新人教版高中数学必修第二册第十章概率教案

频率与概率

教学重难点教学目标核心素养

在具体情境中，了解随机事件发

生的不确定性和频率的数学抽象、数学运

频率与概率

稳定性，了解概率的意义以及频算

率与概率的区别

概率的意义解释会用概率的意义解释生活中的实直观想象、数学建

实例例模

随机模拟会用随机模拟的方法估计概率数学建模

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.什么是频率的稳定性？

2.频率与概率之间有什么关系？

3.随机模拟的步骤是什么？

二、基础知识

频率的稳定性

一般地，随着试验次数〃的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发

生的频率%(A)会逐渐稳定王事件A发生的概率尸(A).我们称频率的这个性

质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率力(A)估计概率尸(A).

名师点拨

频率与概率的区别与联系

名称区别联系

本身是随机的，在试验之前

(1)频率是概率的近似值，

无法确定，大多会随着试验

随着试验次数的增加，频率

频率次数的改变而改变.做同样

会越来越接近概率

次数的重复试验，得到的频

(2)在实际问题中，事件的

率值也可能会不同

概率通常情况下是未知的，

是一个［0,1］中的确定值，不

概率常用频率估计概率

随试验结具的改变而改变

三、合作探究

探究点口X

由频率估计随机事件的概率

例1：(1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下:

［11.5,15.5)2；［15.5,19.5)4；［19.5,23.5)9；

[23.5,27.5)18；[27.5,31.5)II；[31.5,35.5)12；

[35.5,39.5)7；[39.5,43.5J3.

根据样本的频率分布，估计数据落在[31.5,43.5]内的概率约是()

A6B-3

-12

C，2D.§

(2)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯

管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：

[500,[900,[1100,[1300,[1500,[1700,[1900,

分组

900)1100)1300)1500)1700)1900)+oo)

频数4812120822319316542

频率

①将各组的频率填入表中；

②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率.

【解】(1)选区由已知，样木容量为66,而落在［31.5,43.5］内的样木数为

221

12+7+3=22,故所求概率约为*=5

(2)①频率依次是0.048,0.121,0.208,0,223,0.193,0.165,0.042.

②样本中寿命不足1500小时的频数是48+121+208+223=600,

所以样本中寿命不足1500小时的频率是福=0.6.

即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为().6.

［规律方法］

随机事件概率的理解及求法

(1)理解：概率可看作频率理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件

发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时，频率越来越趋近于概率.当次

数足够多时，所得频率就近似地看作随机事件的概率.

(2)求法：通过公式(A)=拳=彳计算出频率，再由频率估算概率.

探究点团__________________________

概率的含义

例2：某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,那么，前9个病人都没有治愈，

第10个病人就一定能治愈吗？

【解】如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的

增加，有10%的病人能够治愈.对于一次试验来说，其结果是随机的，但治愈的

可能性是10%,前9个病人是这样，第10个病人仍是这样，可能治愈，也可能

不能治愈，被治愈的可能性仍是10%.

［规律方法］

对概率的正确理解

(1)概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事

件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某

一事件一定发生的比例.

(2)任何事件的概率都是区间［0,1］上的一个确定数，它度量该事件发生的

可能性，概率越接近于1,表明事件发生的可能性就越大；反过来，概率越接近

于0,表明事件发生的可能性就越小.

(3)小概率(概率接近于0)事件很少发生，但不代表一定不发生；大概率

(概率接近于1)事件经常发生，但不代表一定发生.

(4)必然事件M的概率为1,即P(M)=1；不可能事件N的概率为0,

即P(N)=0.

探究点@__________________________

游戏的公平性

例3：某校高二年级(1)(2)班准备联合举办晚会，组织者欲使晚会气氛热

烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一

人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负责表演一个节目.(1)班的文娱委员

利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示)，设计了一种

游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)

班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平？为什么？

由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6

种，为奇数的也有6种，所以（1）班代表获胜的概率P尸色斗⑵班代表获

胜的概率22=薯=/即P产尸2,机会是均等的，所以该方案对双方是公平的.

［变条件］在本例中，若把游戏规则改为自由转动两个转盘，转盘停止后，两

个指针指向的两个数字相乘，如果积是偶数，那么（1）班代表获胜，否则（2）

班代表获胜.游戏规则公平吗？为什么？

解：不公平.因为出现奇数的概率为而出现偶数的概率为得=£.

［反思归纳］

游戏公平性的标准及判断方法

（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是

否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平的.

（2）具体判断时，可以按所给规则，求出双方的获胜概率，再进行比较.

探究点囱______________________________

随机模拟法估计概率

例4：池州九华山是著名的旅游胜地.天气预报8月1日后连续四天，每天

下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0〜

9十个整数值中，假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨，6,7,8,9表示当天

不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：

9533952200187472001838795869328178902692

8280842539908460798024365987388207538935

9635237918059890073546406298805497205695

1574800832166470508067721642792031890343

据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（）

32

AA-4B5

1\「17

C.而D.而

【解析】在40组四位随机数中，。〜5的整数恰出现3次的四位数有16组，

故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为需=|.

【答案】B

［规律方法］

应用随机数估计概率的步骤

（1）明确随机数的范围及数字与试验结果的对应关系.

（2）产生随机数.

（3）统计试验次数N及所求事件包含的次数几

（4）计算？便可.

【课堂检测】

1.抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（）

A.正面向上的概率为0.48

B.反面向上的概率是0.48

C.正面向上的频率为0.48

D.反面向上的频率是0.48

解析：选C.因为抛掷一枚硬币100次，即为100次试验，正面向上这一事件

发生了48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为（）.48.

2.容量为20的样本数据，分组后的频数如卜表：

分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

频数234542

则样本数据落在区间［10,40）上的频率为（）

A.（）.35B.0.45

C.0.55D.0.65

9

解析：选B.在区间［10,40）的频数为2+3+4=9,所以频率为m=0.45.

3.某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%,则下列解释正确的是

)

A.明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨

B.明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨

C.明天本地降雨的机会是80%

D.以上说法均不正确

解析：选C.选项A,B显然不正确，因为80%是说降雨的概率，而不是说

80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%,故选C.

4.通过模拟试验，产生了20组随机数：

6830301370557430774044227884

2604334609526807970657745725

657659299768607191386754

如果恰有三个数在1,2,3,4,5,6中，则表示恰有三次击中目标，则四

次射击中恰有三次击中目标的概率约为（）

A.25%B.30%

C.35%D.40%

解析：选A.表示三次击中目标分别是3013,2604,5725,6576,6754,共

5组数，而随机数总共20组，所以所求的概率近似为磊=25%.

5.玲玲和倩倩下跳棋，为了确定谁先走第一步，玲玲决定拿一个飞镖射向

如图所示的靶中.若射中区域所标的数字大于3,则玲玲先走第一步，否则倩倩

先走第一步.这个游戏规则（填“公平”或“不公平”）.

解析：由已知得，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域

53

只有3个，所以玲玲先走的概率是、倩倩先走的概率是三所以不公平.

OO

答案：不公平

事件的相互独立性

【教学重难点】【教学目标】【核心素养】

相互独立事件的概念理解相互独立事件的数学抽象

概念及意义

能记住相互独立事件

概率的乘法公式；

相互独立事件同时发能综合运用互斥事件数学运算、数学

生的概念的概率加法公式建模

及独立事件的乘法公

式解题

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.事件的相互独立性的定义是什么？

2.相互独立事件有哪些性质？

3.相互独立事件与互斥事件有什么区别？

二、基础知识

1.相互独立的概念

设4,。为两个事件，若P（AB）=P（A）P（B）,则称事件4与事件8相互

独立.

2.相互独立的性质

若事件A与8相互独立，那么A与耳，了与旦，不与否也都相互独立.

■名师点拨（1）必然事件Q,不可能事件。都与任意事件相互独立.

（2）事件A,b相互独立的充要条件是0（45）=尸（A）P（B）.

三、合作探究

1.相互独立事件的判断

瞰口•个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A=｛—

个家庭中既有男孩又有女孩｝,8=｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情

形，讨论A与8的独立性：

（1）家庭中有两个小孩；

（2）家庭中有三个小孩.

【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为。=｛（男，男），（男，

女），（女，男），（女，女）｝,

它有4个基本事件，由等可能性知概率都为今

这时A={(男，女)，(女，男)},

B={(男，男)，(男，女)，(女，男)},

一={(男,女)，(女，男)},

131

于是尸(A)=2，P(B)=『尸(A8)=,

由此可知尸(AB/P(A)P(B),

所以事件A,8不相互独立.

(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为0={(男，

男，男)，(男，男，女)，(男，女,男)，(男，女,女)，(女，男，男)，(女，男，

女)，(女，女，男)，(女，女，女)}.

由等可能性知这8个基木事件的概率均为：，这时A中含有6个基木事件,

O

3中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件.

于是尸(A)=Z=T,P(B)=:=；,P(AB)=],

OOZO

3

显然有P(48)=\=尸(A)P(B)成立.

o

从而事件A与B是相互独立的.

犯倒园囹

判断两个事件是否相互独立的两种方法

(1)根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概

率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；

(2)定义法：通过式子尸(43)=尸(A)P(B)来判断两个事件是否独立,

若上式成立，则事件48相互独立，这是定量判断.

2.相互独立事件同时发生的概率

哂王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车

正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影

响.求：

(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.

【解】用4,B,。分别表示这三列火车正点到达的事件.

则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,

所以P(A)=0.2,P(B尸0.3,P(C)=0.1.

(1)由题意得A,8,。之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为

Pi=P(A8C)+P(ABC)+P(ABC)=

P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.2x0.7x0.9+0.8x0.3x0.9+0.8x0.7x0.1=0.398.

(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为

P2=1-P(ABO=1-P(A)P(B)P(C)

=1-0.2x0,3x0.1=0.994.

1.［变问法］在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率.

解：恰有一列火车正点到达的概率为

P3=P(ABC)+P(ABC)+P(A8O=P(A)P(8)P(C)+P(A)P(B)P(C)

+P(A)P(8)P(C)=0.8x0.3x0.1+0.2x0.7x0.1+0.2x0.3x0.9=0.092.

2.［变条件］若一列火车正点到达记10分，用d表示三列火车的总得分，求

P(长20).

解：事件“长20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正

点到达“，所以「(公20)=1一尸(480=1一尸(A)P(B)P(C)

=1-0.8x0.7x0.9=0.496.

E3四H3

与相互独立事件有关的概率问题的求解策略

明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都

发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.

一般地，已知两个事件4B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么：

(1)A,B中至少有一个发生为事件A+&

(2)A,B都发生为事件A8.

(3)A,B都不发生为事件AB.

(4)A,8恰有一个发生为事件AB+4B.

(5)A,B中至多有一个发生为事件AB+AB+AB.

它们之间的概率关系列表所示:

A,B互斥A,B相互独立

P(A+B)P(A)+P(B)1-P(A)P(B)

P(AB)0P(A)P(B)

P(AB)1-[P(A)+P(B)]P(A)P(B)

3.相互独立事件的综合应用

偏百本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租

车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小

时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）.有甲、乙两人独立来该租车点租

车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为今超过两

小时但不超过三小时还车的概率分别为看;两人租车时间都不会超过四小时.

（1）求甲、乙两人所付用车费用相同的概率；

（2）设4为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P4=4）和尸（^=6）的值.

【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分

别为京

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A,则尸（A）=卜打京；+3

卜得所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为得.

（2）P（f=4）=1x|+|x|+1x1=^,

P（『）=曷+别$

网陶团囹

概率问题中的数学思想

（1）正难则反.灵活应用对立事件的概率关系（尸（人）+「（1）=1）简化问题，

是求解概率问题最常用的方法.

（2）化繁为简.将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事

件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类（考虑加法公式转化为互斥事件）还

是分几步组成（考虑乘法公式转化为相互独立事件）.

（3）方程思想.利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程（组），

通过解方程(组)使问题获解.

四、课堂检测

1.如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么

两个指针同时落在奇数所在区域的概率是()

-21

C.gD.’

42

解析：选A.左边圆盘指针落在奇数区域的概率为右边圆盘指针落在

奇数区域的概率也为多所以两个指针同时落在奇数区域的概率为"，楙

1?一

2.己知A,8是相互独立事件，且P(A)=2，P(B)=y则P(AB)=

;P(AB)=.

1?

解析：因为P(A)=2，P(B)=y

-1-I

所以P(A)=2，P(B)=y

——111————111

所以P(AB)=P(A)P(B)=^X-=-,P(A8)=P(4)尸(B)=5X]=K

4xz4JKz

11

答--

m:66

3.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了

的号码不再重复，试求下列事件的概率：

(1)第3次拨号才接通电话；

(2)拨号不超过3次而接通电话.

解：设4=｛第i次拨号接通电话｝,，=1,2,3.

(1)第3次才接通电话可表示为工元A3,

-----9811

于是所求概率为P(AIA2A3)=7QXTXT=-7^.

(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为4+4A2+A1A2A3，

于是所求概率为P(A\+A1A2+A1A2A3)

=P(4)+P(AM2)+P(AIA2A3)

=±1=J_

一10十109十1098-10，

随机事件与概率

【第一课时】

【教学目标】

1.理解随机试验的概念及特点

2.理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间

3.理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念，并会判断某一事件的性

质

4.理解事件5种关系并会判断

【教学重难点】

1.随机试验

2.样本空间

3.随机事件

4.事件的关系和运算

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.随机试验的概念是什么？它有哪些特点？

2.样本点和样本空间的概念是什么？

3.事件的分类有哪些？

4.事件的关系有哪些？

二、基础知识

1.随机试验

(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.

(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行;

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个;

③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一

个结果.

2.样本点和样本空间

（1）定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样

本点的集合称为试验E的样本空间.

（2）表示：一般地，我们用。表示样本空间，用口表示样本点.如果一个

随机试验有〃个可能结果包,①2，…，5,则称样本空间。={①1，①2，…，（On]

为有限样本空间.

3.事件的分类

（1）随机事件：①我们将样本空间。的壬集称为随机事件，简称事件，并

把只包含一个样本点的事件称为基本事件.

②随机事件一般用大写字母4B,C,…表示.

③在每次试验中，当且仅当4中某个样本点出现时，称为事件A发生.

（2）必然事件：。作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中

总有一个样本点发生，所以。总会发生，我们称金为必然事件.

（3）不可能事件：空集。不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我

们称。为不可能事件.

名师点拨

必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况.

4.事件的关系或运算的含义及符号表示

事件的关系或运

含义符号表示

算

包含A发生导致B发生AQB

并事件（和事

A与3至少一个发生AU8或A+3

件）

交事件（积事

A与B同时发生AC1B或AB

件）

互斥（互不相

A与3不能同时发生

容）

4与8有且仅有一个发

互为对立ACI8=0,AUB=Q

生

名师点拨

（1）如果事件。包含事件人，事件人也包含事件8,即人且人2B,则

称事件A与事件8相等，记作A=8.

（2）类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件.例如，对于三个事

件A,B,C,4UBUC（或4+3+C）发生当且仅当4,B,C中至少一个发生，

418（1。（或A8C）发生当且仅当4,B,。同时发生.

三、合作探究

探究点②____________________________

事件类型的判断

例1：指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.

（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.

（2）出租车司机小李驾车通过儿个十字路口都将遇到绿灯.

（3）若x£R,则/+整1.

（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.

【解】由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事

件；（3）中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1,两

次朝上面的数字之和最小是2,不可能小于2,所以（4）中事件不可能发生，是

不可能事件.

［规律方法］

判断事件类型的思路

要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条

件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定

发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.

探究点团____________________________

样本点与样本空间

例2：同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为右转盘②得到

的数为y,结果为（/y）.

（1）写出这个试验的样本空间;

(2)求这个试验的样本点的总数；

(3)"％+y=5”这一事件包含哪几个样本点？““3且呢？

(4)“孙=4”这一事件包含哪几个样本点？“x=y”呢？

【解】⑴。={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,

3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,

4)}.

(2)样本点的总数为16.

(3)“x+)，=5”包含以下4个样本点：(1,4),(2,3),(3,2),(1,4)；

“x<3且k>1"包含以下6个样本点：(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,

3),(2,4).

(4)“孙=4”包含以下3个样本点：(1,4),(2,2),(4,1)；“x=)，”

包含以下4个样本点：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).

［规律方法］

确定样本空间的方法

(1)必须明确事件发生的条件；

(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机

会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.

探究亶__________________________

事件的运算

例3：盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件4={3个

球中有1个红球2个白球},事件8={3个球中有2个红球1个白球},事件C=

{3个球中至少有1个红球},事件。={3个球中既有红球又有白球}.

求：(1)事件。与4、8是什么样的运算关系？

(2)事件。与A的交事件是什么事件？

【解】(1)对于事件。，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1

个白球，故O=AU8.

(2)对于事件C,可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球

或3个均为红球，故CfU=A

互动探究

［变条件、变问法］在本例中，设事件£={3个红球},事件/={3个球中至

少有一个白球},那么事件。与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什

么？

解；由事件。包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3

个红球三种情况，故AUC,BGC,FCC,所以C=AUBUC,而事件尸包括的可

能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以cn/={i个红

球2个白球，2个红球1个白球}=D

［规律方法］

（1）利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，

分析并利用这些结果进行事件间的运算.

（2）利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可

能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.

探究^^包______________

互斥事件与对立事件的判定

例4：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判

断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.

（1）恰有1名男生与恰有2名男生；

（2）至少有1名男生与全是男生；

（3）至少有1名男生与全是女生；

（4）至少有1名男生与至少有1名女生.

【解】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互

斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.

（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它

们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.

（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，

所以它们不是互斥事件.

（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们

互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.

（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名另生”与“至少有1

名女生“同时发生，所以它们不是互斥事件.

［规律方法］

（1）包含关系、相等关系的判定

①事件的包含关系与集合的包含关系相似；

②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生.

（2）判断事件是否互斥的两个步骤

第一步，确定每个事件包含的结果；

第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个

事件不互斥，否则就是互斥的.

（3）判断事件是否对立的两个步骤

第一步，判断是互斥事件；

第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立.

【课堂检测】

1.下列事件：

①如果a>b,那么Z?>0；

②任取一实数a（a>0且aRl）,函数y=lo的r是增函数；

③某人射击一次，命中靶心；

④从盛有一红、二白共三个球的袋子中，摸出一球观察结果是黄球.

其中是随机事件的为（）

A.①②B.③©

C.①④D.②③

解析：选D.①是必然事件；②中々>1时，y=logai单调递增，0<a<\时，y

=lo时单调递减，故是随机事件；③是随机事件；④是不可能事件.

2.（2019•四川省攀枝花市教学质量监测）从含有10件正品、2件次品的12

件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（）

A.3件都是正品B.3件都是次品

C.至少有1件次品D.至少有1件正品

解析：选D.从10件正品，2件次品，从中任意抽取3件，

A：3件都是正品是随机事件，

B：3件都是次品不可能事件，

C：至少有1件次品是随机事件，

D：因为只有2件次品，所以从中任意抽取3件必然会抽到正品，即至少有

1件是正品是必然事件.故选D.

3.（2019.广西钦州市期末考试）抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”

为事件A,则A的对立事件是（）

A.至多抽到2件次品B.至多抽到2件正品

C.至少抽到2件正品D.至多抽到1件次品

解析：选D.因为“至少拍到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目

至少有2个，所以A的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1个.故

选D.

4.写出下列试验的样本空间：

(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局);

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数.

解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；

(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,L

2,3,4,不可能再有其他结果.

答案：(1)0=｛胜，平，负｝(2)。=｛0,1,2,3,4)

【第二课时】

【教学目标】

1.了解基本事件的特点

2.理解古典概型的定义

3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题

【教学重难点】

1.基本事件

2.古典概型的定义

3,古典概型的概率公式

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1.古典概型的定义是什么？

2.古典概型有哪些特征？

3.古典概型的计算公式是什么？

二、基础知识

1.古典概型

具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简

称古典概型.

(1)有限性：样本空间的样本点只有前蚯；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性祖箜.

名师点拨

古典概型的判断

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有

限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.

下列三类试验都不是古典概型：

①样本点个数有限，但非等可能.

②样本点个数无限，但等可能.

③样本点个数无限，也不等可能.

2.古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含〃个样本点，事件A包含

其中的攵个样本点，则定义事件A的概率

/、kn(A)

P(A)=-=-.

其中，〃(A)和〃(0)分别表示事件4和样本空间。包含的样本点个数.

三、合作探究

探究点④__________________________

样本点的列举

例1：一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次

摸出2个球.

(1)共有多少个样本点？

(2)“2个都是白球”包含几个样本点？

【解】(1)法一：采用列举法.

分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则样本点如下：(1,2),(1,

3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10

个(其中(1,2)表示摸到1号，2号球).

法二：采用列表法.

设5个球的编号分别为由b,c,d,e，其中力，c为白球，d,e为黑球.列

表如下:

abcde

a(a,b)(mc)(a,d)(a,e)

b（。，a）(b,c)(b,d)(b,e)

C(c,a)b)(c,d)(c,e)

d(d,a)(d,b)(d,c)(d,e)

e(e,a)(e,b)(e,c)(e,d)

由于每次取2个球，每次所取2个球不相同，而摸到",a）与（mb）是

相同的事件，故共有10个样本点.

（2）法一中“2个都是白球”包括（1,2）,（1,3）,（2,3）,共3个样本

点,法二中“2个都是白球”包括（小b）,（b,c）,（a,c）,共3个样本点.

［规律方法］

样本点的三种列举方法

（1）直接列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简

单的试验问题.

（2）列表法：将样本点用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清样本点

的总数，以及要求的事件所包含的样本点数.列表法适用于较简单的试验的题目,

样本点较多的试验不适合用列表法.

（3）树状图法:树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，

树状图法便于分析样本点间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析

问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目.

探究__________________________

古典概型的概率计算

例2：（1）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、

紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩

笔的概率为（）

A.1B.|

C.|D.|

（2）（2018.高考江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选

2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为.

【解析】（1）从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：

（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），

（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）.而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有

(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率。=是4背2

(2)记2名男生分别为A,B,3名女生分别为小b,c,则从中任选2名

学生有AB,AafAb,Ac,Ba、Bb,Be,ab,acfbe,共10种情况，其中恰好选

3

中2名女生有而，ac,be,共3种情况，故所求概率为宜.

3

【答案】⑴c⑵fg

［规律方法］

求古典概型概率的步骤

(1)判断是否为古典概型.

(2)算出样本点的总数几

(3)算出事件A中包含的样本点个数也

VY1

(4)算出事件A的概率，即P(A)=~

在运用公式计算时，关键在于求出加，几在求〃时，应注意这〃种结果必须

是等可能的，在这一点上比较容易出错.

探究点@__________________________

数学建模——古典概型的实际应用

例3：已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.

现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示，现从中随机

抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.

(i)试用所给字母列举巴所有可能的抽取结果；

(ii)设”为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概

率.

【解】(1)由已知，甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：2：2,

由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级

的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人.

(2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为

(A,B),(A,C),(A,。),(A,E),(4,F),(A,G),(B,C),(B,

D),(8,E),(6,F),(3,G),(C,£»,(C,E),(C,尸)，(C,G),(。，

E),(£>,F),(D,G),(£,F),QE,G),(F,G),共21种.

(ii)由(1)设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级

的是E,来自丙年级的是凡G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学

来自同一年级的所有可能结果为(4,B),(A,C),(B,C),(D,E),(F,G),

共5种.所以事件M发生的概率尸(M)=焉.

［规律方法］

如何建立概率模型(古典概型)

(1)在建立概率模型(古典概型)时，把什么看作一个样本点(即一个试

验结果)是人为规定的.我们只要求每次试验有且只有一个样本点出现.对于同

一个随机试验，可以根据需要(建立概率模型的主观原因)建立满足我们要求的

概率模型.

(2)注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①样本点的有限性；②每

个样本点发生的可能性相等.

(3)求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题.

【课堂检测】

1.下列是古典概型的是()

①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小.

②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率.

③近三天中有一天降雨的概率.

④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.

A.①©③④B.①©④

C.®®®D.①③④

解析：选B.①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和

等可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型.

2.甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加，若每人必须参加

并且仅能参加一个学习小组(两人参加各个小组的可能性相同)，则两人参加同

一个学习小组的概率为()

A-3B4C-5D6

解析：选A.甲乙两人参加学习小