数学示范教案：第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第四课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第三章第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第四课时作者：郑吉星eq\o（\s\up7()，\s\do5(整体设计）)教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的,它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具．通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”．在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力．3．通过本节学习,引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角公式的推导及其应用．教学难点:如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排1课时eq\o（\s\up7(),\s\do5（教学过程)）导入新课思路1。(复习导入）请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢?由此展开新课．思路2.（问题导入)出示问题,让学生计算，若sinα＝eq\f(3,5），α∈（eq\f(π,2)，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α）＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出问题)）①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来,并由一名学生到黑板默写）②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α＝β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C2α公式中，还有其他表示形式吗?④细心观察二倍角公式的结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角,学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin（)＝2sin(）cos(），cos（)＝cos2(）－sin2(）．⑦思考过公式的逆用吗？想一想C2α还有哪些变形?⑧请思考以下问题:sin2α＝2sinα吗？cos2α＝2cosα吗？tan2α＝2tanα吗？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角,怎么任意的?你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化，教师再与学生一起集体订正黑板上的书写，最后学生都不难得出以下式子,鼓励学生尝试一下,对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间,充分地让学生去思考、去探究,并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ⇒sin2α＝2sinαcosα(S2α）；cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ⇒cos2α＝cos2α－sin2α（C2α）；tan（α＋β）＝eq\f（tanα＋tanβ,1－tanαtanβ）⇒tan2α＝eq\f(2tanα，1－tan2α)(T2α)．这时教师适时地向学生指出,我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin2α＋cos2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．sin2α＝2sinαcosαS2αcos2α＝cos2α－sin2αC2αtan2α＝T2αcos2α＝2cos2α－1cos2α＝1－2sin2α这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题④，教师指导学生，这组公式用途很广,并与学生一起观察公式的特征并记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角,右到左→降幂扩角．二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题⑤，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：（Ⅰ）这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三"字等不可省去;（Ⅱ)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；（Ⅳ）公式(S2α），（C2α)中的角α没有限制，都是α∈R。但公式(T2α）需在α≠eq\f（1，2)kπ＋eq\f(π,4）和α≠kπ＋eq\f(π,2）(k∈Z）时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝kπ＋eq\f(π,2），k∈Z时，虽然tanα不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式．问题⑥，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，eq\f(α，2）是eq\f(α，4)的二倍,3α是eq\f(3α，2)的二倍，eq\f(α,3）是eq\f(α,6）的二倍，eq\f(π,2)－α是eq\f(π,4)－eq\f（α,2)的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式．例如：sineq\f(α，2）＝2sineq\f（α，4)coseq\f（α,4)，coseq\f（α，3）＝cos2eq\f（α,6)－sin2eq\f（α，6)等等．问题⑦，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如:sin3αcos3α＝eq\f（1,2）sin6α,4sineq\f(α,4）coseq\f（α，4)＝2(2sineq\f(α，4）coseq\f(α,4）)＝2sineq\f（α，2)，eq\f（2tan40°，1－tan240°）＝tan80°，cos22α－sin22α＝cos4α，2tanα＝tan2α（1－tan2α）等等．问题⑧，一般情况下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.若sin2α＝2sinα，则2sinαcosα＝2sinα,即sinα＝0或cosα＝1，此时α＝kπ（k∈Z）．若cos2α＝2cosα，则2cos2α－2cosα－1＝0，即cosα＝eq\f（1－\r(3），2)（cosα＝eq\f（1＋\r(3)，2)舍去）．若tan2α＝2tanα,则eq\f（2tanα,1－tan2α)＝2tanα，∴tanα＝0,即α＝kπ(k∈Z)．解答:①～⑧（略)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例)）思路1例1已知sin2α＝eq\f(5，13）,eq\f(π，4）〈α〈eq\f（π，2）,求sin4α，cos4α,tan4α的值．活动：教师引导学生分析题目中角的关系,观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍"的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了2α的正弦值．由于4α是2α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成．解：由eq\f(π，4）〈α〈eq\f(π，2），得eq\f（π,2)〈2α〈π。又∵sin2α＝eq\f（5,13),∴cos2α＝－eq\r（1－sin22α)＝－eq\r(1－\f(5，13)2)＝－eq\f(12,13)。于是sin4α＝sin[2×（2α)］＝2sin2αcos2α＝2×eq\f(5,13)×（－eq\f(12，13）)＝－eq\f(120，169)；cos4α＝cos[2×(2α）］＝1－2sin22α＝1－2×（eq\f(5,13）)2＝eq\f（119,169）；tan4α＝eq\f(sin4α，cos4α)＝(－eq\f(120，169））×eq\f(169，119)＝－eq\f(120，119）。点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法,但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1．不查表,求值：sin15°＋cos15°.解:原式＝eq\r（sin15°＋cos15°2)＝eq\r（sin215°＋2sin15°cos15°＋cos215°)＝eq\f(\r（6），2)。点评:本题在两角和与差的学习中已经解决过,现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系,体会数学变化的魅力．2．若eq\f（cos2α，sinα－\f(π，4)）＝－eq\f（\r(2)，2)，则cosα＋sinα的值为（）A．－eq\f（\r(7），2）B．－eq\f(1,2）C.eq\f(1，2）D.eq\f(\r(7）,2)答案：C3．下列各式中，值为eq\f(\r（3）,2）的是(）A．2sin15°－cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°答案:B例2证明eq\f（1＋sin2θ－cos2θ,1＋sin2θ＋cos2θ)＝tanθ。活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解．教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简,中间碰头；化切为弦;还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出:可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1"的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予表扬;对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1"的妙用，妙在它在三角恒等式中一旦出现,在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明:方法一：左＝eq\f（sin2θ＋1－cos2θ,sin2θ＋1＋cos2θ）＝eq\f（2sinθcosθ＋1＋1－2cos2θ，2sinθcosθ＋1＋2cos2θ－1)＝eq\f(sinθcosθ＋1－cos2θ,sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f（sinθcosθ＋sin2θ，sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f（sinθcosθ＋sinθ，cosθsinθ＋cosθ）＝tanθ＝右．所以，原式成立．方法二：左＝eq\f（sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋sin2θ－cos2θ，sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋cos2θ－sin2θ)＝eq\f（sin2θ＋2sin2θ，sin2θ＋2cos2θ）＝eq\f(2sinθsinθ＋cosθ，2cosθsinθ＋cosθ)＝tanθ＝右．方法三:左＝eq\f(1＋sin2θ－cos2θ，1＋sin2θ＋cos2θ）＝eq\f(sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ－cos2θ－sin2θ,sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＋cos2θ－sin2θ）＝eq\f（sinθ＋cosθ2－cosθ＋sinθcosθ－sinθ,sinθ＋cosθ2＋cosθ＋sinθcosθ－sinθ）＝eq\f(sinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋sinθ－cosθ,sinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋cosθ－sinθ）＝eq\f(sinθ＋cosθ·2sinθ，sinθ＋cosθ·2cosθ）＝tanθ＝右．点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的;第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了,不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是．思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开,正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究,不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°,30°,50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝eq\f(23·sin20°cos20°cos40°cos80°，23·2sin20°)＝eq\f(sin160°，16sin20°)＝eq\f（sin20°，16sin20°）＝eq\f（1，16）。点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变,技巧性强的特点,要注意在训练中细心体会其变化规律．例2在△ABC中，cosA＝eq\f（4,5）,tanB＝2,求tan（2A＋2B）的值．活动：解:方法一：在△ABC中，由cosA＝eq\f（4，5），0〈A<π，得sinA＝eq\r（1－cos2A)＝eq\r(1－\f(4，5)2）＝eq\f(3,5）.所以tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(3,5）×eq\f（5，4)＝eq\f(3,4）,tan2A＝eq\f(2tanA，1－tan2A)＝eq\f（2×\f(3,4），1－\f（3,4）2)＝eq\f（24，7）.又tanB＝2,所以tan2B＝eq\f(2tanB,1－tan2B）＝eq\f(2×2，1－22)＝－eq\f（4，3）。于是tan(2A＋2B)＝eq\f（tan2A＋tan2B,1－tan2Atan2B）＝eq\f（\f(24,7)－\f(4,3),1－\f（24，7）×－\f（4,3))＝eq\f（44，117)。方法二:在△ABC中，由cosA＝eq\f（4，5)，0<A〈π，得sinA＝eq\r(1－cos2A）＝eq\r（1－\f（4,5)2）＝eq\f（3，5）。所以tanA＝eq\f(sinA，cosA)＝eq\f（3，5）×eq\f（5，4)＝eq\f(3,4）.又tanB＝2，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB）＝eq\f（\f（3,4)＋2,1－\f（3,4）×2）＝－eq\f（11，2)。于是tan(2A＋2B)＝tan[2（A＋B）］＝eq\f(2tanA＋B,1－tan2A＋B)＝eq\f（2×－\f（11，2)，1－－\f（11，2)2)＝eq\f(44，117）.点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别，其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考，以拓展学生的视野.变式训练化简eq\f（1＋cos4α＋sin4α，1－cos4α＋sin4α）。解:原式＝eq\f（2cos22α＋2sin2αcos2α,2sin22α＋2sin2αcos2α)＝eq\f（2cos2αcos2α＋sin2α,2sin2αsin2α＋cos2α）＝cot2α。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能训练))已知cosα＝eq\f(1,7），cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0〈β<α〈eq\f（π，2)，(1）求tan2α的值；（2)求β.解：(1）由cosα＝eq\f(1，7),0<α<eq\f(π,2)，得sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r（1－\f（1,7)2）＝eq\f(4\r（3),7）。∴tanα＝eq\f（sinα,cosα)＝eq\f(4\r(3），7)×eq\f(7,1)＝4eq\r(3).于是tan2α＝eq\f（2tanα，1－tan2α)＝eq\f(2×4\r（3),1－4\r(3）2)＝－eq\f（8\r（3)，47）.（2）由0〈β<α<eq\f(π，2），得0〈α－β〈eq\f（π,2).又∵cos(α－β)＝eq\f(13，14），∴sin（α－β)＝eq\r（1－cos2α－β)＝eq\r（1－\f（13,14）2)＝eq\f（3\r(3)，14）.由β＝α－（α－β），得cosβ＝cos［α－(α－β)]＝cosαcos(α－β）＋sinαsin（α－β)＝eq\f（1,7）×eq\f（13，14）＋eq\f（4\r(3)，7）×eq\f(3\r（3），14)＝eq\f(1，2)。∴β＝eq\f（π,3）.点评：本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业））课本习题3。1A组15、16、17。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（课题小结））1．先由学生回顾本节课都学到了什么?有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识?怎样用二倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的．eq\o(\s\up7()，\s\do5(设计感想))1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力"的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深地留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用,变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识,教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径,让学生真正尝试到探索的喜悦,真正成为教学的主体．学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．eq\o(\s\up7(）,\s\do5(备课资料)）一、三角变换中的“一致代换”法在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括:在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手,尽量化为同名函数，常用“化弦法”；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．二、备用习题1．求值：eq\f（1,sin10°)－eq\f(\r(3），cos10°）.答案：原式＝eq\f（cos10°－\r(3）sin10°,sin10°cos10°）＝eq\f(2\f（1，2）cos10°－\f(\r（3)，2）sin10°，sin10°cos10°)＝eq\f（4sin30°cos10°－cos30°sin10°，2sin10°cos10°)＝eq\f（4sin30°－10°,sin20°)＝4。2．化简：cos36°cos72°。答案:原式＝eq\f（2sin36°cos36°·cos72°，2sin36°）＝eq\f（2sin72°cos72°，4sin36°）＝eq\f（sin144°,4sin36°)＝eq\f（1,4）.3．化简:cosαcoseq\f(α,2)coseq\f(α,22）coseq\f(α，23)·…·coseq\f(α，2n－1）.答案：先将原式同乘除因式sineq\f（α,2n－1),然后逐次使用倍角公式，则原式＝.eq\f(sin2α，2nsin\f(α,2n－1））4．求值:sin6°sin42°sin66°sin78°.答案:原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝eq\f(24cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°，24cos6°)＝eq\f(sin96°，24cos6°)＝eq