高中数学必修第二册立体几何解答题练习（含解析）

【新教材】高中数学必修第二册立体几何解答题练习

1.如图，在三棱柱A8C-A|8C］中，BiCi±CCi，点、E,尸分别是BC,4由的中点，平面

4CiC4_L平面BCC\B\.

(1)求证：BiCi-LAiC；

(2)求证：所〃平面4CCA.

4

2.如图所示，在四棱锥中，8C//平面F4D,BC=-AD,E是PD的中点.

2

(1)求证：BC//AD；

(2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N,使MN//平面以8?说明理

由.

3.在如图所示的几何体中，四边形A88是菱形，N84£>=120。，A£_L平面AHC£),

AE//CF.

(1)求证：。尸〃平面ABE；

(2)若4)=AE=2Cr=2,求该几何体的表面积.

4.如图，直三棱柱A8C-A耳G中，D,E分别是AB,Bg的中点

(I)证明：8。1//平面48；

(II)A4,=AC=CB=2,AB=2五,求三棱锥C-A.OE的体积.

5.如图，A4,是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，C在圆柱下底面圆周上，M是

线段AC的中点.已知/V\=AC=4,8c=3.

(1)求圆柱的侧面积；

(2)求证：BC±AM.

6.在如图所示的多面体中，A4CD是正方形，A,D,E,尸四点共面，4/"面CDE.

(1)求证：〃面CDE：

(2)若AD=OE=3,AF=[,EF=岳,求证：AD_L平面CDE.

7.如图，四棱锥中，底面A5C£＞为平行四边形，ZADC=45°,AD=AC=2,

O为AC的中点，尸OJL平面AB8，PO-2,”为叨的中点，

(1)证明：AO_L平面小C;

(2)求直线AW与平面A48所成角的正弦值.

8.如图1,在直角梯形A8CD中，ZADC=90°,CD"AB,AB=4,AD=CD=2,M为

线段9的中点.将AADC沿AC折起，使平面ADCJ■平面ABC，得到几何体D-ABC，

如图2所示.

(I)求证：BC_L平面A8;

(II)求二面角A-CD-M的余弦值.

图2

9.如图，在四棱锥P-ABC。中，AB//CD,A8_L平面%。，PA=AD=DC=2AB=4,PD

=2由，M是PC的中点.

(1)证明：平面平面PCD：

(2)求三棱锥的体积.

10.如图，矩形ADE"与梯形A88所在的平面互相垂直，AD±CD,AB//CD,

AB=AD=2,C/J=4,ED=141,M为CE的中点，N为CD中点.

(1)求证：平面8MN//平面4)即；

(2)求证：平面BCE_L平面比)E；

(3)求点。到平面跳C的距离.

底面边长为4,侧棱长为¥〃，。是棱AG的

II.如图所示，在正三棱柱ABC-AB|G中,

中点.

(I)求证：BG〃平面4同。；

(II)求二面角A-A4-0的大小.

12.如图，四棱锥中，24J_平面48a＞，四边形48a＞是矩形，E,尸分别是A8,

9的中点.若/＜4=4)=3,CD=y/b.

(1)求证：A产〃平面PCE；

(2)求直线尸C平面PCE所成角的正弦值.

【新教材】高中数学必修第二册立体几何解答题练习

参考答案与试题解析

一.解答题(共12小题)

1.如图，在三棱柱ABC-4BiCi中，fiiCilCCi，点E,尸分别是BC,AiBi的中点，平面

4。1。4_1_平面8。。81.

(1)求证：BiCi±AiC：

(2)求证：所〃平面4GCA.

【解答】证明：(1)因为阮1i_LGC,又平面A]CCA_L平面5CG8],

且平面ACiCAG平面BCC\Bi=CiC,

所以5Ci_L平面ACCMi.

又因为ACu平面AiCiCA,

所以BCiLAiC.

(2)取4G中点G,连尸G,连GC,如图所示：

在△A181C中，因为凡G分别是AiBi，4。中点,

所以尸G〃与G，且FG=28Ci.

2

在平行四边形中，因为E是8c的中点，

所以EC〃8Ci，且EC=23Ci.

2

所以EC〃尸G,且EC=FG.

所以四边形尸ECG是平行四边形.

所以尸E〃GC.

又因为平面4GC4，GC=平面AiCCA,

所以EF〃平面ACiCA.

2.如图所示，在四棱锥2-旗6中，AC//平面Q4£>,BC=-AD，石是尸。的中点.

2

(1)求证：BC//AD；

(2)若M是线段CE上一动点，则线段4)上是否存在点N,使MN〃平面RS?说明理

由.

【解答】证明：(1)在四棱锥尸-458中，8C//平面也>,8Cu平面

平面ABCDC平面PAD=AD,

..BC//AD,

(2)线段4)存在点N,使得MV〃平面RU?,理由如下：

取AD中点N,连接CV,EN,

♦：E,N分别为尸£),AD的中点，

:.ENMPA,

•・・0VC平面Q48,PAu平面P48,

.•.EN//平面

又CE〃平面%CEnEN=E,

二平面CEN〃平面RW,

是CE上的动点，MNu平面CEN,

.•.M/V//平面

.•.线段")存在点N,使得平面RW.

3.在如图所示的几何体中，四边形A8C£>是菱形，ZE4D=I2O°,AE_L平面A8CD,

AE//CF.

(1)求证：。尸〃平面A6E；

(2)AD=AE=2CF=2,求该几何体的表面积.

【解答】解：(1)证明：因为A£//C尸，bU平面ABE,

所以C/〃平面45E,

因为四边形ABCD是菱形，

所以CD/MB，

由于COU平面ABE，

所以CD〃平面ABE,

又

所以平面C0F//平面ABE,

又O/u平面CDF,

所以。尸//平面A8E.

(2)由他〃C尸，知A,C,F,E四点共面，

连接4C,于是该几何体是由两个相同的四棱锥8-AC庄，£)-AC7话构成的，

x

由题意知，=ix2x2=2,SMfiC=ix2x2xsin600=>/5>^^BCF=2x1=1,

在ABE/中，EF=yf5,BE=2&,B/=石，='x2夜xg=",

csDcr2

所以该几何体的表面积为2X（SMBK+SM腕+S酝F+%杯）=6+26+2卡.

4.如图，直三棱柱A8C-A4G中，D,E分别是AB,8g的中点

(I)证明：8。1//平面48;

(II)A4,=AC=CB=2,AB=2五,求三棱锥C-4。£：的体积.

【解答】解：(I)证明：连接AG交AC于点尸，则户为AG的中点.

•.•直棱柱ABC—AgG中，D,E分别是A8,8旦的中点，故DF为三角形48G的中位线,

故DFIIBC、.

由于o/u平面A。。，而BG不在平面A。。中，故有8G〃平面ACD.

（II）0.eA4,=AC-CB=2»AB=2>/2>故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角二角形.

由。为AB的中点可得C0_L平面.\CD=AQBC=y/2.

2

•・4。=/41T+AD=瓜,同理，利用勾股定理求得OE=G,AE=3.

再由勾股定理可得4。2+。E2=4七2,.4。_1。£.

13J7

.凡班=火力七=苛，

二%-AZJE=§卜ADE=1•

5.如图，A4,是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，C在圆柱下底面圆周上，M是

线段A。的中点.已知M=AC=4,BC=3.

（1）求圆柱的侧面积；

（2）求证：BC1AM.

【解答】解：（1）由题意可得AC=4,BC=3,L=A4,=4,

所以在RtAABC中，AB=JAC：+BC?=+32=5,

所以底面半径r=,48=2,

22

所以圆柱的侧面积S=2;zrL=24x9x4=20;?.

2

(2)证明：由题意可得4C_LAC,

又因为图为圆柱，可得底面相。，

因为3Cu底面A8C,

所以_LA4,,

因为BC_LAC,JL/ACQ/U,=A：

所以8CJ_A4C4,,

又AMuAACV

所以3C_LAM.

6.在如图所示的多面体中，ABCD是正方形，A,D,E,尸四点共面，A尸〃面8E.

(1)求证：BF//而CDE；

(2)若4O=OE=3,AF=1,EF=屈,求证：AO_L平面CDE.

【解答】证明：(1)因为是正方形，所以AB//CD,

又A50面C/JK,C"u面CZ9K,所以A8〃面C7龙;，

因为AF//面CDE,AF^\AB=A,AF,ABu平面AB/，

所以面AW7〃面C£>E,

又BFu面ABF,所以BF//面CDE.

(2)在平面AD£F中，作尸G//AQ交。E于点G,

因为AF〃面COE,A尸u平面4)石尸，平面4)“'C平面a)E=OE,

所以A尸〃OE,又/G//AZ),

所以四边形ADGF为平行四边形，

所以£>G=AF=1,FG=AD=3,EG=DE-DG=2,

因为6尸=而，所以E尸2=尸62+水>,

所以NFGE=90。，所以尸G_LDE,

所以AO_L£>E,又4D_L£)C,

DE^]DC=D,DE,OCu平面COE,

所以4D_L平面C£)E.

7.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，NAZ>C=45。，AD=AC=2,

。为AC的中点，PO_L平面458,PO=2,M为?D的中点，

(1)证明：ADJ■平面H4C；

(2)求直线AW与平面ABCD所成角的正弦值.

【解答】(1)证明：•・•NAZ)C=45。，且4)=AC=2,

/.zmc=9o°,即AD_LAC

又•.•PO_L平面ABCQ,AOu平面ABC£>,

:.PO±AD,

又AC「|PO=O，

..AD_L平面ZAC

(2)解：/Q

取OO中点N,连接MN,AN

•.•M为即的中点，:.MNHPO,且MN=，PO=1,

•・•尸OJ_平面ABC。，」.MV，平面ABC。

/.ZMAN是直线AM与平面ABCD所成的角.

在RtADAO中，vAD=2,AO=\,ZmO=90°,，OO=6,

/.AN=-DO=—,

22

在RtAANM中，sinZAM7V=.MN=-,

\IMN2+AN23

即直线AM与平面ABC。所成角的正弦值为2.

3

8.如图1,在直角梯形ABCD中，NA£JC=90°,CDWAB,AB=4,AD=CD=2,M为

线段AB的中点.将AAOC沿AC折起，使平面AZ)CJ_平面ABC,得到几何体。-ABC,

如图2所示.

(I)求证：8C_L平面ACD；

(II)求二面角A-CD-M的余弦值.

AM

图1AM

图2

【解答】解：(I)在图1中，可得AC=8C=2夜，从而AC?+86*2=A8?,故AC_L8c

取AC中点。连接OO,则。O_LAC,又面ADC_L面ABC,

面40CC面48C=AC,DOu面ACD,从而0。_1_平面A6C,(4分)

..OD1BC

又ACJ.BC,AC^\OD=O,

.•.5C_L平面4C£>(6分)

另解：在图1中，可得4C=8C=2夜，

从而ACBC、A3。故4CJ_BC

•.•面ADC_L面A5C，面ADEC面A3C=AC，BCu面ABC,从而3C_L平面48

(II)建立空间直角坐标系O-种如图所示，

则M(0,立0),C(-V2,0,0),

D(0,0,X/2)CA7=(V2,>/2,0),

CD=(V2,0,5/2)(8分)

设百=(x,y,z)为面CDM的法向量，

则竹子。即归十£尸。,解得L

zx

ny-CD=0y/2x+V2z=0[~~

令x=—1,可得4=(一1,1,1)

又兀=(0,1,0)为面ACD的一个法向量

-------------%•n,1V3

cos<%,%>=-=r-=7-=-f==—

I〃iIIn21V33

二面角A—CD—M的余弦值为(12分)

3

9.如图，在四棱锥P-ABC。中，AB//CD,A8_L平面%。，R\=AD=DC=2AB=4,PD

=2由，M是PC的中点.

(1)证明：平面ABM_L平面PCQ：

(2)求三棱锥的体积.

【解答】（1）证明：取PO的中点N,连接MN,AN,

'：PA=AD.：.ANLPDt

'：AB//CDtAB_L平面必。，

・・・。。_1_平面外。，：,CD±AN,

又PDRCD=D,PD、COu平面PC。，

：,ANI平面PCD.

：ANu平面ABM.

.•.平面ABM_L平面PCD.

⑵解：由（1）知，ANLPD,・・・AN=dRD2Gpi））2={42一（巾）2=3,

/M,N分别为尸C,尸。的中点，

:‘MN"CD"AB,

平面A8u平面布8,

〃平面PAB,

・•・三棱锥M-PAB的体积V=VN-PAB=Vn.PAN=^AB*^AN*PN=1X2XAx3XV?

3232

=V7-

10.如图，矩形AD£F与梯形ABC。所在的平面互相垂直，ADVCD,AB//CD,

AB=AD=2,CD=4,ED=2五,M为圆的中点，N为CD中点.

（1）求证：平面3AW//平面ADEF；

(2)求证：平面8CEJ■平面8QE；

(3)求点。到平面BEC的距离.

【解答】(1)证明：在A£DC中，M,N分别为EC,QC的中点,

所以MN//ED,又OEu平面ADE/L且MNU平面4)£尸，

所以MN〃平面4)所；

因为N为CE)中点.AB//CD,AB=2,CT)=4,

所以四边形ABND为平行四边形，所以BN//DA,

又。Au平面4无户，且8V<t平面4无户，

所以BN//平面AD所，

•：BNnMN=N,EN,MNu而BMN,

/.平面BMN〃平面ADEF；

(2)证明：在矩形4)瓦'中，EDYAD.又

因为平面ADE/7,平面且平面A£)E/C平面ABCD=4),

所以ED_L平面A8C£>.所以瓦>J_5C.

在直角梯形ABCD中，AB=AD=2,8=4,可得6C=20.

在MS中，BD=BC=2五,8=4,因为班f+8C?=8?,

所以8C_L3O.

因为8。「|。£=。，所以BCJ■平面BOE.

因为BCu面8CE,所以平面BCEJ_平面比应：

(3)设点。到平面8EC的距离为/?,

则%。=%3)，

，x4x2夜x』x〃」x2夜x2夜」x2夜，

3232

求得力=2.

11.如图所示，在正三棱柱ABC-A4G中，底面边长为。，侧棱长为孝,。是棱AG的

中点.

（I）求证：8。1〃平面人与。：

（II）求二面角A-A线一。的大小.

【解答】解：（I）连接与A4交于E,则石为AB的中点,

•.•£）为AG的中点，

:.DE为AABC1的中位线,

/.BCJ/DE.

又DEu平面ABQ,36《平面/14。，

/.BCJ/平面4瓦。

（H）过。作。尸_1_4用于尸，由正三棱柱的性质可知，平面AS，连接所，DE,

在正△ABC中，

片。=