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文档简介
北京市朝阳区市级名校2024年高考押题卷(2)数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,下列命题正确的是()A.若,,,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则2.已知集合,集合,若,则()A. B. C. D.3.若函数的图象如图所示,则的解析式可能是()A. B. C. D.4.下列说法正确的是()A.“若,则”的否命题是“若,则”B.“若,则”的逆命题为真命题C.,使成立D.“若,则”是真命题5.已知,则()A.5 B. C.13 D.6.复数的共轭复数记作,已知复数对应复平面上的点,复数:满足.则等于()A. B. C. D.7.在三棱锥中,,,P在底面ABC内的射影D位于直线AC上,且,.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上,则球Q的半径为()A. B. C. D.8.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人两两不相邻,甲、丁两人必须相邻,则满足要求的排队方法数为().A.432 B.576 C.696 D.9609.双曲线的左右焦点为,一条渐近线方程为,过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,满足,则该双曲线的离心率为()A. B.3 C. D.210.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为,设地球半径为,该卫星近地点离地面的距离为,则该卫星远地点离地面的距离为()A. B.C. D.11.已知平面向量满足,且,则所夹的锐角为()A. B. C. D.012.在正方体中,E是棱的中点,F是侧面内的动点,且与平面的垂线垂直,如图所示,下列说法不正确的是()A.点F的轨迹是一条线段 B.与BE是异面直线C.与不可能平行 D.三棱锥的体积为定值二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为______.14.已知圆柱的上下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形,则该圆柱的体积为____15.直线是曲线的一条切线为自然对数的底数),则实数__________.16.在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上,则实数的值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)数列的前项和为,且.数列满足,其前项和为.(1)求数列与的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.(12分)在极坐标系中,曲线的极坐标方程为(1)求曲线与极轴所在直线围成图形的面积;(2)设曲线与曲线交于,两点,求.19.(12分)如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是10m和20m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD=60°.(1)求BC的长度;(2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB=α,∠DPC=β,问点P在何处时,α+β最小?20.(12分)如图,在直三棱柱中,,,D,E分别为AB,BC的中点.(1)证明:平面平面;(2)求点到平面的距离.21.(12分)已知向量,函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;(2)在中,三内角的对边分别为,已知函数的图像经过点,成等差数列,且,求a的值.22.(10分)已知数列是各项均为正数的等比数列,数列为等差数列,且,,.(1)求数列与的通项公式;(2)求数列的前项和;(3)设为数列的前项和,若对于任意,有,求实数的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
根据空间中线线、线面位置关系,逐项判断即可得出结果.【详解】A选项,若,,,,则或与相交;故A错;B选项,若,,则,又,是两个不重合的平面,则,故B正确;C选项,若,,则或或与相交,又,是两个不重合的平面,则或与相交;故C错;D选项,若,,则或或与相交,又,是两个不重合的平面,则或与相交;故D错;故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题,熟记线线、线面位置关系,即可求解,属于常考题型.2、A【解析】
根据或,验证交集后求得的值.【详解】因为,所以或.当时,,不符合题意,当时,.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算,属于基础题.3、A【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B,为奇函数可判断B错误;对于选项C,当时,,可判断C错误;对于选项D,,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.4、D【解析】选项A,否命题为“若,则”,故A不正确.选项B,逆命题为“若,则”,为假命题,故B不正确.选项C,由题意知对,都有,故C不正确.选项D,命题的逆否命题“若,则”为真命题,故“若,则”是真命题,所以D正确.选D.5、C【解析】
先化简复数,再求,最后求即可.【详解】解:,,故选:C【点睛】考查复数的运算,是基础题.6、A【解析】
根据复数的几何意义得出复数,进而得出,由得出可计算出,由此可计算出.【详解】由于复数对应复平面上的点,,则,,,因此,.故选:A.【点睛】本题考查复数模的计算,考查了复数的坐标表示、共轭复数以及复数的除法,考查计算能力,属于基础题.7、A【解析】
设的中点为O先求出外接圆的半径,设,利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为,所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为,所以,解得.因为,所以.设,易知平面ABC,则.因为,所以,即,解得.所以球Q的半径.故选:A【点睛】本题考查球的组合体,考查空间想象能力,考查计算求解能力,是中档题8、B【解析】
先把没有要求的3人排好,再分如下两种情况讨论:1.甲、丁两者一起,与乙、丙都不相邻,2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻.【详解】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有种不同排列方式,甲、丁排在一起共有种不同方式;若甲、丁一起与乙、丙都不相邻,插入余下三人产生的空档中,共有种不同方式;若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻,插入余下三人产生的空档中,共有种不同方式;根据分类加法、分步乘法原理,得满足要求的排队方法数为种.故选:B.【点睛】本题考查排列组合的综合应用,在分类时,要注意不重不漏的原则,本题是一道中档题.9、A【解析】
设,直线的方程为,联立方程得到,,根据向量关系化简到,得到离心率.【详解】设,直线的方程为.联立整理得,则.因为,所以为线段的中点,所以,,整理得,故该双曲线的离心率.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.10、A【解析】
由题意画出图形,结合椭圆的定义,结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【详解】椭圆的离心率:,(c为半焦距;a为长半轴),设卫星近地点,远地点离地面距离分别为r,n,如图:则所以,,故选:A【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法,注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键,属于中档题.11、B【解析】
根据题意可得,利用向量的数量积即可求解夹角.【详解】因为即而所以夹角为故选:B【点睛】本题考查了向量数量积求夹角,需掌握向量数量积的定义求法,属于基础题.12、C【解析】
分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义,体积公式分别进行判断.【详解】对于,设平面与直线交于点,连接、,则为的中点分别取、的中点、,连接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面内的相交直线平面平面,由此结合平面,可得直线平面,即点是线段上上的动点.正确.对于,平面平面,和平面相交,与是异面直线,正确.对于,由知,平面平面,与不可能平行,错误.对于,因为,则到平面的距离是定值,三棱锥的体积为定值,所以正确;故选:.【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用,得到的关系式,然后代入双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线的离心率为,所以,即,因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线方程为.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.14、【解析】
由轴截面是正方形,易求底面半径和高,则圆柱的体积易求.【详解】解:因为轴截面是正方形,且面积是36,所以圆柱的底面直径和高都是6故答案为:【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法,是基础题.15、【解析】
根据切线的斜率为,利用导数列方程,由此求得切点的坐标,进而求得切线方程,通过对比系数求得的值.【详解】,则,所以切点为,故切线为,即,故.故答案为:【点睛】本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题,属于基础题.16、【解析】
求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标,并将该交点代入抛物线的方程,即可求出实数的方程.【详解】双曲线的半焦距为,则双曲线的右准线方程为,渐近线方程为,所以,该双曲线右准线与渐近线的交点为.由题意得,解得.故答案为:.【点睛】本题考查利用抛物线上的点求参数,涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用,考查计算能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2).【解析】
(1)令可求得的值,令,由得出,两式相减可推导出数列为等比数列,确定该数列的公比,利用等比数列的通项公式可求得数列的通项公式,再利用对数的运算性质可得出数列的通项公式;(2)运用等差数列的求和公式,运用数列的分组求和和裂项相消求和,化简可得.【详解】(1)当时,,所以;当时,,得,即,所以,数列是首项为,公比为的等比数列,.;(2)由(1)知数列是首项为,公差为的等差数列,.,.所以.【点睛】本题考查数列的递推式的运用,注意结合等比数列的定义和通项公式,考查数列的求和方法:分组求和法和裂项相消求和,考查运算能力,属于中档题.18、(1);(2)【解析】
(1)利用互化公式,将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,即可求出面积;(2)联立方程组,分别求出和的坐标,即可求出.【详解】解:(1)由于的极坐标方程为,根据互化公式得,曲线的直角坐标方程为:当时,,当时,,则曲线与极轴所在直线围成的图形,是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形,∴围成图形的面积.(2)由得,其直角坐标为,化直角坐标方程为,化直角坐标方程为,∴,∴.【点睛】本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程,以及联立方程组求交点坐标,考查计算能力.19、(1);(2)当BP为cm时,α+β取得最小值.【解析】
(1)作AE⊥CD,垂足为E,则CE=10,DE=10,设BC=x,根据得到,解得答案.(2)设BP=t,则,故,设,求导得到函数单调性,得到最值.【详解】(1)作AE⊥CD,垂足为E,则CE=10,DE=10,设BC=x,则,化简得,解之得,或(舍),(2)设BP=t,则,,设,,令f'(t)=0,因为,得,当时,f'(t)<0,f(t)是减函数;当时,f'(t)>0,f(t)是增函数,所以,当时,f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值,因为恒成立,所以f(t)<0,所以tan(α+β)<0,,因为y=tanx在上是增函数,所以当时,α+β取得最小值.【点睛】本题考查了三角恒等变换,利用导数求最值,意在考查学生的计算能力和应用能力.20、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)通过证明面,即可由线面垂直推证面面垂直;(2)根据面,将问题转化为求到面的距离,利用等体积法求点面距离即可.【详解】(1)因为棱柱是直三棱柱,所以又,所以面又,分别为AB,BC的中点所以//即面又面,所以平面平面(2)由(1)可知////所以//平面即点到平面的距离等于点到平面的距离设点到面的距离为由(1)可知,面且在中,,易知由等体积公式可知即由得所以到平面的距离等于【点睛】本题考查由线面垂直推证面面垂直,涉及利用等体积法求点面距离,属综合中档题.21、(1),(2)【解析】
(1)利用向量的数量积和二倍角公式化简得,故可求其周期与单调性;(2)根据图像过得到,故可求得的大小,再根据数量积得到
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