专练05 三角形中的最值问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练（教师版含解析）

专练05三角形中的最值问题

1.几何探究题

(1)发现：在平面内，若AB=a,BC=b，其中b>a.

当点A在线段8c上时，线段AC的长取得最小值，最小值为：

当点A在线段C8延长线上时，线段4c的长取得最大值，最大值为.

(2)应用：点A为线段8c外一动点，如图2,分别以AB、AC为边，作等边△和等边△ACE,连接

CD、BE.

①证明：CD=BE；

②若BC=5,AB=2,则线段BE长度的最大值为.

(3)拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点8的坐标为(7,0)，点P为线AB外

一动点，且P4=2,PM=PB,々BPM=90。.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

【答案】(I)：•当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为BC-AB,

VBC=b,AB=a,

.*.BC-AB=b-a,

当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为BC+AB,

VBC=b,AB=a,

/.BC+AB=b+a,

故答案为：b-a,b+a；

(2)解：①CD=BE,理由：;△ABD与△ACE是等边三角形，AAD=AB,AC=AE,

ZBAD=ZCAE=60°,ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即NCAD=NEAB,CAD与^EAB中，

AD=AB

{LCAD=LEAB,**•ACAD=AEAB(SAS),/.CD=BE；7

AC=AE

②・・•线段BE长的最大值二线段CD的最大值，

工由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上,

•••最大值为BE=CD=BD+BC=AB+BC=5+2=7；

故答案为：7.

⑶解：最大值为5+2V2;

/.P(2-V2.V2).

图1

•.•将△APM绕着点P顺时针旋转90。得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形,

；.PN=PA=2,BN=AM,

的坐标为(2,0),点B的坐标为(7,0),

/.AO=2,OB=7,

AB=5,

.•.线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，

•••当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，

最大值=AB+AN,

VAN=V2AP=2V2，

.,•最大值为5+2V2:

如图2,过P作PEJ_x轴于E,

•••△APN是等腰直角三角形,

.♦.PE=AE=V2,

AOE=OA-AE=2-V2,

AP(2-&，V2).

2.阅读下列材料，解决提出的问题:

09(3)

【最短路径问题】

如图(1),点A,B分别是直线1异侧的两个点，如何在直线1上找到一个点C,使得点C到点A,点B的距

离和最短？我们只需连接AB,与直线1相交于一点，可知这个交点即为所求.

如图(2),如果点A,B分别是直线1同侧的两个点，如何在1上找到一个点C,使得这个点到点A、点B的

距离和最短？我们可以利用轴对称的性质，作出点B关于的对称点B，，这时对于直线1上的任一点C,都

保持CB=CB"从而把问题(2)变为问题(1).因此，线段AB，与直线1的交点C的位置即为所求.

为了说明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C，，连接AC,BC,B'C'.

因为AB'WAC'+C'B',.'.AC+CBWAC'+C'B,即AC+BC最小.

(1)【数学思考】

材料中划线部分的依据是.

(2)材料中解决图(2)所示问题体现的数学思想是.(填字母代号即可)

A.转化思想B.分类讨论思想C.整体思想

(3)【迁移应用】

如图3,在RtAABC中，NC=90。，NBAC=15。，点P为C边上的动点，点D为AB边上的动点，若AB

=6cm,求BP+DP的最小值.

【答案】(1)两点之间线段最短或者三角形任何两边的和大于第三边

⑵A

(3)解：如图，作点B关于点C的对称点B，，连接ABI作BH_LAB，于H.

作点D关于AC的对称点D，，则PD=PDl

:.PB+PD=PB+PD',

根据垂线段最短可知，当点D，与H重合，B,P,D共线时，PB+PD的最小值=线段BH的长,

VBC=CB\AC1BB\

AAB=AB\

AZBAC=ZCAB/=15°,

AZBAH=30°,

在RQABH中，VAB=3cm,ZBAH=30°,

，BH=-AB=3cm,

2

；.PB+PD的最小值为3cm

3.如图

(1)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分NMON,PC_LOM于C,PB_LON于B,

则PBPC（填“><”或“="）；

(2)探索：如图2,小明发现，在△ABC中，AD是NBAC的平分线，则①=出，请帮小明说明原因.

S^ADCAC

(3)应用：如图3,在小区三条交叉的道路AB,BC,CA上各建一个菜鸟驿站D,P,E,工作人员每天来回

的路径为P-D-E-P,

①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？

②若NBAC=30。，SAABC=10,BC=5,则PD+DE+PE的最小值是多少？

【答案】(D：OP平分NMON,PC_LOM于C,PB_LON于B,

；.PB=PC

(2)解：理由：过点D作DELAB于E,DFLAC于F

VAD是NBAC的平分线，

，DE=DF

•SAABD_|DEAB_AR

••一1—;

SAADC2DFACAC

(3)解：①过点A作APLBC于P,分别作点P关于AB、AC的对称点Pl、P2,连接P1P2分别交AB、

AC于D、E,连接PD、PE、API、AP2,

由对称的性质可得AP1=AP=AP2,DP1=DP,EP2=EP,

.,.PD+DE+PE=DP1+DE+EP2=P1P2,根据两点之间，线段最短和题线段最短，即可得出此时

PD+DE+PE最小,即P1P2的长

即当AP_LBC于P时，PD+DE+PE最小；

(2)VSAABC=10,BC=5,

:.-BCAP=10

2

解得：AP=4

由对称的性质可得AP1=AP=AP2=4,DP1=DP,EP2=EP,NDAP1=NDAP,ZEAP2=ZEAP

・・・ZDAP1+ZEAP2=ZDAP+ZEAP=ZDAE=30°

AZP1AP2=6O°

AAP1AP2是等边三角形

.♦・P1P2=AP1=4

即PD+DE+PE的最小值是4.

4.如图

⑴探索1：如图1,点A是线段BC外一动点，若AB=2,BC=4,填空：当点A位于线段

AC长取得最大值，且最大值为；

(2)探索2：如图2,点A是线段BC外一动点，且AB=1,BC=3,分别以AB、BC为直角边作等腰

直角三角形ABD和等腰直角三角形CBE,连接AC、DE.

①请找出图中与AC相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段DE长的最大值；

(3)如图3,在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)、B(5,0),点P、M是线段AB外的两个动点，且PA

=2,PM=PB,ZBPM=90°,求线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

(提示：在图4中作PN1PA,PN=PA,连接BN后，利用探索1和探索2中的结论，可以解决这个问

题)

【答案】((,••点A为线段BC外一动点，且AB=2,BC=4,

二当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取最大值，最大值为2+4=6,

故答案是：CB的延长线上，6；

(2)解：①：△ABD和ACBE是等腰直角三角形，

二AB=DB,CB=EC,ZABD=ZCBE=90°,

Z.ABD-ZABE=ZCBE-zABE,即ZDBE=zABC,

在△BAC和△BDE中，

BA=BD

{ZABC=ZDBE，

BC=BE

二△BAC=△BDE(SAS),

，AC=DE；

②由(1)知AC的最大值是AB+BC=4,

•:DE=AC,

，DE长的最大值是4；

类比应用：

⑶解：如图，过点P作PN±PA,PN=PA,连接BN,

根据(2)中的方法，同理可以证明AAMPWANBP,

.♦.AM=BN,

当点N在线段BA的延长线上时，线段BN取最大值，也就是线段AM取最大值，最大值是AB+AN,

,:A(2,0),B(5,0),

；.AB=3,

AAPN是等腰直角三角形，

二AN=V2AP=2V2，

•••最大值是2四+3,

如图，过点P作PElx轴于点E,

PE-AE-V2»

二OE=BO-AB-AE=5-3-V2=2-V2,

二P(2-V2.V2)，

如图，点P也有可能在x轴下方，与刚刚的点P关于x轴对称,

P(2-V2,-V2)，

y.

综上：点P的坐标是(2-V2.V2)或(2-V2,-V2).

5.在等腰RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC=6或，D是射线CB上的动点，过点A作AF_LAD(AF始终

在AD上方)，且AF=AD,连接BF

(1)如图1,当点D在线段BC上时，BF与DC的关系是.

(2)如图2,若D、E为线段BC上的两个动点，且/DAE=45。，连接EF,DC=3,求ED的长.

⑶若在点D的运动过程中，BD=3,则AF=.

(4)如图3,若M为AB中点，连接MF,在点D的运动过程中，当BD=时，MF的长最小？最小

值是.

【答案】(1)当点D在线段BC上时,

vAF=AD,NBAF=90°-zBAD=zDAC,AB=AC

•••△FAB=△DAC(SAS)

BF=DC

(2)解：•••AE=AE,ZEAF=90°-ZDAE=45°=ZEAD,AF=AD,

FAE=△DAE(SAS)

•••ED=EF=3

(3)BD=3,设AG为BC边上的高，G为垂足,

在等腰RSABC中，G为BC的中点,

AF=AD=7AG2+DG2=762+(6-3)2=3V5

(4)点F的轨迹是过点B,且垂直于BC的射线，根据垂线段最短的性质，当MF1BF时，线段MF最短,

又因为BC1BF,zABC=45°,zFBD=90°

••.ABFM为等腰直角三角形，

V2aAB近L

MF=BF=—BM=—x—=—x6v2=3

2224

BD=BC-DC=12-3=9

此时MF=3.

(1)发现

如图①所示，点A为线段BC外的一个动点,且BC=a,AB=b.填空：当点A位于时，线段AC

的长取得最大值，且最大值为(用含a、b的式子表示).

(2)应用

点A为线段BC外一个动点，且BC=4,AB=1.如图②所示，分别以AB,AC为边，作等边三角形ABD和

等边三角形ACE,连接CD,BE.

①找出图中与BE相等的线段，并说明理由;

②直接写出线段BE长的最大值_▲.

(3)拓展

如图③所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P为线段AB外一个动

点，且PA=2,PM=PB,NBPM=90。.请直接写出线段AM的最大值_______及此时点P的坐标.

【答案】(1)：点A为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b,

/.当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b,

故答案为：CB的延长线上；a+b；

⑵解：①CD=BE；

理由：；△ABD与△ACE是等边三角形，

；.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=60°,

二ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,

即NCAD=NEAB,

在△CAD与△EAB中，

AD=AB

UCAD=zEAB，

AC=AE

.,.△CAD^AEAB,

②•.•线段BE长的最大值=线段CD的最大值，

由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，

,最大值为BD+BC=AB+BC=5

故答案为:5；

(3)；将AAPM绕着点P顺时针旋转90。得到△PBN,连接AN,

则△APN是等腰直角三角形，

APN=PA=2,BN=AM,

TA的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),

AOA=2,OB=6,

JAB=4,

线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，

...当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=AB+AN,

：AN=V2AP=2V2,

...AM长的最大值为2V2+4；

如图2,当点P在第一象限时，过P作PE_Lx轴于E,

△APN是等腰直角三角形,

；.PE=AE=V2,

/.OE=OA-AE=2-V2,

•••P(2-V2.V2):

图3

根据对称性可知，P(2-V21-V2)也符合题意

综上：点P的坐标为(2-V2，V2)或(2-V2,-V2)

故答案为：2V2+4；(2-V2»V2)或(2-V2,-V2).

7.在等腰RMABC中，NB4C=90。，AB=AC=6y[2,0是射线CB上的动点，过点A作

AFLAD(AF始终在AD上方)，且4F=4。，连接BF.

(1)如图1,当点D在线段BC上时，BF与DC的关系是；

(2)如图2,若点D,E为线段BC上的两个动点，且^DAE=45°,连接EF,DC=3,求ED

的长；

(3)若在点D的运动过程中，BD=3,则AF=；

(4)如图3,若M为4B中点，连接MF,在点D的运动过程中，当BD=时，MF的长最

小？最小值是.

【答案】(1)长度相等

(2)5

(3)3>/5

(4)9：3

【解析】(1)：AFIAD

ZDAF=90°

■:ZBAC=90°

，/CAD=/BAC-/BAD=/DAF-/BAD=/BAF

apZCAD=ZBAF

'：AB=AC,AF=AD

.♦.△ADC^ZXAFB,

:.BF=DC

故答案为：长度相等：

(2)由(1)可知△ADC<△AFB,

ZDAE=45°,ZBAC=90°

ZCAD+ZBAE=45°

VZCAD=ZBAF

/.ZBAF+ZBAE=45°

二NFAE=45o=ZDAE

；AD=AF,AE=AE

/.△AED^AAEF,得至ljEF=DE,设DE=x,

■:ZBAC=90°,AB=AC=6A/2,

，BC=VAB2+AC2=12,ZC=ZABC=45°,

，ZABF=ZC=45°

ZFBE=90°

...△BEF是直角三角形，

•.,EF=DE=x,CD=3

BE=9-x,BF=CD=3

在RtABEF中，EF2=BF2+BE2,

即x2=32+(9-x)2,

解得x=5

即DE的长为5；

(3)如图，过A点作AHLBC于H点，

VAABC为的等腰直角三角形

AAH是4ABC的中线，

，

AH=-2BC=6

VBD=3,

/.DH=BH-BD=3

AAD=VAH24-DH2=3V5

AAF=3V5

故答案为：3的;

(4)如图，取AC中点M，，故BM=CM，

VZFBM=ZC,BF=CD

...△FBMdDCM'

.•.MF=M'D,

故当M，D最短时，则MF最短，

作M'DLBC于D，点，

则4CD，M，是等腰直角三角形，M?C=»C=3A/2

设CD'=D'M'=a

a2+a2=(3V2)2

解得a=3(负值舍去)

.♦.CD'=3

故此时BD=12-3=9,MF=D,M,=3

故答案为：9；3.

8.如图1,已知直线1的同侧有两个点A,B,在直线1上找一点P,使P点到A,B两点的距离之和最短的

问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线1的对称点，对称点与另一点的连线与直线1的交

的最小值;

(2)如图3,在锐角三角形ABC中，AB=8,ZBAC=45°,NBAC的角平分线交BC于点D,M、N分别是

AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为

⑶如图4,NAOB=30。，0C=4,OD=10,点E,F分别是射线OA,OB上的动点，则CF+EF+DE的最小值

为。

【答案】(1)解：如图2：作点A关于x轴的对称点A'(l,-1)，连A'B交x轴于点P,

；.PA+PB的最小值就是A，B的长，

V点B的坐标为(5,4),

A;B=7(1-5)2+(-1-4)2=V41,，

••.PA+PB的最小值为同；

(2)；AD平分/BAC,

.\ZCAD=ZBAD,

直线AB与直线AC关于直线AD对称，

如图3,作点N关于直线AD的对称点N',连接MNZ,

二MN=MN',

,BM+MN=BM+MN',

二当点B,点M,点N'三点共线，且BM垂直AC时，BM+MN的值最小,

,此时，BN'IAC,

vZCAB=45°,

，ZABN'=45°,

AN'=BN',

AB=8,

由NZA2+NZB2=AB2=64,

•••NZB2=32,

BN'=4^2(负根舍去)

所以此时：BM+MN=BN，=4痘，

.•.BM+MN的最小值为4V2，

故答案为4V2;

(3)如图4,过作点C关于0B的对称点C',作点D关于OA的对称点D',连接C'D，交0A于点E,

交0B于点F,

...CF+EF+DE=C'F+EF+D'E,

由两点之间，线段最短，可得CF+EF+DE的最小值为C'D',

连接CC'交0B于点G,连接DD'交OA于点N,

过点D'作D'PIOB于P,作D'HICU于点H,

■:ZAOB=30°,OC=4,OD=10,CC'1OB,DD,1OA,

CG=-OC=2=CZG,OG=V42_22=2V3,

DN=DZN=10D=5,NODN=60。，

二DD'=10,/PD'D=30。，

PD=|DD，=5=OP,DT=V102-52=5低

DZH=PG=OP-OG=5-2V3,

UH=UG+GH=UG+PD，=2+5心

CD，=J(5V3+2)2+(5-2V3)2=2V29.

所以CF+EF+DE的最小值为2g.

故答案为：2格.

9.发现规律：

⑴如图①，&ABC与AADE都是等边三角形，直线BD.CE交于点F.直线BD,AC交于点H.求

乙BFC的度数

⑵已知：AABC与4ADE的位置如图②所示，直线BD.CE交于点F.直线BD,AC交于点H.若

N4BC=AADE=a,AACB=AAED=0,求乙BFC的度数

（3）如图③，在平面直角坐标系中，点O的坐标为（0,0），点M的坐标为（3,0）,N为y轴上一动点，连

接MN.将线段MN绕点M逆时针旋转60。得到线段MK,连接NK,OK,求线段OK长度的

最小值

【答案】⑴解：：AABC与AADE是等边三角形

，AB=AC,AD=AE,zBAC=zDAE=zABC=ZACB=60°

/.ZBAD=ZCAE

，△BAD=△CAE(SAS)

，ZABD=ZACE

•・•4ABD+ZDBC=ZABC=60°

・・・ZACE4-ZDBC=60°

JZBFC=180°-zDBC-zACE-zACB=60°；

(2)解：Z.ABC=zADE=a,zACB=Z.AED=p

**•△ABC~&ADE

AB_AC

/.ZBAC=zDAE,

AD一AE

ABAD

・♦・4BAD=zCAE,=----

ACAE

・•・△ABDACE

JZABD=ZACE

ZBHC=ZABD+ZBAC=zBFC+zACE

:.ZBFC=ZBAC

,:zBAC+乙ABC+zACB=180°

/.ZBFC+a+0=180°

JzBFC=180°-a-p；

应用结论：

(3)解：：将线段MN绕点M逆时针旋转60°得到线段MK

/.MN=MK,Z.NMK=60°

二△MNK是等边三角形

MK=MN=NK,ZNMK=zNKM=zKNM=60°

如下图，将AMOK绕点M顺时针旋转60°,得到AMQN连接OQ

，△MOK=△MQN,zOMQ=60°

AOK=NQ,MO=MQ

・・・AMOQ是等边三角形

・・・ZQOM=60°

・・・ZNOQ=30°

VOK=NQ

・・・当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当QN，y轴时，NQ有最小值

,1点M的坐标为(3,0)

/.OM=OQ=3

*/QNJ_y轴，ZNOQ=30°

NQ=iOQ=1

线段OK长度的最小值为|.

10.如图I,在等腰三角形ABC中，乙4=120*AB=4C,点。、E分别在边48、AC上，AD=AE,

连接BE,点M,N、P分别为DE、BE、BC的中点.

(I)观察猜想

图1中，线段NM、NP的数量关系是,4MNP的大小为；

(2)探究证明

把△4CE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP,BD、CE,判断△MNP的形状，并说

明理由；

(3)拓展延伸

把△力CE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1,AB=3,请求出△MNP面积的最大值.

【答案】⑴由题意知：AB=AC,AD=AE,且点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，

，BD=CE,MNnBD,NP〃CE,MN=|BD,NP=1EC

.♦.MN=NP

又〈MN〃BD,NP〃CE,ZA=120°,AB=AC,

AZMNE=ZDBE,ZNPB=ZC,ZABC=ZC=30°

根据三角形外角和定理，

得NENP=NNBP+NNPB

VNMNP=NMNE+NENP,ZENP=ZNBP+ZNPB,

ZNPB=ZC,ZMNE=ZDBE,

AZMNP=ZDBE+ZNBP+ZC

=ZABC+ZC=60°.

(2)解：aMNP是等边三角形.

理由如下：

如图，由旋转可得NBAD=4CAE

在△ABD和△ACE中

AB=AC

{△BAD=ZCAE

AD=AE

ABDSAACE(SAS)

:.BD=CE,zABD=zACE.

•・•点M、N分别为DE、BE的中点，

MN是AEBD的中位线，

•••MN=；BD且MN//BD

同理可证PN=1CE且PN//CE

•••MN=PN,ZMNE=ZDBE,4NPB=zECB

VzMNE=zDBE=zABD+zABE=zACE+zABE

zENP=zEBP+zNPB=zEBP+zECB

:.4MNP=ZMNE+ZENP=zACE+zABE+zEBP+zECB

=ZABC+ZACB=60°.

在2\MNP中

VZMNP=60°,MN=PN

/.△MNP是等边三角形.

(3)解：根据题意得：BD<AB+AD

即BD<4,从而MN<2

△MNP的面积M—MN=—MN2.

=12N-24

二△MNP面积的最大值为V3.

11.在平面直角坐标系xoy中，等腰直角△力BC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A,8在x轴上,

(1)求抛物线所表示的二次函数表达式.

(2)过原点任作直线/交抛物线于M,N两点，如图2所示.

①求△CMN面积的最小值.

②已知Q(l,-|)是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点尸，使得点尸与点Q关于直线/对称，若

存在，求出点尸的坐标及直线/的一次函数表达式；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,

在等腰Rt△ABC中，0C垂直平分AB,且AB=4,

・・・0A=OB=0C=2.

・•・A(-2,0)B(2,0)C(0,-2)

4a+2b+c=0

{4a—2b+c=0,

c=-2

_1

解得：{:二

c=-2

抛物线的解析式为y=1x2-2

(2)解：①设直线1的解析式为y=kx,交点M(X“2),N(x2,y2)

12n

由｛y=ix2，

y=kx

可得]x2—kx-2=0,

/.Xi+X2=2k,Xi-x2=-4.

22

(Xi-x2)=(Xi+x2)—4X1X2=4k2+16,

2

**•|xi—x2|=2Vk+4.

2

••S^CMN=SAOCM+SAQCN=I-OC•|xx—x2|=2Vk+4.

・♦•当k=0时，取最小值4.

*,*S&CMN的最小值是4.

②假设抛物线上存在点P(m*m2-2)，使得点P与点Q关于直线1对称,

222

:.OP=OQ,即JM+(|)3=Jm+(|m-2),

解得：m[=百，m2=—V3,m3=1»m4=-1

;m3=1,m4=-1,(不合题意，舍去.)

当g=百时，点P(V3,-|),线段PQ的中点为(萼，一1).

・1+V3,1

・・---k=-1,

2

k=一品=1-6.

・,・直线1的表达式为：y=(1-V3)x.

当mi=-V5时，点P(-V3,-i),线段PQ的中点为(1^,-1).

・・---K=-1，

2

••k=-f=l+6.

，直线1的表达式为：y=(1+V3)x

综上：点P(V3,—,y=(1—V3)x或点P(—\/3,—1),y=(1+V3)x.

12.如图，在平面直角坐标系中，XAOB的顶点0是坐标原点，点A的坐标为(4,4),点B的坐标为

(6,0),动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为1秒(0<t<4),

过点P作PN/X轴，分别交AO.AB于点M,N.

(1)填空：AO的长为,AB的长为

(2)当t=1时，求点N的坐标：

(3)请直接写出MN的长为(用含t的代数式表示)；

(4)点E是线段MN上一动点(点E不与点M.N重合)，^AOE和△4BE的面积分别表示为S1和

S2,当t=g时，请直接写出ST-S2(即S］与S2的积)的最大值为.

【答案】(1)..♦点A的坐标为(4,4)，点B的坐标为(6,0)，

•*-AO=V42+42=4A/2，AB=-y42+(6—4)2=2V5>

故答案为：4V2，2V5;

(2)解：设直线AB的解析式为y=kx+b(k*0),将A(4,4),B(6,0)代入得：

｛丁普考，解得仁二，

0=6k+bb=12

••y—2x+12,

由题意可知点N的纵坐标为1,

.,.令y=1得1=-2x+12,解得x=y,

，N号,1)；

(3•动点P从0开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，运动的时间为t秒,

MN到OB的距离为t,

•••△AMN的IWJ为4-t,

，AAMN与AAOB的高之比为—,