数学示范教案：三角函数的定义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o(\s\up7()，\s\do5(整体设计))教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念．教材中是分三步引入三角函数的定义的．首先以锐角三角函数为引子，即当象限角为锐角时，复习直角三角形中的边、角关系，锐角三角函数；接着推广锐角三角函数，即在象限角的终边上任取一点,启发学生研讨这一点的坐标与象限角大小的关系，进而证明三个比值eq\f(x,r)，eq\f(y,r)，eq\f（y，x）与点在终边上的位置无关；最后根据判断函数的标准(函数值是否唯一，是否给出定义域)，定义正弦、余弦和正切三个三角函数．本小节的第二个内容是判断三个三角函数在各象限的符号，为进一步研究三角函数作好准备．例题1、2的作用是学会由已知条件求三角函数值，掌握终边在坐标轴上的角的三角函数值．三维目标1．理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．3．能根据三角函数的符号，确定角所在的象限．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数，三角函数符号．课时安排1课时eq\o（\s\up7（),\s\do5（教学过程）)导入新课思路1.我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗?譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．思路2。引导学生回忆锐角三角函数概念，体会引进象限角概念后，用角的终边上点的坐标比表示锐角三角函数的意义,从而为定义任意角的三角函数奠定基础．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究））定义1eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出问题))eq\a\vs4\al(1我们曾学习了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗?，2你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗?）活动：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图1所示，以角α的顶点O为坐标原点,以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy,并且使∠xOy＝90°。图1如图1(1），α为锐角，记∠MOP＝α，P(x，y）是α终边上不同于坐标原点的任意一点，MP⊥Ox于点M,则OM＝x，MP＝y，r＝OP＝eq\r（x2＋y2）>0，根据锐角三角函数的定义知sinα＝eq\f(y，r)，cosα＝eq\f(x，r），tanα＝eq\f（y，x），cotα＝eq\f（x,y).讨论结果：(1)锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数．（2)略．定义2eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出问题）)eq\a\vs4\al（1如果改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？,2怎样根据锐角三角函数的定义来定义任意角的三角函数？)活动:教师先让学生们相互讨论,并让他们动手画画图形,看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变．在任意角α的终边上取点A(图1（2））,使OA＝1，设点A的坐标为(l,m)，再任取一点P(x，y)，设OP＝r（r≠0)，由相似三角形对应边成比例,得eq\f(|x｜,r)＝|l|，eq\f（|y|,r)＝|m｜，eq\f(|y|，|x|）＝eq\f(|m｜，｜l｜）。因为A，P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同．因此得eq\f（x，r）＝l，eq\f(y,r)＝m，eq\f（y，x)＝eq\f(m,l）。不论点P在终边上的位置如何,它们都是定值，它们只依赖于α的大小,与点P在α终边上的位置无关．即当点P在α的终边上变化时，这三个比值始终等于定值．因此我们可定义eq\f(x,r)叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα＝eq\f（x,r）；eq\f(y，r)叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα＝eq\f（y，r)；eq\f（y，x)叫做角α的正切,记作tanα,即tanα＝eq\f(y,x）。依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当α≠2kπ±eq\f（π,2）（k∈Z）时，它有唯一的正切值与之对应．因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数．由图1（1）可以看出，当α为锐角时，上述所定义的三角函数与在直角三角形中所定义的三角函数是一致的．有时我们还用到下面三个函数角α的正割：secα＝eq\f（1,cosα）＝eq\f（r,x)；角α的余割：cscα＝eq\f（1,sinα)＝eq\f(r，y）;角α的余切：cotα＝eq\f(1,tanα)＝eq\f（x，y）.这就是说，secα，cscα，cotα分别是α的余弦、正弦和正切的倒数．教师出示定义后，可让学生解释一下定义中的对应关系．教师应指出任意角的正弦、余弦、正切的定义是本节教学的重点．教师在教学中可以在学生对锐角三角函数已有的几何直观认识的基础上,先建立直角三角形的锐角与第一象限角的联系，在直角坐标系中考查锐角三角函数,得出用角的终边上点的坐标(比值）表示锐角三角函数的结论．在此基础上，再定义任意角的三角函数．教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：①正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．②sinα不是sin与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan"等是没有意义的．③当α的终边在y轴上，即α＝2kπ±eq\f(π，2）（k∈Z)时，tanα，secα没有意义;当α的终边在x轴上，即α＝kπ（k∈Z)时，cotα,cscα没有意义．讨论结果：（1）略．（2)略．三角函数在各象限的符号eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出问题))eq\a\vs4\al（1学习了任意角，我们可以对哪些问题进行讨论？,2根据三角函数的定义，正弦、余弦、正切的定义域、值域是怎样的?，3怎样判断三角函数在各象限的符号?)活动：请根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入下表，再将这三种函数的值在各象限的符号填入图2中的括号内．三角函数定义域sinαcosαtanα图2教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面内点的坐标的特征得定义域、函数值的符号等结论．对于正弦函数sinα＝y，因为y恒有意义，即α取任意实数,y恒有意义,也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域;对于正切函数tanα＝eq\f(y,x）,因为x＝0时，eq\f（y，x)无意义，即tanα无意义,又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，eq\f(y，x）恒有意义,即tanα恒有意义,所以正切函数的定义域是α≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z)．（由学生填写下表)三角函数定义域sinαRcosαRtanα{α｜α≠eq\f(π,2）＋kπ,k∈Z}三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x,y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的,对于第三、四象限角是负的（可制作课件展示)；同样地,余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面探究问题．即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．讨论结果：(1)定义域、值域、单调性等．(2)y＝sinα与y＝cosα的定义域都是全体实数R，值域都是［－1,1]．y＝tanα的定义域是｛α|α≠eq\f(π,2）＋kπ(k∈Z）｝,值域是R.（3）由三角函数定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以确定三角函数的符号．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例）)思路1例1已知角α的终边经过点P（2，－3),求角α的六个三角函数值．活动：教师留给学生一定的时间，学生独立思考并回答．明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数．教师要点拨引导学生习惯画图,充分利用数形结合，但要提醒学生注意α角的任意性．解：如图3,因为x＝2,y＝－3，图3所以r＝eq\r（22＋－32)＝eq\r（13)。于是sinα＝eq\f（y,r)＝eq\f(－3，\r（13））＝－eq\f（3\r（13）,13)，cosα＝eq\f(x，r）＝eq\f(2,\r（13））＝eq\f（2\r(13),13)，tanα＝eq\f(y，x）＝－eq\f(3,2)，cotα＝－eq\f(2,3),secα＝eq\f(r,x)＝eq\f（\r（13),2),cscα＝eq\f（r,y)＝－eq\f（\r（13）,3).例2求下列各角的六个三角函数值：(1)0；(2)π；（3)eq\f（3π，2).活动：教师引导学生充分利用三角函数定义，必要时也可画出图形，通过本例进一步理解三角函数定义中比值与点P的位置没有关系．解：(1)因为当α＝0时,x＝r，y＝0，所以sin0＝0,cos0＝1，tan0＝0，csc0不存在，sec0＝1,cot0不存在；（2）因为当α＝π时,x＝－r，y＝0，所以sinπ＝0，cosπ＝－1，tanπ＝0,cotπ不存在,secπ＝－1，cscπ不存在；（3)因为当α＝eq\f(3π，2）时，x＝0，y＝－r，所以sineq\f（3π，2)＝－1，coseq\f（3π，2）＝0，taneq\f（3π,2)不存在，coteq\f(3π,2)＝0,seceq\f（3π,2)不存在，csceq\f(3π,2)＝－1.变式训练1．若角α的终边经过点(－eq\r(2)，－eq\r(3））,则sinα－cosα的值是()A.eq\f(\r(10）－\r(15），5）B.eq\f(\r（2）－\r(3）,5）C.eq\f（\r(15)－\r（10）,5）D。eq\f（\r（3）－\r（2),5)答案：A2．求eq\f（5π,3)的正弦、余弦和正切值．图4解:在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为r，作∠AOB＝eq\f（5π,3),如图4。易知∠AOB的终边上的任意点P的点坐标为（eq\f(1，2)r，－eq\f（\r(3）,2）r），所以sineq\f（5π,3)＝－eq\f(\r(3）,2),coseq\f(5π,3）＝eq\f（1,2），taneq\f(5π,3）＝－eq\r(3)。例3若sinα<0①，且tanα〉0②，则α是(）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案:C活动：教师引导学生讨论验证在不同的象限内各个三角函数值的符号有什么样的关系，提示学生从三角函数的定义出发来探究其内在的关系．可以知道：三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号,取决于x，y的符号,当点P在第一、二象限时，纵坐标y〉0，点P在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的,在第二、四象限是负的．解析:我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角．因为①sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；又因为②式tanθ〉0成立,所以θ角的终边可能位于第一或第三象限．因为①②式都成立,所以θ角的终边只能位于第三象限．答案选C。反过来，请同学们自己证明．点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号,其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明．这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力.变式训练已知cosθ·tanθ<0,那么角θ是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角答案：C例4确定下列各三角函数值的符号：(1)cos260°；(2）sin(－eq\f（π，3));（3）tan（－672°20′)；（4)taneq\f（10π,3）。活动：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一这也是我们下一步要归纳总结的):eq\x（\a\al(sinα＋k·2π＝sinα，，cosα＋k·2π＝cosα，,tanα＋k·2π＝tanα,，其中k∈Z.)）解：(1）因为260°是第三象限的角,所以cos260°<0;(2）因为－eq\f(π,3）是第四象限的角，所以sin（－eq\f(π,3)）〈0；（3）因为tan(－672°20′)＝tan（－2×360°＋47°40′）,而47°40′是第一象限的角，所以tan（－672°20′）〉0；（4)因为taneq\f(10π,3)＝tan(2π＋eq\f(4π,3)），而eq\f(4π,3)是第三象限的角，所以taneq\f(10π，3)>0。变式训练sin330°等于()A．－eq\f（\r(3）,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1，2）D.eq\f（\r(3），2)答案：B思路2例1已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋3secα＝__________.解析：设角α终边上任一点为P（k，－3k）（k≠0)，则x＝k，y＝－3k，r＝eq\r（k2＋－3k2)＝eq\r（10)|k｜.(1）当k>0时，r＝eq\r(10)k，α是第四象限角，sinα＝eq\f（y，r）＝eq\f(－3k，\r（10）k）＝－eq\f(3\r(10），10)，secα＝eq\f(r，x）＝eq\f（\r（10）k,k）＝eq\r（10)，∴10sinα＋3secα＝10×（－eq\f(3\r(10),10）)＋3eq\r（10)＝－3eq\r(10）＋3eq\r（10）＝0.(2)当k<0时，r＝－eq\r（10)k，α为第二象限角,sinα＝eq\f（y,r)＝eq\f（－3k，－\r（10）k)＝eq\f（3\r（10),10），secα＝eq\f（r,x）＝－eq\f（\r（10）k，k）＝－eq\r（10），∴10sinα＋3secα＝10×eq\f（3\r(10)，10)＋3×（－eq\r(10)）＝3eq\r(10)－3eq\r（10）＝0.综合以上两种情况均有10sinα＋3secα＝0.答案：0点评:本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k，－3k）是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P（k，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内,这与角α的终边在y＝－3x上是一致的。变式训练设f（x)＝sineq\f(π，3）x，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(72)的值．解：∵f（1）＝sineq\f(π，3）＝eq\f(\r(3）,2），f(2)＝sineq\f(2π，3)＝eq\f（\r（3)，2)，f（3）＝sinπ＝0,f（4）＝sineq\f(4π，3）＝－eq\f（\r（3),2)，f（5)＝sineq\f(5π，3)＝－eq\f（\r(3),2)，f(6)＝sin2π＝0，∴f（1）＋f(2)＋f（3）＋f（4)＋f（5）＋f(6）＝0。而f(7）＝sineq\f（7π,3）＝sineq\f（π，3)，f(8）＝sineq\f(8π，3）＝sineq\f（2π,3),…，f（12）＝sineq\f（12π，3)＝sin2π，∴f（7)＋f（8)＋f(9)＋f(10)＋f（11)＋f(12）＝0.同理，f(13)＋f(14）＋f(15)＋f（16）＋f（17）＋f(18)＝0，…，f（67)＋f（68）＋…＋f(72)＝0，∴f(1）＋f（2)＋f(3)＋…＋f(72)＝0。例2求函数y＝eq\r（sinα)＋tanα的定义域．活动:让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点,对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时,正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应引起注意这种情况．同时,函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．解：要使函数y＝eq\r(sinα)＋tanα有意义，则sinα≥0且α≠kπ＋eq\f（π,2)(k∈Z)．由正弦函数的定义知道，sinα≥0。∴角α的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k∈Z)．∴函数的定义域是｛α｜2kπ≤α<eq\f（π，2)＋2kπ或eq\f（π,2）＋2kπ<α≤(2k＋1）π，k∈Z｝.变式训练求下列函数的定义域：（1)y＝sinx＋cosx；（2）y＝sinx＋tanx；（3）y＝eq\f（sinx＋cosx,tanx).解：（1）∵使sinx，cosx有意义的x∈R，∴y＝sinx＋cosx的定义域为R。(2)要使函数有意义,必须使sinx与tanx有意义．∴