大学数学(高数微积分)第二章行列式第八节课件(课堂讲义)

主要内容定义*第八节拉普拉斯(Laplace)定理行列式的乘法规则拉普拉斯定理行列式的乘法定理这一节介绍行列式的拉普拉斯定理，这个定理可以看成是行列式按一行展开公式的推广.首先我们把余子式和代数余子式的概念加以推广.一、定义定义9

在一个n

级行列式D

中任意选定k行k

列(k

n).位于这些行和列的交点上的k2

个元素按照原来的次序组成一个k

级行列式M,称为行列式

D

的一个k

级子式.在D

中划去这k

行k

列后余下的元素按照原来的次序组成的n-k

级行列式M

,称为k

级子式M

的余子式.从定义立刻看出，M

也是M

的余子式.所以M

和M

可以称为D

的一对互余的子式.例1

在四级行列式中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M

的余子式为例2

在五级行列式中和是一对互余子式.定义10

设D

的k

级子式M

在D

中所在的行、列指标分别是i1,i2,…,ik;j1,j2,…,jk.则M的余子式M

前面加上符号后称做M

的代数余子式.例如，上述上述中M

的代数余子式是中M

的代数余子式是二、拉普拉斯定理引理

行列式D

的任一个子式M

与它的代数余子式A

的乘积中的每一项都是行列式D

的展开式中的一项，而且符号也一致.证明我们首先讨论M

位于行列式D

的左上方的情形：此时M

的代数余子式A

为M

中的每一项都可写作其中

1,

2,…,

k,是1,2,…,k

的一个排列，所以这一项前面所带的符号为M

中的每一项都可写作其中

k+1,

k+2,…,

n

是k+1,k+2,…,n

的一个排列，这一项在M

中前面所带的符号是这二项的乘积是前面的符号是因为每个

比每个

都大，所以上述符号等于因此这个乘积是行列式D

中的一项而且符号相同.下面来证明一般情形.设子式M

位于D的第i1,i2,…,ik

行;第j1,j2,…,jk列，这里i1<i2<…<ik;j1<j2<…<jk.变动D中行列的次序使M

位于D

的左上角.为此，先把第i1

行依次与第i1-1,i1-2,…,2,1行对换.这样经过了i1-1次对换而将第i1

行换到第一行.再将第i2行依次与第i2-1,i2-2,…,2,1行对换而换到第二行，一共经过了i2-2次对换.如此继续进行.一共经过了(i1-1)+(i2-2)+…+(ik-k)=(i1+i2+…+ik)-(1+2+…+k)次行对换而把第i1,i2,…,ik

行依次换到第1,2,…,k行.利用类似的列变换，可以将M

的列换到第1,2,…,k列.一共作了(j1-1)+(j2-2)+…+(jk-k)=(j1+j2+…+jk)-(1+2+…+k)次列变换.用D1

表示这样变换后所得的新行列式，那么由此看出，D1

和D

的展开式中出现的项是一样的,只是每一项都差符号现在M

位于D1

的左上角，所以M

M

中每一项都是D1

中的一项而且符号一致.但是M

A=M

M.所以MA

中每一项都与D

中一项相等.证毕定理7(拉普拉斯定理)

设在行列式D

中任意取定了k(1

k

n-1)个行，由这k

行元素所组成的一切k

级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.证明设D

中取定k

行后得到的子式为M1,M2,…,Mt

,它们的代数余子式分别为A1,A2,…,At

,定理要求证明D=M1A1+M2A2+…+MtAt.相同，并且

MiAi

和MjAj(i

j)无公共项.因此为了证明定理，只要证明等式两边项数相等即可.显然等式左边共有n!项，为了计算右边的项数，首先来求出t.根据子式的取法知道因为Mi

中共有k!项，Ai

中共有(n-k)!项.所以右边共有t

k!(n-k)!=n!项.证毕根据引理，MiAi中每一项都是D

中一项而且符号例3

在行列式中取定第一、二行，得到六个子式：它们对应的代数余子式为由拉普拉斯定理D=M1A1+M2A2+…+M6

A6

=8+6-1+5-18-7=-7.从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是在理论方面应用.利用拉普拉斯定理，可以证明定理8

两个n

级行列式三、行列式的乘法定理其中

cij

是D1

的第i

行元素分别与D2

的第j

列的对应元素乘积之和：cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.证明作一个2n

级行列式的乘积等于一个n

级行列式根据拉普拉斯定理，将D按前n

行展开.则因D中前n

行除去左上角那个n

级子式外，其余的n

级子式都等于零.所以现在来证D=C.对

D

作初等行变换：将第n+1行的a11

倍，第n+2行的a12

倍,…,第2n

行的a1n

倍加到第一行，得再依次将第n+1行的ak1(k=2,3,…,n)倍，第n+2行的ak2

倍,…,第2n

行的akn

倍加到第k

行,就得这个行列式的前n

行也只可能有一个n

级子式不为零，因此由拉普拉斯定理=

C.证毕本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课