=6个,选项C错误.

mn

12.63因为正整数能〃满足〃忘7,后9,所以（/〃,〃）所有可能的取值有7X913（种），其中如〃

63

都取到奇数的情况有4X520（种），因此所求概率为号.

13.解⑴如图，由题意知，四棱锥ST发力的顶点S,48所涂色互不相同，则4。必须颜色相同,B,D

必须颜色相同，所以共有5X4X3XIXI-60（种）不同的涂色方法.

⑵（方法一）由题意知，四棱锥S-的顶点S,4,8所涂色互不相同，则A,C可以颜色相同,B,〃可

以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同.所以,先从两组中选出•组涂同一颜色,有2种选法

（如:8,〃颜色相同）；再从5种颜色中，选出四种颜色涂在S,A,B,。四个顶点上,有5X4X3X

2=120（种）不同的涂色方法.最后〃涂〃的颜色,根据分步乘法计数原理,共有2X12UN4U（种）不同

的涂色方法.

（方法二）分两类.

笫1类,。与力颜色相同.由题意知，四棱锥ST腼的顶点S,A,8所涂色互不相同,它们有5X4X

36）（种）不同的涂色方法.共有5X4X3XIX2=l20（种）不同的涂色方法.第2类,C与力颜色不同.

由题意知，四棱锥ST阅9的顶点5,48所涂色互不相同,它们有5X4X3W0（种）不同的涂色方法.

共有5X4