理学第4章-能量守恒定律-63

能量、能量守恒定律第4章11）动能和功，着重掌握变力作功。2）保守力作功和势能。3）一维势能曲线4）能量守恒定律。2√第4章能量、能量守恒定律4-1动能和功恒力作功及功的定义1.功力的时间积累是冲量，力的空间积累称为功。

物体在恒力作用下作直线运动，并位移了，则定义力对物体作的功为：

功是标量，当0

/2时，W>0，F作正功；当

/2<

时，W<0，F作负功；当

=

/2，W=0，即F与位移垂直时，不作功。3

变力作用于质点，质点沿曲线从a点移到b点，用微元法，将ab分成n小段，每一小段上力近似恒力，

W=Fi•

ri，从a到b，力F作的总功为W≈∑Fi•

ri，当n→∞时

元功

dW=F•dr=F∣dr∣cos

=Fcos

ds=F

ds总功

功率：单位时间内物体作的功称为功率，是反映作功快慢的物理量。单位：瓦特，W，1W=1J/sabF

rarbroF

dr变力作功4在直角坐标系中功的表达式，在自然坐标系中功的表达式，．．．5由功的定义式，做一个定积分。解:例1

一个在x-y平面内运动的质点，在力的作用下移动一段位移，求此过程中力所做的功。(习题二

,9)解:

由功的定义式求解例2一物体受到的力的作用，x以米为单位，F

以N

为单位。问物体从x=1.0m移到x=2.0m时，力F做了多少功？(习题二,10)6解I:例3质量m=1kg的质点在外力作用下，其运动方程为：，则在最初2s内外力对质点所作的功为多少？(习题二,12，lue)由功的定义式求解解2:2s内质点位移：质点受力：外力作功：7运用动能定理求解速度：速度大小：功：

变力作功举例解∴例1作用于质点的力为质点自O点径OAB和ODB至B点时，分别求力所作的功。1)

沿OAB至B作的功8∴2）沿ODB至B作的功可见：功不仅依赖于受力点的始、末位置，且依赖于受力点的路径。功是过程量。9例2弹簧对物体的作用力为，k为物体在xy平面运动时的劲度系数，求当物体从起点(x1,y1)移到终点(x2,y2)时弹力作功的表达式。解:由功的定义，有10解I例3一条长l、质量M的匀质铁链，卷放在光滑桌面上，现抓往铁链一端，垂直而又缓慢上提，求抓起整条铁链所需做的功。提起整条铁链所做的功：桌面

设铁链密度为。上提至时，所需力为铁链重力，即，再令铁链位移，则外力作的元功为解II：由能量守恒，做功等于势能增加，直接得出：

变力作功解题步骤（1）选取坐标；（2）设质点在某一位置，并分析质点受力，将力投影到坐标轴上，给出沿坐标轴力的分量；然后再令质点位移(位移元)，写出元功表达式；（3）用积分计算总功(确定积分上、下限)。

小结12

2.动能、质点动能定理

drabFmorar+drF

r

设质点质量为m，受合力F作用，沿曲线由a移到b，所作元功

dW=F·dr=F

ds

由故

以v0和v表示质点在a点和b点时的速率，对上式积分：

得

W=Ek

–Ek0=

Ek或13表示外力对质点所作的功等于质点动能的增量。定义：动能质点动能定理143.质点组动能定理

由N个质点组成的质点组，考察第i个质点：

---质点组内其它质点对质点i的作用力

---质点组外其它质对质点i的作用力

对第i个质点运用质点动能定理，有：积分后为15对每一个质点运用动能定理，再全部相加，有：．．．．∴去掉脚标得：或质点组动能定理--外力和质点组内力所作的功等于质点组的动能增量。16

质点组动能定理的说明质点组的动能变化不仅取决于系统外的外力作功，而且也与系统内的内力作功有关。③内力作的功取决于系统内质点间的相对位移。如果用、表示外力、内力所作的功，动能定理又可写成：17解II:由功的定义式，由质点动能定理，例1

一质量m=10kg的物体在合力F=3+4x(SI)的作用下，沿x轴运动。设物体开始时静止在坐标原点，求该物体经过x=3m处时的速度？(练习二、11)18按运动学中的第2类问题，积分求解解I:按动能定理求解x=3m时，v=2.3m/s解I：由质点动能定理求解质点速度：例2质量为0.1kg的质点，由静止开始沿曲线运动，运动方程为：，则在t=0到t=2s时间内，作用在该质点上的合外力所做的功为____。由质点动能定理，解II：根据做功的定义式

求解19质点速度：或根据做功的定义式

求解20解:(1)

由质点动能定理求功功：(2)

冲量值例3

一沿x方向的力，作用在一质量为3kg的质点上，质点的运动方程为x=3t-4t2+t3(SI)，则力在最初4秒内作的功为______，力在最初4秒内的冲量值为______

。或由功的定义求解(略)：21一维运动可以用标量，从功的定义求例4

质量为2kg的质点在力（SI）的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。（lue）解：(将被积函数中的化成)∴或解：从动能定理求22

由质点动能定理求功

先求出质点的速度表式，然后再求动能增量。速度表达式：动能增量：；∴由动能定理，得23例5质量为15g的子弹，以v0=

200m/s的速率射入一固定木块。若木块的阻力与子弹射入的深度成正比，即

F=-kx，式中，x为子弹进入木块的深度，k=5.0×10-5

N/m。求子弹射入木块的最大深度d。解：由质点动能定理求解

以子弹为研究对象，子弹所受到外力即为木块阻力，由动能定理，阻力的功=子弹动能增量。功：动能增量：∴241）动能和功，着重掌握变力作功。2）保守力作功和势能。3）一维势能曲线4）能量守恒定律。25√第4章能量、能量守恒定律4-2

保守力作功和势能根据力作功的特性不同，力分为保守力和非保守力。1.保守力及保守力作的功dhdr

maboGhh+dhh

设质量m的质点在重力G的作用下，从a点移动到b点，在位移元dr中重力作功为

当m从a点沿任意路径移动到b点过程中，重力做功为

重力作功26

结果表明，重力做功只决定于质点始、终态的相对位置。若使m沿任意闭合回路移动一周回到a点，则重力做功为零：说明，重力做功与路径无关。27

弹性力作功m

k

设质量m的质点在弹性力F作用下移动到x位置，再令m位移dx，则弹性力作的元功dW为故，质点m从坐标，弹性力作的功为:

表明，弹性力作功只与质点始、末位置有关。若使m始、末位置重合，则弹性力作功为零。28

做功与路径无关，只决定于始、末相对位置的力。万有引力、弹性力和静电力等都是保守力。力的闭合路径积分为零：

做功与路径有关的力。例如爆炸力、牵引力、涡旋力、生物力等。力的闭合路径积分不为零：保守力：非保守力：29

若质点系中各质点之间的作用力都是保守力，因保守力做功只和位置有关，所以系统内各质点所处的不同位置就决定了系统所具有的不同能量状态；

或者说，可用一个表示能量的状态函数来描述系统，这个状态函数称为系统的势能。

定义系统相对位置变化的过程中，保守力做功等于系统势能增量的负值。增量用

Ep表示：2.

势能与保守力的关系势能30在微元过程中势能的增量：

保守力作正功时，W>0，系统以势能减少为代价，当作负功时，势能增加；即外力克服保守力作功，增加系统的势能。

要确定势能的值，必须选定一个参考位置作为势能的零点。设b点作为势能零点S，Epb=Eps=0，则位置a的势能Epa为:31

应用公式时注意：（1）势能是属于相互作用的整个质点系统的。它实质上是一种相互作用能，单一物体不存在所谓的势能。32（3）系统内力必须是保守力。势能是与保守力作功有关的概念。对于非保守力作功，无势能之概念。

（2）势能零点的选择是任意的。零点不同，系统势能值不同，但两个位置的势能差是确定的，与势能零点的选择无关。由保守力和势能关系

不定积分

C为积分常量，决定于势能零点的选择，若选取无限远为势能零点(r→

，Ep=0)，则C=0，得某场点的势能引力

有限远处的引力势能为负值，零是最大势能值。

是径向方向上的单位矢量3.

力学中的几种势能引力势能33

是引力势能的特例，质量为M的地球与质量为m的质点组成质点系，在地面，r=R，重力势能为在离地面h高处，r=R+h，与地面的重力势能差为:

当h不太高时，h<<R，R+h

R，忽略地球自转时

，得若令地球表面为重力势能零点，则Ep=mgh重力势能34选取弹簧的绝对伸长x=0时为势能零点，则C=0，得这样定义势能零点时，弹性势能总是大于零。

oxxF

如图小球位于x处时，所受弹性力，有不定积分

弹性势能35在直角坐标系中，势能的微小负增量为一维的情况下，有4.势能梯度(从势能求保守力)已知保守力F路径积分势能微分保守力

已知势能Ep36得：保守内力等于势能函数梯度的负值。

例1、一质点的势能函数可近似地表述为VP(x)=-ax2+bx

，式中a与b均为正常数，则该质点所受的保守力F=___________。(复习题一、二.16)由保守力与势能的关系，有解37例2、两质点的相互作用势能函数式中a和b是正常量，r是两质点的间距，则两质点处于力平衡(F=0)時，r间距=_______。(06-07期末试题)解由保守力与势能的关系，有平衡時，亦即得：38重力势能引力势能弹性势能地面为零点(h=0)无穷远为零点(r→∞)平衡位置为零点(x=0)

小结重力引力弹性力保守力势能保守力与势能关系391）动能和功，着重掌握变力作功。2）保守力作功和势能。3）一维势能曲线4）能量守恒定律。40√第4章能量、能量守恒定律由势能曲线可以知道：1、在一维情况下有：

因此，保守力大小等于势能曲线的斜率，方向指向势能减少的方向。4-4一维势能曲线41

2、可判断质点的运动范围。在封闭保守系统中，作总能量为E的水平线，与势能曲线相交的点表示E=Ep，这些位置物体的Ek=0。42

3、势能曲线上每一个局部的最低点(“谷”)都是稳定平衡点，势能曲线上每个局部最高点（“峰”）都是不稳定平衡点，一旦质点偏离了不稳定平衡点，质点就会远离而去。因此，势能曲线还能形象地表示出系统的稳定性。43重力势能弹性势能引力势能44例1

一粒子沿x轴运动，它的势能Ep

(x)为x的函数，函数图象如图所示。若该粒子所具的总能量E=0，则该粒子的运动范围

。当粒子处在x2位置时，其动能为

。x1xx2Ep

U0o45例2

一双原子分子的势能函数为

式中

0和x0为常量，x为原子间距离。求：（1）原子间相互作用力为零时的距离；（2）当分子总能量为E时，分子动能的最大值。解(1)由得x0xEp

0o46说明x0为极小值点，求得（2）上式所得x=x0为可能的极值点，其二阶导数动能最大值为471）动能和功，着重掌握变力作功。2）保守力作功和势能。3）一维势能曲线4）能量守恒定律。48√第4章能量、能量守恒定律

4-3能量守恒定律1.功能原理由质点组(系统)的动能定理，

式中，是系统以外物体对系统作的功，是系统内各质点间相互作用力所作的功。49考虑到：则，质点组动能定理又可表述为：式中，称为机械能系统的机械能增量等于系统的外力和系统内的非保守力作功之和。功能原理502.机械能守恒和转换定律功能原理机械能守恒定律：

在封闭、保守系统中总机械能保持恒定51例1有一人造地球卫星，质量为m，在地球表面上空2倍于地球半径R的高度沿圆轨道运行，用m、R、引力常数G和地球的质量M表示：(1)卫星的动能为

；(2)卫星的引力势能为

。相对于无穷远处的引力势能为:52解:（练习三、6）例2质量为m1和m2的两个粒子，最初处于静止状态，且彼此相距无限远，在以后任一瞬间，由于万有引力的作用，彼此接近，求它们接近的相对速度大小(用其间的距离d来表示)*。解：

用动量守恒、机械能守恒定律求解机械能守恒②动量守恒①以两个粒子为系统，因系统只受保守力(万有引力)，所以两粒子的动量守恒、机械能守恒。设m1

、m2速度分别为v1

、v253*若m1或m2中的一个是固定不动的，则对于这两个粒子所组成的系统，其动量和机械能是否守恒？（都不守恒）由①、②两式，得两个粒子的相对速度（不考虑相对论效应）：54解例3测子弹速度的方法如图所示。已知子弹量m=0.02kg，木块质量M=9.98kg，弹簧劲度系数k=100N/m，子弹射入木块后，弹簧被压缩了0.10m，求子弹的速度。设木块与平面间摩擦因数μ=0.2。练习三(2).7

由动量守恒定律