数学示范教案：第三章第二节简单的三角恒等变换（第二课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时导入新课思路1.（问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角,我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决,如：α＝（α＋β)－β，2α＝（α＋β）＋(α－β）＝（eq\f（π，4）＋α）－(eq\f(π，4)－α），eq\f(π，4）＋α＝eq\f(π,2)－(eq\f（π，4）－α）等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开．思路2.（复习导入）前面已经学过如何把形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin（ωx＋φ）的函数，本节主要研究函数y＝asinx＋bcosx的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式,掌握运算，化简的方法和技能．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出问题)）①三角函数y＝sinx,y＝cosx的周期,最大值和最小值是多少？②函数y＝asinx＋bcosx的变形与应用是怎样的？③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k∈Z且k≠0)，最小正周期都是2π。三角函数的自变量的系数变化时,会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y＝sinx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0），且最小正周期是2π，函数y＝sin2x的周期是kπ(k∈Z且k≠0），且最小正周期是π。正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是［－1,1]．函数y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)（eq\f(a，\r(a2＋b2）)sinx＋eq\f（b，\r(a2＋b2))cosx），∵（eq\f（a,\r(a2＋b2))）2＋(eq\f(b，\r（a2＋b2）)）2＝1，从而可令eq\f（a，\r(a2＋b2)）＝cosφ，eq\f（b,\r（a2＋b2)）＝sinφ,则有asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2）（sinxcosφ＋cosxsinφ）＝eq\r(a2＋b2)sin（x＋φ)．因此，我们有如下结论：asinx＋bcosx＝eq\r（a2＋b2)sin(x＋φ）,其中tanφ＝eq\f(b，a).在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图形,从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决,通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．讨论结果:①y＝sinx，y＝cosx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1,最小值都是－1。②~③(略)见活动．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例））思路1例1如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为eq\f（π，3)的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．活动:要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积S最大，先找出S与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S与α之间的函数关系可以让学生自己解决,得到：S＝AB·BC＝(cosα－eq\f(\r(3)，3）sinα)sinα＝sinαcosα－eq\f（\r(3），3)sin2α。求这种y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x函数的最值,应先降幂，再利用公式化成Asin（ωx＋φ）型的三角函数求最值．教师引导学生思考:要求当角α取何值时，矩形ABCD的面积S最大，可分两步进行:(1）找出S与α之间的函数关系；（2）由得出的函数关系，求S的最大值．解：在Rt△OBC中,OB＝cosα，BC＝sinα，图1在Rt△OAD中，eq\f(DA,OA)＝tan60°＝eq\r（3），所以OA＝eq\f(\r(3），3）DA＝eq\f（\r(3）,3）BC＝eq\f（\r(3），3）sinα.所以AB＝OB－OA＝cosα－eq\f（\r（3），3)sinα。设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB·BC＝(cosα－eq\f(\r（3)，3)sinα)sinα＝sinαcosα－eq\f(\r（3)，3)sin2α＝eq\f(1,2）sin2α＋eq\f（\r(3),6）cos2α－eq\f(\r(3)，6)＝eq\f(1，\r（3））（eq\f(\r（3），2)sin2α＋eq\f(1，2)cos2α）－eq\f(\r(3）,6）＝eq\f（1,\r(3））sin(2α＋eq\f(π，6））－eq\f（\r（3），6).由于0<α〈eq\f（π，3)，所以当2α＋eq\f（π,6)＝eq\f（π，2），即α＝eq\f(π，6)时，S最大＝eq\f(1,\r(3））－eq\f(\r(3），6）＝eq\f(\r(3),6）.因此，当α＝eq\f（π,6)时,矩形ABCD的面积最大，最大面积为eq\f（\r(3），6)。点评：可以看到，通过三角变换,我们把形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin（ωx＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP＝α"，结论改成“求矩形ABCD的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD＝x,S＝x(eq\r（1－x2）－eq\f(\r（3）,3)x)，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.变式训练已知函数f（x）＝sin（ωx＋eq\f（π,6))＋sin(ωx－eq\f（π,6)）－2cos2eq\f(ωx,2），x∈R(其中ω>0)．(1)求函数f(x）的值域；（2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为eq\f(π，2），求函数y＝f(x）的单调增区间．解：（1)f（x）＝eq\f(\r（3）,2)sinωx＋eq\f(1，2）cosωx＋eq\f(\r(3）,2)sinωx－eq\f(1，2)cosωx－(cosωx＋1)＝2（eq\f(\r(3),2)sinωx－eq\f(1,2)cosωx)－1＝2sin（ωx－eq\f（π，6）)－1。由－1≤sin(ωx－eq\f(π，6））≤1,得－3≤2sin（ωx－eq\f（π,6））－1≤1，可知函数f(x)的值域为［－3，1］．(2)由题设条件及三角函数图象和性质，可知y＝f(x）的周期为π,又由ω>0，得eq\f(2π,ω)＝π，即得ω＝2.于是有f（x）＝2sin(2x－eq\f(π，6))－1，再由2kπ－eq\f（π,2）≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f（π，2）（k∈Z），解得kπ－eq\f(π，6）≤x≤kπ＋eq\f(π，3）(k∈Z）．所以y＝f(x）的单调增区间为［kπ－eq\f(π，6），kπ＋eq\f（π，3)］(k∈Z）．点评：本题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.例2求函数y＝sin4x＋2eq\r(3）sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π]上的单调递增区间．活动:教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：y＝sin4x＋2eq\r(3)sinxcosx－cos4x＝（sin2x＋cos2x）(sin2x－cos2x）＋eq\r（3)sin2x＝eq\r（3）sin2x－cos2x＝2sin(2x－eq\f(π,6））．故该函数的最小正周期是π;最小值是－2；在[0,π]上单调增区间是［0，eq\f（π,3)]，［eq\f(5π,6）,π］．点评:本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识。变式训练已知函数f（x）＝cos4x－2sinxcosx－sin4x，(1)求f(x）的最小正周期；(2）若x∈［0，eq\f(π,2)]，求f（x)的最大、最小值．解：f（x）＝cos4x－2sinxcosx－sin4x＝（cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin2x＝cos2x－sin2x＝eq\r(2）cos(2x＋eq\f（π，4)），所以，f（x)的最小正周期T＝eq\f（2π,2)＝π.(2)因为x∈［0，eq\f(π,2)]，所以2x＋eq\f(π,4)∈［eq\f（π，4）,eq\f（5π，4）]．当2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π，4)时,cos（2x＋eq\f(π，4））取得最大值eq\f（\r（2)，2）,当2x＋eq\f(π,4）＝π时，cos（2x＋eq\f(π，4)）取得最小值－1.所以，在[0,eq\f（π，2)］上的最大值为1，最小值为－eq\r（2)。思路2例1已知函数f(x）＝sin(ωx＋φ）(ω〉0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(eq\f（3π，4），0)对称,且在区间[0,eq\f(π，2）］上是单调函数，求φ和ω的值．活动：学生在解此题时，对f(x)是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f（x)的图象关于M(eq\f（3π,4）,0）对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题．一般地,定义在R上的函数y＝f（x)对定义域内任意x满足条件:f（x＋a）＝2b－f(a－x）,则y＝f(x）的图象关于点（a，b)对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解:由f(x）是偶函数，得f（－x）＝f（x）,即sin(－ωx＋φ）＝sin（ωx＋φ)，所以－cosφsinωx＝cosφsinωx对任意x都成立．又ω>0，所以，得cosφ＝0。依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝eq\f（π,2).由f（x)的图象关于点M对称,得f(eq\f（3π,4）－x）＝－f（eq\f（3π,4）＋x)．取x＝0，得f（eq\f（3π，4)）＝－f(eq\f（3π,4)），所以f（eq\f（3π,4))＝0.∵f（eq\f(3π,4))＝sin(eq\f(3ωπ,4）＋eq\f（π,2)）＝coseq\f(3ωπ,4),∴coseq\f（3ωπ,4）＝0.又ω>0，得eq\f（3ωπ,4）＝eq\f(π，2)＋kπ，k＝0,1，2,….∴ω＝eq\f(2,3)(2k＋1），k＝0，1，2,….当k＝0时，ω＝eq\f(2，3),f（x）＝sin（eq\f(2,3）x＋eq\f(π，2）)在[0，eq\f（π,2）］上是减函数；当k＝1时，ω＝2,f（x）＝sin（2x＋eq\f（π，2））在［0，eq\f(π，2)］上是减函数；当k≥2时,ω≥eq\f(10，3），f(x)＝sin(ωx＋eq\f（π，2)）在［0,eq\f(π,2）］上不是单调函数．所以，综合得ω＝eq\f(2,3）或ω＝2。点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题。变式训练已知如图2的Rt△ABC中，∠A＝90°，a为斜边,∠B、∠C的内角平分线BD、CE的长分别为m、n，且a2＝2mn.问：是否能在区间(π,2π]中找到角θ，恰使等式cosθ－sinθ＝4(coseq\f(B＋C，2)－coseq\f（B－C，2)）成立？若能，找出这样的角θ;若不能，请说明理由．图2解：在Rt△BAD中，eq\f(AB，m）＝coseq\f(B，2），在Rt△BAC中，eq\f（AB,a）＝sinC，∴mcoseq\f（B,2)＝asinC.同理,ncoseq\f(C，2)＝asinB。∴mncoseq\f(B,2）coseq\f(C，2)＝a2sinBsinC.而a2＝2mn，∴coseq\f(B,2)coseq\f(C,2)＝2sinBsinC＝8sineq\f（B,2）·coseq\f(B,2)coseq\f(C，2)sineq\f（C，2）.∴sineq\f（B,2)sineq\f（C，2）＝eq\f(1，8）.积化和差,得4（coseq\f(B＋C,2)－coseq\f（B－C,2）)＝－1，若存在θ使等式cosθ－sinθ＝4(coseq\f(B＋C,2）－coseq\f(B－C,2））成立,则eq\r（2）cos（θ＋eq\f（π，4)）＝－1，∴cos（θ＋eq\f（π,4)）＝－eq\f（\r(2)，2）。而π<θ≤2π，∴eq\f（5π,4)〈θ＋eq\f（π,4)≤eq\f（9π,4）。∴这样的θ不存在．点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理,若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证-—定论.例2已知tan(α－β）＝eq\f(1，2），tanβ＝－eq\f(1，7)，且α,β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2（α－β）＋β，tan（α－β)＝eq\f(1，2)，∴tan2(α－β)＝eq\f(2tanα－β，1－tan2α－β)＝eq\f（4,3）.从而tan（2α－β)＝tan［2（α－β）＋β]＝eq\f（tan2α－β＋tanβ,1－tan2α－βtanβ)＝eq\f(\f(4,3)－\f（1，7),1＋\f（4，3)×\f(1,7）)＝eq\f(\f（25，21），\f(25,21）)＝1.又∵tanα＝tan[(α－β）＋β]＝eq\f(tanα－β＋tanβ，1－tanα－βtanβ)＝eq\f（1,3）<1。且0〈α<π，∴0〈α〈eq\f（π,4).∴0〈2α<eq\f(π，2）.又tanβ＝－eq\f（1，7）<0，且β∈（0，π），∴eq\f（π,2）<β<π,－π<－β〈－eq\f(π，2).∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－eq\f(3π，4).点评:本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题,关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时,根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈（0，π）,则求cosα;若α∈(－eq\f（π，2)，eq\f（π,2)），则求sinα等．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能训练））课本本节练习4。解答：4.（1)y＝eq\f（1，2)sin4x。最小正周期为eq\f（π，2)，递增区间为[－eq\f（π，8)＋eq\f（kπ,2），eq\f(π,8）＋eq\f(kπ，2)](k∈Z)，最大值为eq\f（1，2)；(2）y＝cosx＋2。最小正周期为2π，递增区间为［π＋2kπ，2π＋2kπ］(k∈Z），最大值为3；（3）y＝2sin(4x＋eq\f(π，3）)．最小正周期为eq\f(π,2），递增区间为［－eq\f（5π,24）＋eq\f(kπ,2），eq\f（π，24）＋eq\f（kπ,2）］（k∈Z），最大值为2。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（课堂小结）)本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))课本复习参考题A组11、12。eq\o(\s\up7（)，\s\do5(设计感想））1．本节课主要是三角恒等变换的应用,通过三角恒等变形，把形如y＝asinx＋bcosx的函数转化为形如y＝Asin（ωx＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换,将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化,从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后,还要确定原三角函数的定义域,并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式,以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识,对三角知识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方,应该引起足够重视,特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外,在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题,也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．eq\o(\s\up7(），\s\do5(备课资料)）一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题1.eq\f(sin10°＋sin20°，cos10°＋cos20°)的值是（）A．tan10°＋tan20°B。eq\f(\r(3），3）C．tan5°D．2－eq\r（3）答案：D2．若α－β＝eq\f（π，4)，则sinαsinβ的最大值是（）A.eq\f（2－\r（2）,4)B。eq\f（2＋\r(2),4)C.eq\f(3,4)D．1答案：B3．若cosαsinx＝eq\f(1,2)，则函数y＝sinαcosx的值域是()A．［－eq\f（3，2），eq\f(1，2）]B．［－eq\f（1，2)，eq\f（1，2)］C．[－eq\f（1，2）,eq\f（3,2)]D．[－1，1]答案:B4．log2(1＋tan19°）＋log2(1＋tan26°）＝________。答案：15．已知函数f（x）＝cos2xcos(eq\f（π，3）－2x),求f（x）的单调递减区间、最小正周期及最大值．答案：解：f（x）＝eq\f(1,2）[coseq\f（π，3）＋cos(4x－eq\f(π，3)）］＝eq\f(1，2）cos(4x－eq\f(π,3))＋eq\f(1,4)，由2kπ≤4x－eq\f（π，3)≤2kπ＋π（k∈Z）,得