2.1 等式性质与不等式性质（第1课时）（教学课件）-人教A版2019必修第一册高一数学（人教A版2019必修第一册）

人教版2019高一数学（必修一）第一章一元二次函数、方程和不等式第一课时等式性质与不等式性质2.1

等式性质与不等式性质目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结分层练习错因分析学习目标了解不等式的意义，能用不等式(组)表示实际问题

中的不等关系.2.会用作差法比较两个代数式的大小关系.（重点）3.掌握并会应用重要不等式.（重难点）情景导入在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌，轻与重，不超过或不少于等.类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等.相等用等式表示，不等用不等式表示.【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”

连接起来的式子1.不等关系与不等式新知探究【问题1】你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？

（3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.设P是直线AB外任意一点，PQ是P到AB的垂线段，C是直线AB上任意一点，则PC≥PQABCPQ以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式.接着，就可以用不等式研究相应的问题了.【问题2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？我们该如何解这个不等式呢？由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定实数的大小关系；2.比较两个实数的大小新知探究与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质.为此，我们需要先研究不等式的性质.AB

BA

A(B)

关于实数a，b大小比较，有以下的基本事实：【作差法】

如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是负数，那么

a<b.反过来也是如此.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.

【解】运用作差法：

作差变形定号定论

0是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆.这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法.课本例题作差法比较两个实数大小的基本步骤概念归纳作差变形定号结论a-b采用配方、因式分解、通分、有理化等手段判断差与0的大小利用实数a，b大小比较的基本事实下图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？思考探究(1)正方形ABCD的面积S=________；四个直角三角形的面积和S'

=_____;(2)

S与S’有什么样的不等关系，如何表示？（3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相等？

若设直角三角形的两直角边分别为a,b，则

ABCDE(FGH)

当a=b时，S=S'，即ABCDEFGHab当a=b时

如何证明不等式成立？证明：提示：利用完全平方公式即可

例1.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于110m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系．探究一用不等式(组)表示不等式关系典例剖析不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤(1)审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量；(2)列不等关系．列出待求量具备哪些不等关系(即满足什么条件)；(3)列不等式(组)．挖掘题意，建立已知量和待求量之间的关系式，并分析某些变量的约束条件(包含隐含条件)．概念归纳

1.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．练一练例2.已知x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小．探究二比较大小问题典例剖析比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)定号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)结论．提醒：这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提.概念归纳2.若y1=3x2-x+1,y2=2x2+x-1,则y1与y2的大小关系是(

)A.y1>y2 B.y1=y2C.y1<y2 D.随x值变化而变化练一练解析:∵y1-y2=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,∴y1>y2.A练一练1.下面能表示“m与n的和是非正数”的不等式为(

)A.m+n<0 B.m+n>0 C.m+n≤0 D.m+n≥0随堂练2.设M=x2,N=-x-1,则M与N的大小关系是(

)A.M>N B.M=NC.M<N D.与x的取值有关CA随堂练4.一单位的甲、乙、丙三人出差A城办事;在安排住宿时,他们有三种住宿方案可供选择:(1)三人同住一套间;(2)二人住标准间(双人间)、一人住单间;(3)三人各住一个单间.若宾馆方面对每个套间、每个标准间及单间的标价分别为300元、160元和60元;同时对客户实行打折优惠,但这三类房间的折率各不相同,分别为50%,65%和85%,这三人选择住宿方案中最经济的为第

套方案.

随堂练（1）解析:若选择(1)方案,则需支付:y1=300×50%=150(元);若选择(2)方案,则需支付:y2=160×65%+60×85%=155(元);若选择(3)方案,则需支付:y3=60×85%×3=153(元).因为y1<y3<y2,所以选择第(1)套方案最经济.随堂练5.分别写出满足下列条件的不等关系:(1)一个两位数的个位数字y比十位数字x大,且这个两位数小于30;(2)某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件x片和70元的盒装磁盘y盒.根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒.解:(1)y>x>0,9<10x+y<30,且x,y∈N*.(2)x≥3,y≥2,60x+70y≤500,且x,y∈N*.随堂练解0<h≤4；(2)a与b的和是非负实数；解a＋b≥0；(1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4m；1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系.课本练习(3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍.课本练习2.比较(x＋3)(x＋7)和(x＋4)(x＋6)的大小.解因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，所以(x＋3)(x＋7)<(x＋4)(x＋6).课本练习

课本练习错因分析1.若a＞b，则ac2________bc2.易错警示忽视因式可能为0错解：因为c2＞0，且a＞b，所以ac2＞bc2，故填＞.易错防范：上面的解法错在忽视了c＝0的情况．当c＝0时，ac2＝bc2.防范措施是使用不等式的性质时，不可忽视条件．正解：因为c2≥0，且a＞b，所以ac2≥bc2，故应填≥.2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是(

)A.A≤B B.A≥BC.A>B D.大小关系不确定错因分析因忽视配方法在判断符号中的应用致错错解:因为A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab,所以A,B的大小关系不确定.B防范措施1.用作差法比较两个数(式)的大小时,其关键是变形,一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段变形,这样有利于定号.特别是作差后的式子为二次三项式时,常考虑因式分解或配方法变形.2.注意培养逻辑推理素养和数学运算素养.归纳总结分层练习-基础D分层练习-基础D分层练习-基础A分层练习-基础A分层练习-基础D分层练习-基础A分层练习-基础C分层练习-基础分层练习-基础<分层练习-基础分层练习-基础分层练习-基础分层练习-基础分层练习-巩固分层练习-巩固分层练习-巩固分层练习-巩固分层练习-巩固A分层练习-巩固分层练习-巩固B分层练习-巩固现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．分层练习-巩固分层练习-拓展分层练习-拓展2．有一批衬衣原价为每件80元，甲、乙两商场均有销售．现在每个商场都推出了促销政策：到甲商场买一件衬衣优惠4元，买两件每件优惠8元，买三件每件优惠12元，……依此类推，直至减到半价为止；乙商场则一律按原价7折酬宾．某单位欲为每位员工购买一件该衬衣，问：到哪个商场购买比较合算？解：设该单位共需购买x件衬衣，在甲、乙两商场购买分别需付款y元、z元．依题意，有z＝80×70%x＝56x(x≥1，x∈Z)．

分层练习-拓展①若1≤x≤10，x∈Z，则y－z＝(80－4x)x－56x＝4x(6－x)．当1≤x≤5，x∈Z时，6－x＞0，∴y－z＞0，即y＞z.当x＝6时，y－z＝0，即y＝z.当7≤x≤10，x∈Z时，6－x＜0，∴y－z＜0，即y＜z.②若x＞10，x∈Z，则y－z＝40x－56x＝－16x.∵－16x＜0，∴y＜z.综上，若单位人数不超过5人，到乙商场购买合算；若单位人数恰为6人，到甲、乙商场购买一样合算；若