17.2 直角三角形 同步练习

第十七章特殊三角形17.2直角三角形基础过关全练知识点1直角三角形的概念及判定定理1.如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1=∠2，则△ABC是()A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定2.下列说法中错误的是()A.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，则△ABC为直角三角形B.在△ABC中，若∠A=∠B-∠C，则△ABC为直角三角形C.在△ABC中，若∠A=12∠B=13∠C，则D.在△ABC中，若∠A=∠B=2∠C，则△ABC为直角三角形3.(2023河南信阳浉河新时代学校质检)如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B.求证：△ACD是直角三角形.知识点2直角三角形的性质定理4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠1=30°，AD=6，则AB的长度为()A.7 B.8 C.9 D.105.(2023山东济宁任城期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，线段AB的垂直平分线分别交BC、AB于D、E.求证：DB=2AC.6.(2023江苏兴化乐吾实验学校质检)如图，在锐角△ABC中，CF⊥AB，BE⊥AC，连接EF，M、N分别是BC、EF的中点.(1)求证：MN⊥EF；(2)若∠A=80°，求∠EMF的度数.能力提升全练7.(2022湖南岳阳中考)如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是()A.30° B.40° C.50° D.60°8.(2023河北张家口一中月考)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若∠A=30°，BD=2cm，则AB的长是()A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm9.(2022湖南永州中考)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的中点，BD=2，则BC的长为()A.3 B.23 C.2 D.410.(2020贵州黔西南州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，BC=33，则BD的长度为.

素养探究全练11.(2022江苏南通崇川期末)定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β=100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”.(1)如图1，在△ABC中，∠C=80°，BD平分∠ABC，求证：△ABD为“奇妙三角形”；(2)若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C=80°，求证：△ABC是直角三角形；(3)如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A=40°，直接写出∠C的度数. 图1 图2

第十七章特殊三角形17.2直角三角形答案全解全析基础过关全练1.A∵ED⊥AB，∴∠1+∠A=90°，∵∠1=∠2，∴∠2+∠A=90°，∴∠ACB=90°，即△ACB是直角三角形.故选A.2.DA.在△ABC中，因为∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，所以∠C=90°，∠A=∠B=45°，所以△ABC为直角三角形，不符合题意；B.在△ABC中，因为∠A=∠B-∠C，所以∠B=90°，所以△ABC为直角三角形，不符合题意；C.在△ABC中，因为∠A=12∠B=13∠C，所以∠C=90°，∠B=60°，∠A=30°，所以△ABC为直角三角形，不符合题意；D.在△ABC中，因为∠A=∠B=2∠C，所以∠A=∠B=72°，∠C=36°，所以△ABC不是直角三角形3.证明∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴△ACD是直角三角形.4.B∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠1=30°，∴BC=2BD，∠B=90°-∠1=60°，∵∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠B=30°，∴AB=2BC=4BD，∴AB=43AD=8，5.证明如图，连接AD，∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=30°，∵∠C=90°，∴AC=12∵BD=AD，∴DB=2AC.6.解析(1)证明：如图，连接FM、EM，∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠CEB=∠CFB=90°，∵M是BC的中点，∴BM=FM=12BC,CM=EM=12BC∵N是EF的中点，∴MN⊥EF.(2)∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°，∵BM=FM，EM=MC，∴∠ABC=∠BFM，∠ACB=∠CEM，∴∠BFM+∠CEM=100°，∴∠FMB+∠EMC=360°-(∠ABC+∠ACB+∠BFM+∠CEM)=160°，∴∠EMF=180°-(∠FMB+∠EMC)=20°，故∠EMF的度数为20°.能力提升全练7.C如图，在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠C=40°，则∠CED=90°-40°=50°，∵l∥AB，∴∠1=∠CED=50°，故选C.8.C∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°.∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4cm.∵∠A=30°，∴AB=2BC=8cm.故选C.9.C解法一：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为边AC的中点，BD=2，∴AC=2BD=4，∵∠C=60°，∴∠A=30°，∴BC=12解法二：∵∠ABC=90°，点D为边AC的中点，∴AC=2BD，∴BD=CD，∵∠C=60°，∴△BCD为等边三角形，∴BC=BD=2，故选C.10.答案23解析∵∠C=90°，∠ADC=60°，∴∠DAC=30°，∴CD=12AD∵∠B=30°，∠ADC=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AD，∴BD=2CD，∵BC=33，∴CD+BD=CD+2CD=33，∴CD=3，∴BD=23.素养探究全练11.解析(1)证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD.在△ABC中，∵∠C=80°，∴∠A+∠ABC=180°-∠C=180°-80°=100°，即∠A+2∠ABD=100°，∴△ABD为“奇妙三角形”.(2)证明：在△ABC中，∵∠C=80°，∴∠A+∠B=100°，∵△ABC为“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B=100°或∠C+2∠A=100°，∴∠B=10°或∠A=10°，当∠B=10°时，∠A=90°，△ABC是直角三角形；当∠A=10°时，∠B=90°，△ABC是直角三角形.综上所述，△ABC是直角三角形.(3)∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD，∵△ABD为“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD=100°或2∠A+∠ABD=1