2.6 等腰三角形 同步练习

2.6等腰三角形第一课时等腰三角形的性质基础过关全练知识点一等腰三角形的性质1.（2021内蒙古赤峰中考）如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE.若∠ABC=30°，则∠D的度数为（）A.85°B.75°C.65°D.30°2.（2022山东曹县期中）如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AB=AC，∠CAD=20°，则∠ABE的度数为（）A.20°B.35°C.40°D.70°3.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC=AD，BC=4，E为CD上一点，且ED=AB，则AE的长为.

4.（2022山东高唐期中）如图，AD是∠BAC的平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F，试说明:EC平分∠DEF.5.（教材P59变式题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，那么BD与CE相等吗?为什么?6.（2022山东临清期中）如图，在△ABC中，AC=BC，点D是△ABC外的一点，连接CD、BD、AD，线段BC与AD相交于点F，E为AF上一点，连接CE.已知∠CAD=∠CBD，∠ACB=∠ECD.（1）证明:CE=CD；（2）若∠CAB=72°，求∠ADB的大小.第二课时等腰三角形的判定基础过关全练知识点二等腰三角形的判定7.（2022山东冠县期中）下列能判定三角形是等腰三角形的是（）A.有两个角分别为30°、60° B.有两个角分别为40°、80°C.有两个角分别为50°、80° D.有两个角分别为100°、120°8.（2022山东曹县期中）如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点也是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（）A.6B.7C.8D.99.（2022山东高唐期中）如图，AB=AC，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，若∠A=36°，则下列结论中，①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分线；③△DBC是等腰三角形；④△BCD的周长=AB+BC，正确的是（填序号）.

10.（2021山东高唐期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，∠ABE=∠ACD，BE与CD相交于点F，请判断△ABC的形状，并说明理由.11.（2022山东冠县期中）如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点，点E是边AC上的一点，且AB=AC=DC，BD=CE，连接AD、DE.（1）求证:△ADE是等腰三角形；（2）若∠ADE=40°，请求出∠BAC的度数.12.（2021山东安丘期中）如图，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴于G，连接OB、OC.（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（2）若点B、C关于y轴对称，求证:AO⊥BO.第三课时等边三角形的性质与判定基础过关全练知识点三等边三角形及其性质13.（2022山东曹县期中）如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，AE=AD，则∠ADE的度数为.

14.（2022山东巨野期中）如图，△ACD是等边三角形，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，求∠BAE的度数.15.（2022山东聊城东昌府期末）如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F.（1）试说明AD=CE；（2）求∠DFC的度数.知识点四等边三角形的判定16.（2021山东阳谷期中）下列图形:①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三条边都相等的三角形.其中是等边三角形的有（填序号）.

17.（2022山东成武期中）如图，在等边△ABC的三条边AB，BC，CA上分别取点D，E，F，使得AD=BE=CF，连接DE，EF，FD.△DEF是等边三角形吗?为什么?能力提升全练18.（2021湖南永州中考）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A，B为圆心，大于12A.30°B.40°C.50°D.60°19.（2021山东潍坊潍城期中）如图，在△ABC中，∠B=40°，AB=CB，AF=CD，AE=CF，则∠EFD的度数为（）A.50°B.60°C.70°D.80°20.（2021山东诸城期中）如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，使NG=NQ，若△MNP的周长为24，MQ=a，则△MGQ的周长是（）A.12+2a B.8+a C.6+2a D.4+3a21.（2022山东巨野期中）如图，∠AOB=30°，M，N分别是射线OA，OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=7cm，则△PMN的周长的最小值为cm.

22.（2021浙江绍兴中考）如图，在△ABC中，∠A=40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD=BC=CE，连接CD，BE.（1）若∠ABC=80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）写出∠BEC与∠BDC之间的关系，并说明理由.23.（2020山东烟台中考）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证:CE+CF=CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系，并说明理由.图1图2素养探究全练24.[逻辑推理]如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC作垂线，垂足分别为E，F，CG是AB边上的高.（1）猜想DE，DF，CG之间存在怎样的数量关系，并说明理由；（2）若点D在底边BC的延长线上，（1）中的结论还成立吗?若不成立，又存在怎样的关系?请说明理由.25.[数学运算]如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE.（1）如图1，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；（2）如图2，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由.图1图2备用图

2.6等腰三角形答案全解全析基础过关全练1.B∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠D=∠CED=180°−∠C2.B∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∴∠ABC=∠C=12∵BE是△ABC的角平分线，∴∠ABE=123.4解析∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠BAC=∠ADC.在△ABC和△DEA中，AB∴△ABC≌△DEA（SAS），∴AE=BC=4.4.证明∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.在△ACD和△AED中，AC∴△ACD≌△AED，∴CD=ED，∴∠DEC=∠DCE.∵EF∥BC，∴∠FEC=∠DCE，∴∠DEC=∠FEC，∴EC平分∠DEF.5.解析BD=CE.理由如下:如图，过点A作AP⊥BC于P.因为AB=AC，所以BP=PC，因为AD=AE，所以DP=PE，所以BP-DP=PC-PE，即BD=CE.理由也可如下:因为AB=AC，所以∠B=∠C，因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED，所以∠ADB=∠AEC.在△ADB和△AEC中，∠所以△ADB≌△AEC（AAS），所以BD=CE.6.解析（1）证明:∵∠ACB=∠ECD，∴∠ACB-∠ECB=∠ECD-∠ECB，即∠ACE=∠BCD.又∵AC=BC，∠CAD=∠CBD，∴△CAE≌△CBD（ASA），∴CE=CD.（2）∵AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=72°，∵∠CAD=∠CBD，∠CAB=∠CAD+∠DAB=72°，∴∠CBD+∠DAB=72°，∴∠CBA+∠CBD+∠DAB=∠ABD+∠DAB=72°+72°=144°，∴∠ADB=180°-（∠ABD+∠DAB）=180°-144°=36°.7.C选项A，可得第三个角为90°，错误；选项B，可得第三个角为60°，错误；选项C，可得第三个角为50°，有两个角相等，正确；选项D，100°+120°>180°，错误.8.C如图，分情况讨论:①当AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②当AB为等腰△ABC的腰时，符合条件的C点有4个.综上，符合条件的点C的个数为8.9.①②③④解析△ABC中，∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=180°−∠A∵DM是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°，∴∠ABD=∠DBC，∴BD是∠ABC的平分线，②正确；∵∠DBC=36°，∠C=72°，∴∠BDC=180°-36°-72°=72°，∴∠BDC=∠C，∴BC=BD，∴△DBC是等腰三角形，③正确；∵BD=AD，∴△BCD的周长=BD+BC+CD=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC，④正确.10.解析△ABC是等腰三角形.理由如下:在△BDF与△CEF中，∠DFB所以BF=CF，所以∠FBC=∠FCB，所以∠FBC+∠ABE=∠FCB+∠ACD，即∠ABC=∠ACB，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形.11.解析（1）证明:∵AB=AC，∴∠B=∠C.在△ABD和△DCE中，AB∴△ABD≌△DCE（SAS），∴AD=DE，∴△ADE是等腰三角形.（2）∵△ABD≌△DCE，∴∠BAD=∠EDC，∴∠BAD+∠BDA=∠BDA+∠EDC=180°-∠ADE=140°，∴在△ABD中，∠B=180°-140°=40°，∴∠C=∠B=40°，∴∠BAC=180°-40°-40°=100°.12.解析（1）△AOG是等腰三角形.证明:因为AC∥y轴，所以∠CAO=∠AOG，因为AO平分∠BAC，所以∠CAO=∠GAO，所以∠GAO=∠AOG，所以AG=GO，所以△AOG是等腰三角形.（2）如图，连接BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，因为AC∥y轴，点B、C关于y轴对称，所以AN=CK=BK.在△ANG和△BKG中，∠所以△ANG≌△BKG（AAS），所以AG=BG.由（1）得AG=OG，所以OG=BG，所以∠BOG=∠OBG，因为∠OAG+∠AOG+∠BOG+∠OBG=180°，所以∠AOG+∠BOG=90°，所以AO⊥BO.13.75°解析∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=12∵AE=AD，∴∠ADE=∠AED=180°−30°214.解析∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠CAD=60°.在△ABC与△DEA中，AB∴△ABC≌△DEA（SSS），∴∠BAC=∠ADE，∴∠BAC+∠DAE=∠ADE+∠DAE=180°-115°=65°，∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°.15.解析（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC.又∵AE=BD，∴△AEC≌△BDA（SAS），∴AD=CE.（2）∵△AEC≌△BDA，∴∠ACE=∠BAD，∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°.16.①②③④解析根据等边三角形的定义和判定方法可知，①②③④都是等边三角形.17.解析△DEF是等边三角形，理由如下:∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA，∵AD=BE=CF，∴BD=EC=AF.在△ADF和△BED中，AD∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF=DE，同理，△BED≌△CFE（SAS），∴DE=EF，∴DE=EF=FD，∴△DEF是等边三角形.能力提升全练18.A由作法得MN垂直平分线段AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=50°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=80°-50°=30°.19.C△ABC中，因为∠B=40°，AB=CB，所以∠A=∠C=12在△AEF和△CFD中，AE所以△AEF≌△CFD（SAS），所以∠AFE=∠CDF.因为∠AFD=∠AFE+∠EFD，∠AFD=∠C+∠CDF，所以∠EFD=∠C=70°.20.A在△MNP中，因为∠P=60°，MN=NP，所以△MNP是等边三角形，所以∠PMN=∠PNM=60°.因为△MNP的周长为24，所以PM=PN=MN=8，又因为MQ⊥PN，垂足为Q，所以PQ=NQ=4，∠QMN=12因为NG=NQ=4，∠G+∠NQG=∠PNM，所以∠G=∠NQG=12所以QG=MQ=a，所以△MGQ的周长=MN+NG+MQ+GQ=8+4+a+a=12+2a.故选A.21.7解析如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，CD与OA、OB的交点即为所求点M、N，∴△PMN的周长=PM+PN+MN=CM+DN+MN=CD，此时△PMN的周长最小.∵点P与点D关于OB对称，∴PO=OD，∠POB=∠DOB.∵点P与点C关于OA对称，∴OP=OC，∠POA=∠COA，∵∠AOB=∠POA+∠POB=30°，∴∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠AOB=60°，又∵OC=OP=OD，∴△OCD为等边三角形，∴CD=OC=OP=7cm，∴△PMN的周长的最小值为7cm.22.解析（1）在△BDC中，∵∠ABC=80°，BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=12在△ABC中，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=60°，∵CE=BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC=60°，∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°.（2）∠BEC+∠BDC=110°，理由如下:设∠BEC=α，∠BDC=β，则α=∠A+∠ABE=40°+∠ABE，∵CE=BC，∴∠CBE=∠BEC=α，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=40°+2∠ABE，在△BDC中，∵BD=BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+40°+2∠ABE=180°，∴β=70°-∠ABE，∴α+β=40°+∠ABE+70°-∠ABE=110°，∴∠BEC+∠BDC=110°.23.解析【问题解决】证明:如图1所示，在CD上截取CH=CE，连接EH.图1因为△ABC是等边三角形，所以∠ECH=60°，所以△CEH是等边三角形，所以EH=EC=CH，∠CEH=60°.因为△DEF是等边三角形，所以DE=FE，∠DEF=60°，所以∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=60°，所以∠DEH=∠FEC.在△DEH和△FEC中，DE所以△DEH≌△FEC（SAS），所以DH=CF，所以CD=CH+DH=CE+CF，所以CE+CF=CD.【类比探究】CF=CD+CE.理由如下:因为△ABC是等边三角形，所以∠A=∠B=60°.如图2所示，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，图2所以∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°，所以△GCD为等边三角形，所以DG=CD=CG.因为△EDF为等边三角形，所以ED=DF，∠EDF=∠GDC=60°，所以∠EDG=∠FDC.在△EG