5.6 几何证明举例 同步练习

5.6几何证明举例第一课时全等三角形的判定与“HL”定理基础过关全练知识点一全等三角形的判定1.如图，已知AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，则图中的全等三角形有（）A.1对B.2对C.3对D.4对2.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为.

3.（2022山东成武期中）如图，△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，EF是过点C的直线，AE⊥EF于E，BF⊥EF于F，EF=8，BF=3，求AE的长.知识点二直角三角形全等的判定定理“HL”4.（2022广东韶关期末）如图，已知∠C=∠D=90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是（）A.∠ABC=∠ABDB.∠BAC=∠BADC.AC=ADD.AC=BC5.如图，∠C=90°，AC=10，BC=5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB=PQ，当AP=时，△ABC与△APQ全等.

6.（2022山东聊城茌平期末）已知∠A=∠D=90°，AB=DC，点E，F在直线BC上，位置如图所示，且BE=CF.（1）求证:AF=DE；（2）若PO平分∠EPF，求证:PO垂直平分线段BC.第二课时等腰三角形、等边三角形的性质定理与判定定理基础过关全练知识点三等腰三角形的性质定理与判定定理7.（2022北京顺义期末）如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△PAC，△PAB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数为（）A.1B.3C.5D.78.（2021山东滨州中考）如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点.若AB=AD=DC，∠BAD=44°，则∠C的度数为.

9.（2021山东淄博中考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E.（1）求证:BE=DE；（2）若∠A=80°，∠C=40°，求∠BDE的度数.知识点四等边三角形的性质定理与判定定理10.（2022山东单县期末）如图，AB=AC，DB=DC，若∠ABC=60°，BE=3，则AB=.

11.（2020浙江台州中考）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点.分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是.

12.（2022山东阳谷期末）已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点（点D不与B，C重合），连接AD，以AD为边作∠ADE=∠ADF，分别交AB，AC于点E，F.（1）如图1，若点D是BC的中点，求证:AE=AF；（2）如图2，若∠ADE=∠ADF=60°，猜测AE与AF的数量关系，并证明你的猜测.图1图2第三课时垂直平分线、角平分线的性质定理及其逆定理基础过关全练知识点五线段垂直平分线的性质定理及其逆定理13.（2021浙江台州中考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC.分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF.以点A为圆心，AF的长为半径画弧，交BC的延长线于点H，连接AH.若BC=3，则△AFH的周长为.14.（2021山东阳谷期末）如图，在锐角△ABC中，∠A=80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为.

15.（2021山东滨州滨城期中）△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部的点.（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系?请说明理由；（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系?请说明理由；（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系?请直接回答.图①图②图③知识点六角平分线的性质定理及其逆定理16.（2022山东聊城东昌府期末）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=.

17.（2020辽宁鞍山中考）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF.求证:CB=CD.18.如图，已知点F、G是OA上两点，点M、N是OB上两点，且FG=MN，△PFG和△PMN的面积相等.判断点P是否在∠AOB的平分线上，并说明理由.能力提升全练19.（2021内蒙古通辽中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）A.∠BDE=∠BACB.∠BAD=∠BC.DE=DCD.AE=AC20.（2019浙江衢州中考）“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动.若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（）A.60°B.65°C.75°D.80°21.（2021山东冠县期末）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.90°22.（2020湖北鄂州中考）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°.连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论:①∠AMB=36°；②AC=BD；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD.其中正确结论的个数为（）A.4B.3C.2D.123.（2021山东威海中考）如图，在△ABC中，∠BAC>90°，分别以点A，B为圆心，以大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点D，E.作直线DE，交BC于点M.分别以点A，C为圆心，以大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点F，G.作直线FG，交BC于点N.连接AM，AN.若∠BAC=α，则∠MAN=24.（2021湖北仙桃中考）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.（1）如图1，当BC=CD时，作△ABC的中线BF；（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG.图1图225.（2022山东高密期末）如图，BD平分△ABC的外角∠ABP，DA=DC，DE⊥BP于点E.若AB=5，BC=3，求BE的长.素养探究全练26.[逻辑推理]（2022山东潍坊潍城期末）已知△ABC是等边三角形，点D在边BC上.【问题解决】如图1，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE，求证:BE+BD=AB；【迁移运用】如图2，点F是AB边上一点，以DF为一边作等边三角形DEF，连接BE，求证:BE+BD=BF；【类比探究】如图3，点F是AB延长线上一点，以DF为一边作等边三角形DEF，连接BE，试探究BE，BD，BF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由.图1图2图3

5.6几何证明举例答案全解全析基础过关全练1.D在△AOB和△COD中，OA所以△AOB≌△COD，所以AB=CD，同理△AOD≌△COB，所以AD=BC.在△ABC和△CDA中，AB=同理△ADB≌△CBD.综上，全等三角形有4对.2.1解析如图，延长BD，交AC于点E，因为∠A=∠ABD，所以BE=AE.因为BD⊥CD，所以∠BDC=∠EDC=90°.因为CD平分∠ACB，所以∠BCD=∠ECD.在△CBD与△CED中，∠所以△CBD≌△CED（ASA），所以BC=EC=3，BD=ED=12因为AE=AC-EC=5-3=2，所以BE=AE=2，所以BD=123.解析∵∠BCA=90°，∴∠ACE+∠BCF=180°-90°=90°.∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AEC=∠CFB=90°，∴∠EAC+∠ACE=90°，∴∠EAC=∠BCF.在△ACE与△CBF中，∠∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CE=BF=3，AE=CF，∴CF=EF-CE=8-3=5，∴AE=5.4.C在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵AB=AB，∴要使用“HL”判定两个直角三角形全等，需添加条件AC=AD或BC=BD，故选C.5.5或10解析∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，∴∠C=∠PAQ=90°.分两种情况:①当AP=BC=5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，AB∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当AP=AC=10时，在Rt△ABC和Rt△PQA中，AB∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）.综上所述，当AP=5或10时，△ABC与△APQ全等.6.证明（1）∵BE=CF，∴BE+BC=CF+CB，∴CE=BF.在Rt△ABF与Rt△DCE中，BF∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），∴AF=DE.（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE，∴∠E=∠F，∴PE=PF，又∵PO平分∠EPF，∴PO⊥BC，EO=FO，又∵EB=FC，∴BO=CO，∴PO垂直平分线段BC.7.C如图，分三种情况考虑:①当AP=AC时，以A为圆心，AC的长为半径画圆，交直线l于点P1，P2；②当CA=CP时，以C为圆心，CA的长为半径画圆，交直线l于点P3，P4；③当PA=PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5.∵直线l是边AB的垂直平分线，∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形，∴满足条件的点P的个数为5.8.34°解析∵AB=AD，∴∠B=∠ADB，∵∠BAD=44°，∴∠B=∠ADB=180°−44°2∵AD=DC，∴∠C=∠DAC，∵∠ADB=∠C+∠DAC，∴∠C=129.解析（1）证明:∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE.（2）∵∠A=80°，∠C=40°，∴∠ABC=60°.∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=12由（1）知∠BDE=∠EBD，∴∠BDE的度数为30°.10.6解析∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB=BC.在△ABD和△ACD中，AB∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，∴AE平分∠BAC，∴BC=2BE=6，∴AB=BC=6.11.6解析因为等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，所以EF=2.因为△ABC是等边三角形，所以∠B=∠C=60°，又因为DE∥AB，DF∥AC，所以∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，所以△DEF是等边三角形，所以剪下的△DEF的周长是2×3=6.12.解析（1）证明:∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴∠BAD=∠CAD，在△ADE和△ADF中，∠∴△ADE≌△ADF（ASA），∴AE=AF.（2）AE=AF，证明如下:如图，过点A作AM⊥DF于点M，作AH⊥DE，交DE的延长线于点H.∵∠ADE=∠ADF=60°，∴DA平分∠EDF，又AH⊥DE，AM⊥DF，∴AH=AM.∵∠ADE=∠ADF=60°，∴∠EDF=120°，∵∠AED+∠AFD+∠BAC+∠EDF=360°，∠BAC=60°，∴∠AED+∠AFD=180°，∵∠AED+∠AEH=180°，∴∠AEH=∠AFD.在△AHE和△AMF中，∠∴△AHE≌△AMF（AAS），∴AE=AF.13.6解析由作图方法可得DE垂直平分AB，∴AF=BF.由题意得AF=AH，AC⊥FH，∴FC=CH，∴AF+FC=AH+CH=BF+FC=BC=3，∴△AFH的周长=AF+FC+CH+AH=2BC=6.14.10°解析如图，连接DA、DC，在△ABC中，因为∠BAC=80°，所以∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°.因为DE和DF分别垂直平分边AB、AC，所以DA=DB，DA=DC，所以DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，所以∠DBC=∠DCB，∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=∠BAC=80°，所以∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）-（∠DBA+∠DCA）=100°-80°=20°，所以∠DBC=12×20°=10°15.解析（1）∠BPC=90°+12因为BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，所以∠PBC=12∠ABC，∠PCB=1所以∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-1=180°-12=180°-12=90°+12（2）∠BOC=2∠BAC.理由如下:如图，连接AO.因为点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，所以OA=OB=OC，所以∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，所以∠AOB=180°-2∠OAB，∠AOC=180°-2∠OAC，所以∠BOC=360°-（∠AOB+∠AOC）=360°-（180°-2∠OAB+180°-2∠OAC）=2∠OAB+2∠OAC=2（∠OAB+∠OAC）=2∠BAC.故∠BOC=2∠BAC.（3）4∠BPC-∠BOC=360°.因为点P为三角形三个内角平分线的交点，所以∠BPC=90°+12QUOTE12∠BAC，所以∠BAC=2∠BPC-180°.因为点O为三角形三边垂直平分线的交点，所以∠BOC=2∠BAC，所以∠BOC=2（2∠BPC-180°）=4∠BPC-360°，即4∠BPC-∠BOC=360°.16.56°解析如图，∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°，由作图痕迹得AE平分∠DAC，∴∠EAC=12∠DAC=1由作图痕迹得EH垂直平分线段AC，∴∠AHE=90°，∴∠AEH=90°-∠EAH=56°，∴∠α=∠AEH=56°.17.证明如图，连接AC，在△AEC与△AFC中，AC所以△AEC≌△AFC（SSS），所以∠CAE=∠CAF.因为∠B=∠D=90°，所以CB⊥AB，CD⊥AD，所以CB=CD.18.解析点P在∠AOB的平分线上.理由如下:如图，过点P作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.∵S△PFG=12FG·PD，S△PMN=1∴12FG·PD=1又∵FG=MN，∴PD=PE，又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴点P在∠AOB的平分线上.能力提升全练19.B根据尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，∴∠B+∠BDE=90°.∵DC⊥AC，DE⊥AB，AD平分∠BAC，∴DE=DC，∠B+∠BAC=90°，∴∠BDE=∠BAC.在Rt△AED和Rt△ACD中，AD∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE=AC，∵DE不一定是AB的垂直平分线，∴不能证明∠BAD=∠B.综上所述，选项A，C，D正确，选项B错误.20.D因为OC=CD=DE，所以∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，所以∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，因为∠O+∠OED=∠ODC+∠DCE=3∠ODC=∠BDE=75°，所以∠ODC=25°，因为∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°，所以∠CDE=105°-∠ODC=80°.故选D.21.C如图，连接BE，与AD交于点P，因为△ABC是等边三角形，AD⊥BC，所以PC=PB，所以PE+PC=PE+PB=BE，即BE的长就是PE+PC的最小值.因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC=AC.又因为E为AC的中点，所以AE=EC，所以BE⊥AC，∠EBC=12因为PB=PC，所以∠PCB=∠PBC=30°，所以∠CPE=∠PBC+∠PCB=60°，故选C.22.B因为∠AOB=∠COD=36°，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中，OA所以△AOC≌△BOD（SAS），所以∠OCA=∠ODB，∠OAC=∠OBD，AC=BD，②正确；由三角形的外角性质，得∠CMD+∠OCA=∠COD+∠ODB，因为∠OCA=∠ODB，所以∠CMD=∠COD=36°，所以∠AMB=∠CMD=36°，①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA=∠OHB=90°.在△OGA和△OHB中，∠所以△OGA≌△OHB（AAS），所以OG=OH，所以MO平分∠AMD，④正确；假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM.在△AMO与△DMO中，∠所以△AMO≌△DMO（ASA），所以AO=OD.因为OC=OD，所以OA=OC，而OA<OC，与题干条件矛盾，③错误.综上，正确的为①②④，共3个，故选B.23.2α-180°解析在△ABC中，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α.由作图痕迹得DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，∴MA=MB，NA=NC，∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，∴∠MAB+∠NAC=∠B+∠C=180°-α，∴∠MAN=∠BAC-（∠MAB+∠NAC）=α-（180°-α）=2α-180°.24.解析（1）如图1，线段BF即为所求.（2）如图2，线段BG即为所求.图1图225.解析过点D作BA的垂线，交AB于点H，∵BD平分∠ABP，DE⊥BP，∴DE=DH.在△DEB和△DHB中，∠∴△DEB≌△DHB