数学示范教案：第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二章第一节平面向量的实际背景及基本概念1．丰富多彩的背景，引人入胜的内容．教材首先从力、位移等量讲清向量的实际背景以及研究向量的必要性,接着介绍了平面向量的有关知识．学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．最后介绍了平面向量的应用．2．教学的最佳契机,全新的思维视角．向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的．反过来，向量的理论和方法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题．这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着密切的联系,向量应用的优越性也是非常明显的．全新的思维视角，恰当的教与学,使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机．3．本章充分体现出新教材特点．以学生已有的物理知识和几何内容为背景,直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算的对比，特别注意知识的发生过程．对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论．这一章中的一些例题，教科书不是先给出解法,而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法．解题后有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题．对知识的处理,都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力．向量的坐标实际上是把点与数联系起来,进而可把曲线与方程联系起来,这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题．4．本章教学约需12课时，具体分配如下，仅供参考.节次标题课时2.1平面向量的实际背景及基本概念1课时2.2向量的线性运算3课时2。3平面向量的基本定理及坐标表示2课时2.4平面向量的数量积2课时2.5平面向量的应用举例2课时本章复习2课时作者：赵勇，永安三中教师,本教学设计获福建省教学设计大赛三等奖eq\o（\s\up7（),\s\do5（整体设计))教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学目标1．通过力的分析等实例,了解向量的实际背景；理解向量的概念．2．理解向量的几何表示;掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3．理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量．教学重点、难点1．通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等是本节课的重点．2．难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析《向量》是高中数学新教材必修四第二章第1节．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具．向量概念引入后,全等和平行(平移)、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减)法、数乘向量、数量积运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系．向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用．所以，向量是高考必考的重点内容,又因为其抽象性,它还是学生在学习中的一个难学内容．本节内容是向量一章的第一节课，因此，是十分关键、重要的一节课．教学准备多媒体课件eq\o(\s\up7（),\s\do5(教学过程))导入新课位置是几何学研究的重要内容之一，几何中常用点表示位置，研究如何由一点的位置确定另外一点的位置．如图1,如何由点A确定点B的位置？图1一种常用的方法是,以A为参照点，用B点A点之间的方位和距离确定B点的位置．如，B点在A点东偏南45°，30千米处．这样，在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示B点相对于A点的位置．有向线段AB就是A点与B点之间的位移．位移简明地表示了位置之间的相对关系．像位移这种既有大小又有方向的量，加以抽象，就是我们本章要研究的向量．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究））本章引言中，我们知道，位移是既有大小，又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？图2请大家阅读课本2。1.1向量的物理背景与概念;2.1.2向量的几何表示．并回答下面问题：（1）什么是向量?向量和数量有何不同?(2)向量如何表示?(3）什么是零向量和单位向量？（4)什么是平行向量？待学生阅读完后，老师总结并展示课件：1．什么是向量？向量和数量有何不同？（数量：只有大小,没有方向的量)在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量?数量有：质量、身高、面积、体积向量有：重力、速度、加速度提问:角度，海拔，温度是向量吗？2．向量如何表示?（1）几何表示——向量常用有向线段表示:有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向．图3注：以A为起点,B为终点的有向线段记为eq\o（AB,\s\up6(→)),线段AB的长度记作|eq\o(AB,\s\up6（→)）|(读为模)；（2)也可以表示为a，b，c,…,大小记作：|a|、|b｜、|c｜、…说明一:我们所说的向量,与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置．所以数学中的向量也叫自由向量．如图4:它们都表示同一个向量．图4练习:向量eq\o(AB,\s\up6(→））和eq\o（BA，\s\up6(→))是同一个向量吗？为什么？不是，方向不同．探究：向量就是有向线段吗？有向线段就是向量吗？说明二：有向线段与向量的区别：有向线段：有固定起点、大小、方向．向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向．图5有向线段eq\o(AB,\s\up6（→）)、eq\o(CD，\s\up6(→)）是不同的．图6向量eq\o（AB，\s\up6（→）)、eq\o(CD，\s\up6(→）)是同一个向量．3．什么是零向量和单位向量？零向量：长度为0的向量，记为0；单位向量:长度为1的向量．注：零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的．向量之间的关系:4．什么是平行向量？方向相同或相反的非零向量叫平行向量．注：1。若是两个平行向量,则记为a∥b。2．我们规定，零向量与任一向量平行，即对任意向量a，都有0∥a。练习：判断下列各组向量是否平行？图7向量的平行与线段的平行有什么区别？练习：已知下列命题：（1）向量eq\o(AB，\s\up6(→）)和向量eq\o（BA,\s\up6（→))长度相等；(2）方向不同的两个向量一定不平行；(3)向量就是有向线段；（4)向量0＝0；（5)向量eq\o（AB,\s\up6（→))大于向量eq\o(CD，\s\up6(→）)。其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2答案：B例1试根据图8中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用向量表示A地至B、C两地的位移,并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1图8请同学们阅读课本2.1.3相等向量与共线向量，并回答问题：什么是相等向量和共线向量？待学生回答后，老师总结并展示课件:5．什么是相等向量和共线向量？长度相等且方向相同的向量叫相等向量．a＝b＝ceq\o（A1B1,\s\up6（→））＝eq\o(A2B2，\s\up6(→))＝eq\o(A3B3,\s\up6(→）)＝eq\o（A4B4，\s\up6（→））图9注：1.若向量a，b相等，则记为a＝b；2．任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．平行向量也叫共线向量．注:任一组平行向量都可以平移到同一直线上．练习：判断下列命题是否正确：（1)两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同;(2)若|a｜＝｜b｜，则a＝b;(3)若eq\o(AB，\s\up6（→））＝eq\o(DC,\s\up6(→）)，则四边形ABCD是平行四边形;(4）平行四边形ABCD中，一定有eq\o（AB，\s\up6(→）)＝eq\o(DC，\s\up6(→）)；（5）若m＝n,n＝k，则m＝k；(6）若a∥b，b∥c，则a∥c。其中不正确命题的个数是()A．2B．3C．4答案：C练习：下列说法正确的是（）A．若|a|>|b|，则a>bB．若|a｜＝0，则a＝0C．若|a｜＝|b|，则a＝b或a＝－bD．若a∥b，则a＝bE．若a＝b，则|a｜＝｜b|F．若a≠b，则a与b不是共线向量G．若a＝0，则－a＝0答案:EG例2如图10，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与eq\o(OA，\s\up6（→））、eq\o（OB，\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→））相等的向量．图10解：eq\o（OA,\s\up6(→)）＝eq\o(CB,\s\up6（→)）＝eq\o（DO,\s\up6(→))，eq\o（OB,\s\up6(→））＝eq\o(DC，\s\up6（→））＝eq\o(EO，\s\up6(→）），eq\o(OC，\s\up6（→))＝eq\o（AB,\s\up6(→）)＝eq\o（ED,\s\up6（→）)＝eq\o(FO,\s\up6（→))。练习：如图11，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：图11（1)与向量eq\o（CD,\s\up6(→）)共线的向量有________个,分别是________________________________;（2)与向量eq\o（DF，\s\up6(→))的模一定相等的向量有________个，分别是______________________；(3）与向量eq\o(DE,\s\up6（→))相等的向量有________个，分别是__________．答案：(1)7eq\o(DC,\s\up6(→））、eq\o（DB,\s\up6(→)）、eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(FE，\s\up6(→））、eq\o(EF,\s\up6（→）)、eq\o(CB，\s\up6（→))、eq\o(BC,\s\up6（→））(2）5eq\o(FD,\s\up6(→))、eq\o(EB,\s\up6（→））、eq\o(BE,\s\up6（→）)、eq\o（EA,\s\up6(→)）、eq\o（AE，\s\up6(→））（3)2eq\o（CF,\s\up6（→））、eq\o(FA,\s\up6（→)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（课堂小结))通过本节课的学习，要求大家能够理解向量的概念；掌握向量的几何表示;理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作业）)习题2。1A组2，5eq\o(\s\up7()，\s\do5（设计思路））1．首先先对本节课教材内容进行分析2．教材内容的安排和处理根据我所教学生的特点,我对教材进行了如