初中数学．乘法公式．第12讲．教师版

乘法公式乘法公式考试内容A（基本要求）B（略高要求）C（较高要求）平方差公式、完全平方公式理解平方差公式、完全平方公式，了解其几何背景能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算能根据需要，运用公式进行相应的代数式的变形模块一平方差公式平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是乘方中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）。注意：（1）公式中的和可以是具体的数也可以是单项式或多项式。如：；；；。（2）不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形，也可能运用公式。如：；。模块二完全平方公式；，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中的每一项的平方，另一项是左边二项式中二项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方，首尾之积2倍加减在中央”。注意：（1）公式中的和可以是单项式，也可以是多项式。（2）一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，如：例题精讲例题精讲板块一：公式的几何意义如图，从边长为的正方形内去掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形，上述操作所能验证的公式是__________.如图，左图中阴影部分的面积为，右图中阴影部分的面积为，而两图中阴影部分的面积应该是相等的，故验证的公式为(反过来写也可)【答案】见解析如图，四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于、的恒等式___________.略【答案】或如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形()，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形的面积，验证了公式_________________.左图中阴影部分的面积为，右图中阴影部分的面积为，故验证了公式(反过来写也可)【答案】见解析请设计一个几何图形，验证.换汤不换药，图形同上，将其中的字母修改即可，如图整个大正方形的面积为，两个小正方形的面积分别为、，另外两个长方形的面积均为，故，这就是差的完全平方公式的几何意义.【答案】见解析板块二：平方差公式运用平方差公式计算： ⑵ ⑶⑴⑵⑶【答案】见解析利用平方差公式简化计算：⑴ ⑵ ⑶ ⑷⑴⑵⑶⑷【答案】见解析如果，那么的值是∵，∴，∴【答案】见解析有可能被到之间的两个整数整除，试求出这两个数．，这两个数是和．【答案】见解析已知可能被至之间的两个整数整除，求这两个整数．所求二整数为、．【答案】见解析板块三：完全平方公式计算：⑴ ⑵⑴原式； ⑵原式.【答案】见解析计算：⑴⑵⑶⑷⑴⑵⑶⑷【答案】见解析计算：⑴⑵⑶⑴；⑵；⑶.【答案】见解析计算：⑴⑵⑶⑴原式⑵原式⑶原式【答案】见解析计算：； ⑵； ⑶；⑷先化简，再求值：，其中⑴；.⑶原式⑷又，故原式=【答案】见解析⑴先化简后求值：，其中，.⑵计算：. ⑴又，，故原式.法2：⑵原式【答案】见解析填空：⑴； ⑵；⑶ ⑷；⑸.⑴；⑵；⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸，，【答案】见解析已知，，则．所以，．【答案】见解析如果，那么的值是∵，∴，∴【答案】见解析如果，则一定成立的是()A．是的相反数B．是的相反数C．是的倒数D．是的倒数将原式展开，合并后得到，选择C．【答案】见解析已知实数、满足，，求的值．，，．【答案】见解析已知，求的值．由条件得，【答案】见解析设，为有理数，且，设的最小值为，的最大值为，则．，因为，所以最小值；，所以的最大值，故．【答案】见解析若，则.，

所以，.【答案】见解析板块三：配方思想填空：⑴；⑵；⑶；⑷.⑴；⑵，；⑶，；⑷，.【答案】见解析⑴如果多项式是一个完全平方式，那么的值为⑵如果多项式是一个完全平方式，那么的值为完全平方：，⑴参看公式我们可以发现，学生在此极易少答案；⑵．【答案】见解析如果是完全平方式，试求的值.，故.【答案】见解析若整式是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式是若把视为这一项，，那么单项式可以是；若把视为这一项，，那么单项式可以是；若把视为这一项，，那么可以是，但它不是单项式，所以此答案不符合题意．还可以是、．【答案】见解析甲、乙两个公司用相同的价格购粮，他们各购两次，已知两次的价格不同，甲公司每次购粮1万千克，乙公司每次用1万元购粮，则两次平均价格较低的是公司．设两次购粮的价格分别为元／千克和元／千克()，则甲公司两次购粮的平均价格为(元／千克)乙公司两次购粮的平均价格为(元／千克)因为所以两次平均价格较低的是乙公司．【答案】见解析若，为有理数，且，则．，所以，则．【答案】见解析若，为有理数，且，则．，所以，，．【答案】见解析求的最值．，所以有最小值．【答案】见解析求下列式子的最值：⑴当为何值时，有最小值；⑵当为何值时，有最大值.⑴，故最小值为5；⑵，故最小值为.【答案】见解析设，，若，则实数，满足的条件是．由于，所以实数，满足的条件是或．【答案】见解析课后作业课后作业如图所示的几何图形可以表示的公式是_____________.如图，整个大正方形的面积为，而四个小图形的面积之和为，因此验证的公式为：【答案】见解析计算：⑴ ⑵⑴原式； ⑵原式；【答案】见解析（1） （2）（3） （4）（1）原式（2）原式（3）原始（4）原式【答案】见解析⑴计算：；⑵计算：；⑶计算：；⑴；⑵⑶原始【答案】见解析已知，，求下列各式的值：⑴；⑵；⑶⑴⑵⑶【答案】见解析⑴若，则________⑵若是一个完全平方式，则________⑶若是一个完全平方式，则__