专题九 三角形-2021年中考数学三轮冲刺复习专项训练

2021年中考数学三轮冲刺复习专题九三角形

一、单选题

1.如图,将△ABC绕点C顺时针方向旋转40。，得AAB'C,若AC_LAE,则NA等于（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

2.以3、4为两边的三角形的第三边长是方程x2-13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（）

A.15或12B.12C.15D.以上都不对

3.如图所示，在JBC中，AB=AC,M,N分别是AB»AC的中点，D,E为BC上的点，

连接DN、EM，若AB=5cm'BC=8cm'DE=4cm）则图中阴影部分的面积为（）

A.lcm2B.1.5cm2C.2cm2D.3cm2

4.已知等腰三角形的顶角是n。，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（）

A.9°j。B.90°-—C.—D.90。一11。

222

5.如图，R3ABC中，AB=9,BC=6,NB=90。，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN,

则线段BN的长为（）

A.-B.-C.4D.5

32

6.如图AD是/BAC的角平分线，AD的垂直平分线OF交BC的延长线于F,若噤=：，则

AD5

生=（）

A

7.如图，在矩形ABCD中，M是BC边上一点，连接AM,DM，过点D作DE1AM,垂足为E•若DE=

DC=1'AE=?EM'则BM的长为（）

8.如图，在x轴的上方，直角NBOA绕原点。按顺时针方向旋转.若NBOA的两边分别与函数y=-1、

的图象交于B、A两点，则ZOAB大小的变化趋势为（）

A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变

9.如图，半径为1的④与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于点D、E,直线y=kx伙＞0）交GD于A,B,AD,

BE的延长线相交于点C,当k的值改变时，下列结论：①・NACB的度数不变，②团CB与CD的比值不变,

③回CO的长度不变.其中正确的结论的序号是（）

10.如图，在△ABC中，AD是中线，DEJ_BC交AB于E,AHIIDE交BC于H,且ZDAH=NCAH,连接CE交

AD于F,交AH于G.下列结论：①AAEF-ACEA；②FHIIAC；③若CEJ.AB,则tanNBAC=2；④若四

边形AEDG是菱形，则NACB=60。.其中正确的是（）

A.①②③B.②③④C.①②D.①②③④

二、填空题

11.如图，在△ABC中，射线AD交BC于点D,BE_LAD于E,CFJ_AD于F,请补充一个条件，使

△BED2ACFD,你补充的条件是（填出一个即可）.

12.已知：如图，△ABC中，ZA=45°,AB=6,AC=472，点D、E、F分别是三边AB、BC、CA上的点，则

△DEF周长的最小值是.

BEC

13.如图，在矩形ABCD中，AB=3,对角线AC,BD相交于点。，AE垂直平分0B于点E,则AD的长为

14.如图，直线y=-gx+4与x轴和y轴分别交于A,B两点，△AOB绕点A顺时针旋转90。后得到△AOB,

则点B的对应点B，坐标为

15.如图,在AABC中,ZCAB=75°,在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△ABC的位置，使得CC'IIAB,

16.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,过点A作EA_LCA交DB的延长线于点E,若AB=3,

17.如图，点A(-l,0),点P是射线AO上一动点(不与。点重合)，过点P作直线y=x的平行线交y轴于C,

过点P作x轴的垂线交直线y=x于B,连结AB,AC,BC。

X

/B

(1)当点P在线段OA上且AP=PC时，AB：BC=；

(2)当△ABC与AOPC相似时，P点的横坐标为。

18.如图，00是正方形ABCD的外接圆，AB=2,点E是劣弧AD上任意一点，CF_LBE于F.当点E从点A

出发按顺时针方向运动到点D时，则AF的取值范围是.

三、综合题

19.【问题情境】张老师给爱好学习的小军和小俊提出这样一个问题：如图1,在△ABC中，AB=AC,点P

为边BC上的任一点，过点P作PD_LAB,PE_LAC,垂足分别为D、E,过点C作CF_LAB,垂足为F.求证：

PD+PE=CF.

(1).小军的证明思路是：如图2,连接AP,由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：

PD+PE=CF.

小俊的证明思路是：如图2,过点P作PG_LCF,垂足为G,可以证得：PD=GF,PE=CG,则PD+PE=CF.

(2).【变式探究】如图3,当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD-PE=CF；

(3).【结论运用】如图4,将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B上，点C落在点C处，点P为折痕

EF上的任一点，过点P作PG_LBE、PH_LBC,垂足分别为G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH的值;

(4).【迁移拓展】图5是一个航模的截面示意图.在四边形ABCD中，E为AB边上的一点，EDXAD,

EC±CB,垂足分别为D、C,且AD・CE=DE・BC,AB=2V13dm,AD=3dm,BD=V37dm.M、N分别为AE、

图④图⑤

20.在AOAB中，OA=OB,OA±OB.OCDOC=OD,OC±OD.

(2)如图2,若A,0,D三点不在同一条直线上，△OAB和△OCD不重叠.贝ISAAOC=SABOD是否仍成立？

若成立，请予以证明；若不成立，也请说明理由.

图2

(3)若A,0,D三点不在同一条直线上，AOAB和AOCD有部分重叠，经过画图猜想，请直接写出SAAOC

和SABOD的大小关系.

21.如图①，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点0,动点P在线段BC上(不含点B),ZBPE=i

ZACB,PE交BO于点E,过点B作BFJLPE,垂足为F,交AC于点G.

DDD

(1)如图②，当点P与点C重合时，求证：△BOGM^POE；

(2)通过观察、测量、猜想：寞=，并结合图①证明你的猜想;

(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若NACB二a,直接写出黑的值，为

rE

.(用含a的式子表示)

22.如图，已知△ABC内接于。。，且AB=AC,直径AD交BC于点E,F是0E上的一点，使CFIIBD.

(1)求证：BE=CE；

(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由;

(3)若BC=AD=8,求CD的长.

23.如图，已知点。为半圆的圆心，直径AB=12,C是半圆上一点，ODLAC于点D,0D=3.

(1)求AC的长;

(2)求图中阴影部分的面积.

24.如图，AB为的直径，C为。。上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D,AB,DC的延长线

交于点E.

D

(2)若BE=3,CE=3V3，求图中阴影部分的面积.

25.如图，已知等腰△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AD_LBC于点D,点P是BA延长线上一点，点。是线

段AD上一点，OP=OC.

(2)求证：点P在0C的垂直平分线上.

26.在日△ABC中，NACB=90。，D是△ABC内一点，连接AD,BD.在BD左侧作RtABDE,使NBDE=90。,

以AD和DE为邻边作DADEF,连接CD,DF.

(1)若AC=BC,BD=DE.

①如图1,当B,D,F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为.

②如图2,当B,D,F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由.

(2)若BC=2AC,BD=2DE,累=：,且E,C,F三点共线，求雾的值.

AC5CE

27.我们发现，"用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为面积法.

图1图2图3

(1)如图1,在ABC中，NACB=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB边上的高线.用“面积法”求CD的

长.

(2)如图2,在等腰三角形ABC中，AB=AC=13,BC=10,P为底边BC上的任意一点，过点P作PMJ_AB,

PNJLAC,垂足分别为M,N,连结AP,利用SAABC=SAABP+SAACP，求PM+PN的值.

(3)如图3,有一直角三角形纸片ABE,ZACE=90°,AC=4,EC=6,点D在斜边AE上，连结CD,将

△ADC沿CD折叠，点A的对应点A，落在EC边上，求折叠后纸片重叠部分的面积.

答案解析部分

一、单选题

1.A

2.B

3.B

4.C

5.C

6.C

7.D

8.D

9.B

10.D

二、填空题

11.BD=DC

12.噂

5

13.3V3

14.(7,3)

15.30°

16.—

24

17.(1)V3：V5

(2)一：或［

18.®-：l甩京博为

三、综合题

19.(1)证明：(小军的方法)连接AP,如图②

图⑵

PD±AB,PE±AC,CF±AB,

且SAABC=SAABP+SAACP,

-AB«CF=-AB・PD+-AC»PE.

222

,/AB=AC,

・•.CF=PD+PE.

（小俊的方法）过点P作PGLCF,垂足为G,如图②.

,/PD±AB,CF±AB,PG±FC,

/.ZCFD=ZFDP=ZFGP=90°.

「•四边形PDFG是矩形.

/.DP=FG,ZDPG=90°.

/.ZCGP=90°.

-/PE±AC,

/.ZCEP=90°.

ZPGC=ZCEP.

ZBDP=ZDPG=90°.

/.PGIIAB.

ZGPC=ZB.

•・,AB=AC,

/.ZB=ZACB.

/.ZGPC=ZECP.

在4PGC和^CEP中,

NPGC=NCEP

{/GPC=NECP

PC=CP

△PGC^△CEP.

/.CG=PE.

・•.CF=CG+FG

=PE+PD.

（2）证明：连接AP,如图③.

•/PD±AB,PE±AC,CF±AB,

R.SAABC=SAABP-SAACP，

・・.IAB.CF=1AB-PD-|ACPE.

•・•AB=AC,

CF=PD-PE.

（3）过点E作EQ_LBC,垂足为Q,如图④,

・「四边形ABCD是矩形，

/.AD=BC,ZC=ZADC=90°.

/AD=8,CF=3,

/.BF=BC-CF=AD-CF=5.

由折叠可得：DF=BF,ZBEF=ZDEF.

DF=5.

,/ZC=90°,

DC=>JDF2-CF2

=V52-32

=4.

/EQ±BC,ZC=ZADC=90°,

/.ZEQC=90°=ZC=ZADC.

四边形EQCD是矩形.

EQ=DC=4.

ADIIBC,

・•・ZDEF=ZEFB.

•・•ZBEF=ZDEF,

/.ZBEF=ZEFB.

BE=BF.

由问题情境中的结论可得：PG+PH=EQ.

PG+PH=4.

/.PG+PH的值为4.

图④

(4)延长AD、BC交于点F,作BHJ_AF,垂足为H,如图⑤.

*/AD*CE=DE*BC,

.AD_BC

・.DE~EC

ED±AD,EC±CB,

/.ZADE=ZBCE=90°.

△ADE〜△BCE.

ZA=ZCBE.

FA=FB.

由问题情境中的结论可得：ED+EC=BH.

设DH=xdm,

则AH=AD+DH=(3+x)dm.

,/BH±AF,

ZBHA=90°.

・•.BH2=BD2-DH2=AB2-AH2.

AB=2713，AD=3,BD=737，

/.(V37)2-x2=(2y/Ti)2-(3+x)2.

解得：X=l.

・•.BH2=BD2-DH2

=37-1=36.

BH=6dm.

ED+EC=6.

ZADE=ZBCE=90°,

且M、N分别为AE、BE的中点，

DM=AM=EM=-AE,CN=BN=EN=-BE.

22

/.△DEM与ACEN的周长之和

=DE+DM+EM+CN+EN+EC

=DE+AE+BE+EC

=DE+AB+EC

=DE+EC+AB

=6+2713.

/.△DEM与4CEN的周长之和为(6+2后)dm.

国⑤

20.(1)解：:A,O,D三点在一条直线上，OAJ_OB,OC±OD,

・•・ZBOD=NAOC=90°.

-t•SAAOC=I•OA»OC,SABOD=|•OB»OD,

OA=OB,OC=OD,

SAAOC=SABOD

(2)解：AOC=SaBOD是仍成立，

证明如下：作DE_LOB于E,作CF_LOA交AO的延长线于F.

ZBOF=NCOD=90°,

/.ZBOD=NCOF.

NOED=NOFC=90°

在^OED和^OFC中,{NEOD=/FOC

OD=OC

△OEDM△OFC(AAS),

DE=CF,

SAAOC=~・OA・CF,SABOD=-•OB>DE,

22

SAAOC=SABOD

(3)解：SAAOC=SABOD，

作DE_LOB于E,作CF_LOA交AO的延长线于F.

,/ZBOF=NCOD=90°,

ZBOD=NCOF.

NOED=NOFC=90°

在AOED和八OFC中,{4EOD=NFOC

OD=OC

：.△OEDM△OFC(AAS),

DE=CF,

••SAAOC=~*OA*CF,SABOD=~•OB*DE»

SAAOC=SABOD>

21.(1)证明：•.,四边形ABCD是正方形，P与C重合,

・•.OB=OP,ZBOC=ZBOG=90°,

,/PF±BG,ZPFB=90°,

/.ZGBO=90°-ZBGO,ZEPO=90°-ZBGO,

/.ZGBO=ZEPO,

NGBO=ZEPO

在^BOG和^POE中，{OB=OP，

NBOG=ZCOE

：.△BOG合△POE(ASA)

(3)tana

22.(1)证明：.「AD是直径，

/.ZABD=ZACD=90°,

在RtAABD和RtAACD中，

rAB=AC

[AD=AD'

/.RtAABDMRtAACD,

/.ZBAD=ZCAD,

AB=AC,

・•.BE=CE；

(2)证明：四边形BFCD是菱形.理由如下:

证明：AD是直径,AB=AC,

AD±BC,BE=CE,

,/CFIIBD,

/.ZFCE=ZDBE,

在^BED和^CEF中，

NFCE=/DBE

{BE=BE,

/BED=NCEF=90°

△BED2△CEF,

/.CF=BD,

四边形BFCD是平行四边形,

ZBAD=ZCAD,

BD=CD,

四边形BFCD是菱形；

(3)解：；AD是直径，AD_LBC,BE=CE,

CE2=DE«AE,

设DE=x,

BC=8,AD=10,

42=x(10-x),

解得：x=4,

在RtACED中，

CD=>JCE2+DE2=4V2.

23.(1)解：AB=12,OD=3.

/.AO=6,

•/OD±AC,,

AD=y/AO2-DO2=V62-32=373，

.1.AC=2AD=6V3.

(2)解：连OC,在RtAADO中，AO=6,OD=3,，OD=1AO,ZA=30。又丫OA=OC「.ZOCA=N

A=30"

肥=Z

ZAOC=120°S।12℃6_1X3X6V3=12TT-9V3

3602

24.(1)证明：连接OC,如图，

CD与00相切于点E,

COJLCD,

•，,AD±CD,

/.ADIICO,

ZDAC=ZACO,

•1,OA=OC,

ZACO=ZCAO,

ZDAC=ZCAO,

即AC平分NDAB

(2)解：设。O半径为r,

在RtAOEC中，OE2+EC2=OC2

r2+27=(r+3)2解得r=3,

OC=3,OE=6,

OC1

COSZ8E=布，

ZCOE=60°,

60-7T-329b

阴影=ACOE-痢形COB二：3

•'­SSS•3•3V3——71

36022

25.(1)解：如图1,连接OB,

BDC

图1

••AB=AC,AD±BC,

/.BD=CD,NBAD=1ZBAC=\xl20»=60%

OB=OC,ZABC=900-ZBAD=30°

,/OP=OC,

OB=OC=OP,

ZAPO=ZABO,ZDCO=ZDBO,

/.ZAPO+ZDCO=ZABO+ZDBO=ZABD=30°

(2)解：/ZAPC+ZDCP+ZPBC=180°,

ZAPC+ZDCP=150°,

,/ZAPO+ZDCO=30°,

ZOPC+ZOCP=120°,

/.ZPOC=180°-(ZOPC+ZOCP)=60°,

•/OP=OC,

「.△OPC是等边三角形，

OP=PC,

・•・点P在0C的垂直平分线上.

26.(1)DF=V2CD.；结论仍然成立,理由：如图2中，连接CF.延长BD交AF的延长线于H,设AC交

B

BHT-G,百

,・•四边形AFED是平行四边形,/.AF=DE,DEIIAF,/BD=DE,/.AF

图2

=BD,•••ZBDE=90°,/.ZDEH=ZDHA=90°=ZBCG,；NCGB=NAGH,/.ZCBD=ZCAF,=BC=AC,

BCD空.ACF(SAS),：.ZBCD=ZACF,CD=CF,ZBCA=NDCF=90。，二△CDF是等腰直角三角

形，DF=V2CD

(2)解