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文档简介
安徽省铜陵市枞阳县枞阳县浮山中学2023-2024学年高三年级第二次质量检测试题(数学试题)试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知向量,,则与的夹角为()A. B. C. D.2.已知为定义在上的奇函数,若当时,(为实数),则关于的不等式的解集是()A. B. C. D.3.已知定义在上的奇函数满足:(其中),且在区间上是减函数,令,,,则,,的大小关系(用不等号连接)为()A. B.C. D.4.一袋中装有个红球和个黑球(除颜色外无区别),任取球,记其中黑球数为,则为()A. B. C. D.5.已知点为双曲线的右焦点,直线与双曲线交于A,B两点,若,则的面积为()A. B. C. D.6.若复数满足,其中为虚数单位,是的共轭复数,则复数()A. B. C.4 D.57.已知集合,则为()A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]8.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点,直线(是坐标原点)交的右支于点,若,且,则的离心率是()A. B. C. D.9.已知,是两条不重合的直线,是一个平面,则下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则10.已知,则的值构成的集合是()A. B. C. D.11.如图,圆是边长为的等边三角形的内切圆,其与边相切于点,点为圆上任意一点,,则的最大值为()A. B. C.2 D.12.函数的部分图象如图所示,则的单调递增区间为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知点是直线上的一点,将直线绕点逆时针方向旋转角,所得直线方程是,若将它继续旋转角,所得直线方程是,则直线的方程是______.14.公比为正数的等比数列的前项和为,若,,则的值为__________.15.设为偶函数,且当时,;当时,.关于函数的零点,有下列三个命题:①当时,存在实数m,使函数恰有5个不同的零点;②若,函数的零点不超过4个,则;③对,,函数恰有4个不同的零点,且这4个零点可以组成等差数列.其中,正确命题的序号是_______.16.函数的图象向右平移个单位后,与函数的图象重合,则_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若存在两个极值点,,证明:.18.(12分)在锐角中,,,分别是角,,所对的边,的面积,且满足,则的取值范围是()A. B. C. D.19.(12分)如图,设A是由个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.对于,记ri(A)为A的第i行各数之积,cj(A)为A的第j列各数之积.令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann(Ⅰ)请写出一个AS(4,4),使得l(A)=0;(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?说明理由;(Ⅲ)给定正整数n,对于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.20.(12分)已知椭圆:过点,过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于,两点.(1)证明:当取得最小值时,椭圆的离心率为.(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.21.(12分)已知函数,其中,.(1)当时,求的值;(2)当的最小正周期为时,求在上的值域.22.(10分)已知,函数,(是自然对数的底数).(Ⅰ)讨论函数极值点的个数;(Ⅱ)若,且命题“,”是假命题,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
由已知向量的坐标,利用平面向量的夹角公式,直接可求出结果.【详解】解:由题意得,设与的夹角为,,由于向量夹角范围为:,∴.故选:B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角,注意向量夹角的范围.2、A【解析】
先根据奇函数求出m的值,然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意,得,得,所以当时,.分析知,函数在上为增函数.又,所以.又,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.3、A【解析】因为,所以,即周期为4,因为为奇函数,所以可作一个周期[-2e,2e]示意图,如图在(0,1)单调递增,因为,因此,选A.点睛:函数对称性代数表示(1)函数为奇函数,函数为偶函数(定义域关于原点对称);(2)函数关于点对称,函数关于直线对称,(3)函数周期为T,则4、A【解析】
由题意可知,随机变量的可能取值有、、、,计算出随机变量在不同取值下的概率,进而可求得随机变量的数学期望值.【详解】由题意可知,随机变量的可能取值有、、、,则,,,.因此,随机变量的数学期望为.故选:A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算,考查计算能力,属于基础题.5、D【解析】
设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,设,得,求出的值,即得解.【详解】设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,所以,.设,则,又.故,所以.故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6、D【解析】
根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.【详解】解:复数z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的计算问题,要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,是基础题.7、B【解析】
先求出,得到,再结合集合交集的运算,即可求解.【详解】由题意,集合,所以,则,所以.故选:B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.8、D【解析】
如图,设双曲线的右焦点为,连接并延长交右支于,连接,设,利用双曲线的几何性质可以得到,,结合、可求离心率.【详解】如图,设双曲线的右焦点为,连接,连接并延长交右支于.因为,故四边形为平行四边形,故.又双曲线为中心对称图形,故.设,则,故,故.因为为直角三角形,故,解得.在中,有,所以.故选:D.【点睛】本题考查双曲线离心率,注意利用双曲线的对称性(中心对称、轴对称)以及双曲线的定义来构造关于的方程,本题属于难题.9、D【解析】
利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断.【详解】解:选项A中直线,还可能相交或异面,选项B中,还可能异面,选项C,由条件可得或.故选:D.【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识;考查空间想象能力、推理论证能力,属于基础题.10、C【解析】
对分奇数、偶数进行讨论,利用诱导公式化简可得.【详解】为偶数时,;为奇数时,,则的值构成的集合为.【点睛】本题考查三角式的化简,诱导公式,分类讨论,属于基本题.11、C【解析】
建立坐标系,写出相应的点坐标,得到的表达式,进而得到最大值.【详解】以D点为原点,BC所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立坐标系,设内切圆的半径为1,以(0,1)为圆心,1为半径的圆;根据三角形面积公式得到,可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为:故得到故得到,故最大值为:2.故答案为C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用,以及参数方程的应用,以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.12、D【解析】
由图象可以求出周期,得到,根据图象过点可求,根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.【详解】由图象知,所以,,又图象过点,所以,故可取,所以令,解得所以函数的单调递增区间为故选:.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质,利用“五点法”求函数解析式,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
求出点坐标,由于直线与直线垂直,得出直线的斜率为,再由点斜式写出直线的方程.【详解】由于直线可看成直线先绕点逆时针方向旋转角,再继续旋转角得到,则直线与直线垂直,即直线的斜率为所以直线的方程为,即故答案为:【点睛】本题主要考查了求直线的方程,涉及了求直线的交点以及直线与直线的位置关系,属于中档题.14、56【解析】
根据已知条件求等比数列的首项和公比,再代入等比数列的通项公式,即可得到答案.【详解】,,.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前项和公式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.15、①②③【解析】
根据偶函数的图象关于轴对称,利用已知中的条件作出偶函数的图象,利用图象对各个选项进行判断即可.【详解】解:当时又因为为偶函数可画出的图象,如下所示:可知当时有5个不同的零点;故①正确;若,函数的零点不超过4个,即,与的交点不超过4个,时恒成立又当时,在上恒成立在上恒成立由于偶函数的图象,如下所示:直线与图象的公共点不超过个,则,故②正确;对,偶函数的图象,如下所示:,使得直线与恰有4个不同的交点点,且相邻点之间的距离相等,故③正确.故答案为:①②③【点睛】本题考查函数方程思想,数形结合思想,属于难题.16、【解析】
根据函数图象的平移变换公式求得变换后的函数解析式,再利用诱导公式求得满足的方程,结合题中的范围即可求解.【详解】由函数图象的平移变换公式可得,函数的图象向右平移个单位后,得到的函数解析式为,因为函数,所以函数与函数的图象重合,所以,即,因为,所以.故答案为:【点睛】本题考查函数图象的平移变换和三角函数的诱导公式;诱导公式的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2)见解析【解析】
(1)求得的导函数,对分成两种情况,讨论的单调性.(2)由(1)判断出的取值范围,根据韦达定理求得的关系式,利用差比较法,计算,通过构造函数,利用导数证得,由此证得,进而证得不等式成立.【详解】(1).当时,,此时在上单调递减;当时,由解得或,∵是增函数,∴此时在和单调递减,在单调递增.(2)由(1)知.,,,不妨设,∴,,令,∴,∴在上是减函数,,∴,即.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.18、A【解析】
由正弦定理化简得,解得,进而得到,利用正切的倍角公式求得,根据三角形的面积公式,求得,进而化简,即可求解.【详解】由题意,在锐角中,满足,由正弦定理可得,即,可得,所以,即,所以,所以,则,所以,可得,又由的面积,所以,则.故选:A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用,以及三角形的面积公式和正切的倍角公式的综合应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.19、(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ)不存在,理由见解析;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)可取第一行都为-1,其余的都取1,即满足题意;(Ⅱ)用反证法证明:假设存在,得出矛盾,从而证明结论;(Ⅲ)通过分析正确得出l(A)的表达式,以及从A0如何得到A1,A2……,以此类推可得到Ak.【详解】(Ⅰ)答案不唯一,如图所示数表符合要求.(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,证明如下:假如存在,使得.因为,,所以,,...,,,,...,这18个数中有9个1,9个-1.令.一方面,由于这18个数中有9个1,9个-1,从而①,另一方面,表示数表中所有元素之积(记这81个实数之积为m);也表示m,从而②,①,②相矛盾,从而不存在,使得.(Ⅲ)记这个实数之积为p.一方面,从“行”的角度看,有;另一方面,从“列”的角度看,有;从而有③,注意到,,下面考虑,,...,,,,...,中-1的个数,由③知,上述2n个实数中,-1的个数一定为偶数,该偶数记为,则1的个数为2n-2k,所以,对数表,显然.将数表中的由1变为-1,得到数表,显然,将数表中的由1变为-1,得到数表,显然,依此类推,将数表中的由1变为-1,得到数表,即数表满足:,其余,所以,,所以,由k的任意性知,l(A)的取值集合为.【点睛】本题为数列的创新应用题,考查数学分析与思考能力及推理求解能力,解题关键是读懂题意,根据引入的概念与性质进行推理求解,属于较难题.20、(1)证明见解析;(2)存在,【解析】
(1)将点代入椭圆方程得到,结合基本不等式,求得取得最小值时,进而证得椭圆的离心率为.(2)当直线的斜率不存在时,根据椭圆的对称性,求得到直线的距离.当直线的斜率存在时,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理,利用,则列方程,求得的关系式,进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在,进而求得定圆的方程.【详解】(1)证明:∵椭圆经过点,∴,∴,当且仅当,即时,等号成立,此时椭圆的离心率.(2)解:∵椭圆的焦距为2,∴,又,∴,.当直线的斜率不存在时,由对称性,设,.∵,在椭圆上,∴,∴,∴到直线的距离.当直线的斜率存在时,设的方程为.由,得,.设,,则,.∵,∴,∴,∴,即,∴到直线的距离.综上,到直线的距离为定值,且定值为,故存在定圆:,使得圆与直线总相切.【点睛】本小题主要考查点和椭圆的位置关系,考查基本不等式求最值,考查直线和椭圆的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查分类讨论的数学思想方法,考查运算求解能力,属于中档题.21、(1)(2)【解析】
(1)根据,得到函
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