苏科版九年级数学上学期期中考点大串讲专题05直线与圆的位置关系【考题猜想压轴26题6种题型】(原卷版+解析)

专题05直线与圆的位置关系（压轴26题6种题型）一、判断直线与圆的位置关系（共4小题）1．（2022秋·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．(1)如图1，在平面直角坐标系中，的半径为2，下列函数图象中与互为“双联图形”的是________（只需填写序号）；①直线；②双曲线；③抛物线．(2)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；(3)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．2．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）．(1)用无刻度的直尺和圆规作出过A、B、C三点的⊙P，求圆心P的坐标；(2)如图2，若过A、B两点的⊙M恰好与直线l：相切，请直接写出圆心M的坐标：．3．（2022秋·江苏·九年级期中）（1）如图①，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，且BC＝BD，AD＝CD．求证：∠ADC＝2∠BDC．（2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若平面内的点D满足AD＝CD，且∠ADC＝2∠BDC．①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）；②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），则平面内满足条件的点D的个数随着m的值变化而变化，请直接写出满足条件点D的个数及对应m的取值范围．4．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考期中）【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交x轴于点、，则为方程两个实数根．(1)【探究】由勾股定理得，，，，在中，，所以．化简得：，同理可得：______．所以m、n为方程的两个实数根．(2)【运用】在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M、N．(3)已知点、，以为直径作．请运用以上知识判断与x轴的位置关系，并说明理由．(4)【拓展】在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程______．二、切线性质与判定定理综合（共6小题）5．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考期中）如图，是的直径，是的弦，连接、、，其中，平分，过点B作交的延长线于E．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积．6．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，已知中，，以为直径的⊙O交于点D，过D作，垂足为E，连结，，．(1)求证：是⊙O的切线；(2)若以、的长为方程两个实数根，求b的值；(3)求图中以线段、和弧所围成图形的面积．7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）问题提出：苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？（1）小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：∵是的直径，∴__________________，∴，∵四边形内角和等于，∴__________________．（2）请回答问题2，并说明理由．深入探究：如图3，的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，．（1）直接写出四边形边满足的数量关系_________；（2）探究、满足的位置关系；（3）如图4，若，，，请直接写出图中阴影部分的面积．8．（2022春·全国·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．(1)求证：MD是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．9．（2022春·江西吉安·九年级校考期中）如图，在中，，D为AB边上的一点，以AD为直径的交BC于点E，交AC于点F，过点C作于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为的切线．(1)求证：BC是的切线；(2)求证：AE平分；(3)若，，，求四边形CHQE的面积．10．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．(1)如图1，求证：AD是⊙O的切线；(2)如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG＝BG；②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．三、利用切线长定理求解（共5小题）11．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，已知AB⊥MN于点B，且AB＝10cm，将线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，过点C作CD⊥MN于点D，⊙O是△BCD的内切圆，直线AO、BC相交于点H．(1)若α＝60°，则CD＝cm．(2)若AO⊥BC①点H与⊙O的位置关系是A．点H在⊙O外B．点H在⊙O上C．点H在⊙O内②求线段AO的长度．(3)线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°，求点O运动的路径长．12．（2022秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，平行四边形中，，，，点P在对角线上运动（点P不与点A重合），以P为圆心，为半径作．(1)当与边相切时，．(2)当与边相切时，求的值．(3)随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化．请根据的取值范围探索与平行四边形四边的公共点的个数．13．（2022秋·江苏·九年级期中）探究问题：（1）如图1，PM、PN、EF分别切⊙O于点A、B、C，猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论．变式迁移：（2）如果图1的条件不变，且PO=10厘米，△PEF的周长为16厘米，那么⊙O的半径为厘米．拓展提高：（3）如图2，点E是∠MPN的边PM上的点，EF⊥PN于点F，⊙O与边EF及射线PM、射线PN都相切．①画出符合条件的⊙O；②若EF=3，PF=4，求⊙O的半径．14．（2022秋·北京丰台·九年级统考期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．已知点，，，．(1)直线l经过点A，的半径为2，在点A，C，D中，直线l和的“关联点”是______；(2)G为线段OA中点，Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），若和有“关联点”，求半径r的取值范围；(3)的圆心为点，半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若和直线m的“关联点”在直线上，请直接写出b的取值范围．15．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）已知，AB是⊙O的直径，AB＝16，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝10，PT为⊙O的切线，切点为T．（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；（3）如图（3），设PT＝y，AC＝x，求y与x的解析式并求出y的最小值．四、与三角形内切圆有关的计算（共5小题）16．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考期中）如图1，抛物线y＝tx2﹣16tx＋48t（t为常数，t＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）点A的坐标是，点B的坐标是；（2）如图2，点D是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接BD，延长BD交y轴于点E，若∠BCE＝∠BEC．①求点D的坐标（用含t的式子表示）；②若以点D为圆心，半径为8作⊙D，试判断⊙D与y轴的位置关系；（3）若该抛物线经过点（h，），且对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx＋48t≤恒成立，求△BOC外心F与内心I之间的距离．17．（2022春·江苏·九年级期末）数学概念若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.理解概念（1）若点是的等角点，且，则的度数是.（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，②如图②，深入思考（3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有.（填序号）18．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）解答下列问题(1)【习题再现】完成原习题；（教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．和相等吗？为什么？(2)【逆向思考】如图②，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心．(3)【迁移运用】如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）20．（2022秋·广东湛江·九年级校考期中）综合与探究抛物线与x轴交于两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知．(1)求两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点P，使的内心在x轴上？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．五、与三角形外接圆有关的计算（共4小题）21．（2022春·全国·九年级期末）抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D（m，3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标；(3)如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作⊙M，⊙M的弦QF∥y轴，求证：点F在定直线上．22．（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．(1)如图①，线段，则线段的最小覆盖圆的半径为_________；(2)如图②，中，，，，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________；(3)如图③，矩形中，，，则矩形的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为_________．23．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求面积的最大值，并求出此时M点的坐标．24．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延长交抛物线于点，连接，．(1)求抛物线的函数解析式；(2)当为直角三角形时，求的值；(3)如图2，为的外接圆，在点的运动过程中，点也随之运动变化，请你探究：在时，求点经过的路径长度．六、三角形内切圆与外接圆综合（共2小题）25．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考期中）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：（1）矩形奇妙四边形（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是奇妙四边形，若⊙O的半径为6，∠BCD=60°．求奇妙四边形ABCD的面积；（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是奇妙四边形作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．26．（2022秋·浙江台州·九年级统考期末）如图1，AB是⊙O的直径，且AB=8，过点B作⊙O的切线，C是切线上一点，连接AC交⊙O于点D，连接BD，点E是的中点，连接BE交AC于点F．（1）比较大小：∠CBD∠CAB（填“＜”、“=”、“＞”中的一个）；（2）求证：CB=CF；（3）若AF=4，求CB的值；（4）在图1的基础上，作∠ADB的平分线交BE于点I，交⊙O于点G，连接OI（如图2）写出OI的最小值，并说明理由．

专题05直线与圆的位置关系（压轴26题6种题型）一、判断直线与圆的位置关系（共4小题）1．（2022秋·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．(1)如图1，在平面直角坐标系中，的半径为2，下列函数图象中与互为“双联图形”的是________（只需填写序号）；①直线；②双曲线；③抛物线．(2)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；(3)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．【答案】(1)①(2)的取值范围是(3)或【分析】（1）根据图形M与图形N是双联图形的定义可直接判断即可；（2）根据函数解析式联立方程，再根据“双联图形”的定义，由一元二次方程的判别式可得结论；（3）根据双联图形的宝座进行判断即可．【详解】（1）选项①的直线经过第一、二、三象限，且经过点（0，1）和（-1，0）又的半径为2，∴这两个图形有且只有两个公共点，∴这两个图形是“双联图形”；选项②的双曲线在第一、三象限与图1中的图象分别有两个公共点，一共有四个公共点，不符合“双联图形”的定义，故这两个图形不是“双联图形”；选项③的抛物线的顶点坐标渐（-1，2），并且开口方向向上，与图1中的图象没有公共点，故这两个图形不是“双联图形”；∴选①故答案为①；（2）已知直线与抛物线有且只有两个公共点，∴将代入抛物线中，得，配方得，∵方程有实数解，∴即又直线不是双曲线的“双联图形”，∴直线与双曲线最多有一个公共点，即当时，代入得，，即，∴实数的取值范围是；（3）∵是二次函数，∴∵二次函数的顶点坐标为（-1，3），且对称轴为直线x=-1，∴当时，二次函数的图象与的图象没有交点，∴不成立；当时，二次函数的图象开口向下，为使它与互为双联图形，即有且只有两个公共点，∴①当抛物线与AC和AB相交时，设直线BC的解析式为y=mx+n，把C(1，4)，B(4，0)代入，得，∴，∴y=-x+4，∵抛物线与BC不想交，∴，即ax2+(2a+1)x+a-1=0无实数根，∴(2a+1)2-4a(a-1)<0，解得a<，又当时，要满足，相当于，所以；∴；②当抛物线与AC和BC相交时，当x=4时，要满足，相当于，所以，，∴；综上，a的取值范围为：或【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，切线的判定和性质，图形M与图形N是和谐图形的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题．2．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期中）如图1，平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（3，0）、（5，0）、（0，4）．(1)用无刻度的直尺和圆规作出过A、B、C三点的⊙P，求圆心P的坐标；(2)如图2，若过A、B两点的⊙M恰好与直线l：相切，请直接写出圆心M的坐标：．【答案】(1)画图见解析，圆心P的坐标为(2)或【分析】（1）作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P，（2）设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN，根据题意表示出MN的表达式，进而得到点N的坐标，最后根据半径相等列出方程求解即可．【详解】（1）如图所示．作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即为圆心P，连接AP，CP，AB的垂直平分线交x轴于点M，∵，A（3，0）、B（5，0）∴，即点M是AB的中点∴M点坐标为（4，0）∴点P的横坐标为4，设点P的坐标为（4，y）∵∴，解得∴圆心P的坐标为；（2）如图所示，设⊙M与直线l：相切相切与点N，连接AM，MN，同（1）可得点M的横坐标为4，∴设点M的坐标为∵⊙M与直线l：相切相切与点N∴∴设MN所在直线的表达式为将点M代入得，即∴MN所在直线的表达式为∴联立得：，解得∴点N的坐标为∵点A和点N都在⊙M上∴∴整理得解得：或∴圆心M的坐标为或故答案为：或．【点睛】此题考查了确定要圆的条件，一次函数和圆综合题，切线的性质和垂径定理知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2022秋·江苏·九年级期中）（1）如图①，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，且BC＝BD，AD＝CD．求证：∠ADC＝2∠BDC．（2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若平面内的点D满足AD＝CD，且∠ADC＝2∠BDC．①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）；②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），则平面内满足条件的点D的个数随着m的值变化而变化，请直接写出满足条件点D的个数及对应m的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当0＜m＜时，点D的个数为0，当m＝时，点D的个数为1，当＜m＜4时，点D的个数为2【分析】（1）连接AC，根据垂径定理得出AB垂直平分CD，再证明△ACD是等边三角形，就可以求出和的度数，即可证明结论；（2）①以B为圆心，BC长为半径作⊙B，⊙B与AC的垂直平分线的交点为D、D'；②假设AC的垂直平分线和以BC为半径的⊙B只有一个交点时，此交点就是AB的中点，得到AC＝2BC，利用勾股定理求出m的值，当m小于此值时没有交点，大于此值时两个交点．【详解】解：（1）如图，连接AC，∵BD＝BC，∴，∵AB是直径，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∵CD＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°＝∠DAC，∵AB垂直平分CD，∴∠BAC＝∠BAD＝30°＝∠BDC，∴∠ADC＝2∠BDC；（2）①如图，以B为圆心，BC长为半径作⊙B，⊙B与AC的垂直平分线的交点为D、D'；②如图，当⊙B与AC的垂直平分线只有一个交点时，即点D的个数为1，∴AC＝2BC，∵AB2＝AC2+BC2，∴16＝5m2，∴m＝，∵0＜m＜4，∴当0＜m＜时，点D的个数为0；当m＝时，点D的个数为1；当＜m＜4时，点D的个数为2．【点睛】本题考查圆，解题的关键是掌握圆周角定理，垂径定理，尺规作图的方法，以及直线与圆的位置关系．4．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考期中）【新知】19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交x轴于点、，则为方程两个实数根．(1)【探究】由勾股定理得，，，，在中，，所以．化简得：，同理可得：______．所以m、n为方程的两个实数根．(2)【运用】在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M、N．(3)已知点、，以为直径作．请运用以上知识判断与x轴的位置关系，并说明理由．(4)【拓展】在平面直角坐标系中，已知两点、，若以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程______．【答案】(1)；(2)见解析(3)与x轴相切．理由见解析(4)【分析】（1）仿照已知中的推理过程即可得到，从而问题解决；（2）以及两点为端点的线段为直径画圆，圆与x轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点即为所画的点；（3）由题意得有两个相等的实数根，从而可得与轴只有一个交点，即与轴相切；（4）仿照（1）的过程即可求得．【详解】（1）解：如图，连接，，由勾股定理得，，，，在中，，所以．化简得：，所以n为方程的一个实数根．故答案为：．（2）解：以及两点为端点的线段为直径画圆，圆与x轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点M、N即为所画的点，如图所示；（3）解：与x轴相切；理由如下：由题意知，与x轴两个交点的横坐标为于方程的两个根，，∴方程有两个相等的实数根，对应地，与x轴只有一个交点，即与x轴相切（4）如图，由勾股定理得，，，在中，，所以，化简得：，同理可得：．所以为方程的两个实数根．故答案为：．【点睛】本题是材料问题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念，直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想．二、切线性质与判定定理综合（共6小题）5．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考期中）如图，是的直径，是的弦，连接、、，其中，平分，过点B作交的延长线于E．(1)求证：是的切线；(2)若，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线平分角定义，得到，根据同圆的半径相等，得到，推出，得到，根据，得到，推出是的切线（2）过点O作于H，连接，得到，，根据，推出四边形是矩形，得到，，根据，，得到,结合，得到，得到，推出，推出，，推出，得到，，得到，推出，推出．【详解】（1）证明：∵平分，∴∵∴∴∴∵∴∴是的切线（2）过点O作于H，连接，则，,∵，∴四边形是矩形，∴，，∵，且，∴,∵，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴，，∴,∴，∴．【点睛】本题主要考查了角平分线，垂径定理，矩形，圆的切线，圆周角定理，圆内接四边形，梯形，扇形等，解决问题的关键是熟练掌握角平分线定义，垂直弦的直径平分弦，矩形的判定和性质，圆的切线的判定和性质，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形对角互补，梯形面积公式，扇形面积公式．6．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，已知中，，以为直径的⊙O交于点D，过D作，垂足为E，连结，，．(1)求证：是⊙O的切线；(2)若以、的长为方程两个实数根，求b的值；(3)求图中以线段、和弧所围成图形的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】连接，，可证得是三角形中位线，进一步得出结论；(2)在正三角形中求得，在直角三角形中求得，根据根与系数的关系求得b的值；(3)根据圆周角定理求出，求出的面积，由（2）求出的长，从而求出的面积，再求出扇形的面积，进而求得结果．【详解】（1）证明：如图，连接，，∵是直径，∴又∵，∴，∴∴，∴是⊙O的切线；（2）解：在中，∴，∴，在中，，，∴，在中，，∴；（3）解：如图，过D作，∵，∴，∴∴∵、分别是弧所对的圆周角与圆心角，∴，∴由（2）得，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定圆周角定理，扇形面积公式，30°直角三角形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有知识．7．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）问题提出：苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？（1）小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：∵是的直径，∴__________________，∴，∵四边形内角和等于，∴__________________．（2）请回答问题2，并说明理由．深入探究：如图3，的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，．（1）直接写出四边形边满足的数量关系_________；（2）探究、满足的位置关系；（3）如图4，若，，，请直接写出图中阴影部分的面积．【答案】问题提出：（1），；（2）见解析；深入探究：（1）；（2）；（3）【分析】问题提出：（1）根据直径所对的圆周角为直角可得，再结合四边形内角和等于即可得到答案；（2）连接，根据圆周角定理可得，，结合可得，再根据四边形内角和等于即可得到答案；深入探究：（1）根据切线定理可得，可推算出；（2）连接，根据切线的性质可得切角为直角，结合四边形内角和知识推算出，再根据圆周角定理得到，最终推算出，从而得到答案；（3）先根据切线的性质证明四边形是正方形，且边长为，再证明，，先计算出，再根据计算出圆I的半径，从而计算出圆I的面积，最终得到阴影部分的面积=．【详解】问题提出：（1）∵是的直径，∴，∴，∵四边形内角和等于，∴．故答案为：；；（2）如下图所示，连接，

∵，，∴，∵，∴，∵四边形内角和等于，∴；深入探究：（1）∵点、、、是的切点，∴，∴∴；（2），证明:如下图所示，连接,设交于点M，∵点、、、是的切点，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如下图所示，连接设半径为，∵点、、、是的切点，∴，∵，∴，∴四边形是正方形，且边长为，∴，，∵∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴阴影部分的面积=．【点睛】本题考查圆、四边形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用圆周角定理、切线定理．8．（2022春·全国·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．(1)求证：MD是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．【答案】(1)证明见解析(2)存在，EC+EM的最小值为，理由见解析(3)6【分析】（1）连接OD，交BC于点N，通过证明四边形CNDM为矩形得出，利用切线的判定定理即可得出结论．（2）过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，利用将军饮马模型可知此时EC+EM的值最小，由题意可得FD为圆的直径，在中，利用勾股定理即可求得结论．（3）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质可以判定为等腰三角形，证明，利用相似三角形的性质得出比例式，解关于AF的方程即可得出结论．【详解】（1）解：如图，连接OD，交BC于点N，AB为直径弦AD平分∠BAC，四边形CNDM为矩形OD为圆的半径MD是⊙O的切线（2）解：在点E运动过程中，EC+EM存在最小值，理由如下：过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，则此时EC+EM的值最小弦AD平分∠BAC，与的度数为AB是直径，AB是直径为半圆FD为圆的直径由（1）知：MD是⊙O的切线由题意得：AB垂直平分FC由（1）知：四边形CNDM为矩形在中在中EC+EM的最小值为．（3）解：如图FC平分，AD平分，解得或（不合题意，舍去）【点睛】本题是一道圆的综合题，此题考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，轴对称的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，连接半径OD和利用轴对称中的将军饮马模型找出EC+EM存在最小值是解题的关键．9．（2022春·江西吉安·九年级校考期中）如图，在中，，D为AB边上的一点，以AD为直径的交BC于点E，交AC于点F，过点C作于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为的切线．(1)求证：BC是的切线；(2)求证：AE平分；(3)若，，，求四边形CHQE的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)20【分析】（1）连接OE，OP，证明≌，可得，进而证明BC是的切线；（2）由，可得，进而可得，由得，进而可得∠，即AE平分（3）由（1）得：，证明，得，证明≌（AAS），四边形CHQE是菱形，设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程进而求得四边形CHQE的面积．【详解】（1）连接OE，OP，∵AD为直径，点Q为弦EP的中点，∴AB垂直平分EP，∴，∵，，∴≌，∴，∵BP为的切线，∴，∴，∴，∴于点E，∵OE是的半径，∴BC是的切线．（2）∵，∴，∴，∵，∴，∴∠，∴AE平分．（3）由（1）得：，∴．∵，∴，∴，∴，即．∴．∵，，由（2）得，∴≌（AAS），∴，，∴，∴，∴，∵，∴四边形CHQE是平行四边形．∵，∴四边形CHQE是菱形，∴．设，则，，在中，根据勾股定理得：，∴，解得，（不合题意，舍去）．∴，．∴四边形CHQE的面积．【点睛】本题考查了切线的性质与判定，平行线的性质与判定，三角形全等的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．10．（2022秋·湖北鄂州·九年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．(1)如图1，求证：AD是⊙O的切线；(2)如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG＝BG；②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．【答案】(1)AD是OO的切线(2)①；②【分析】（1)连接OA，OB，OC，由AC=AB，OA=OA，OC=OB可证出ΔOACΔOAB(SSS),利用全等三角形的性质可得出∠OAC=∠OAB,即AO平分∠BAC，利用垂径定理可得出AO⊥BC,结合AD//BC可得出AD⊥AO，由此即可证出AD是OO的切线；（2)①连接AE，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE=90°可得出∠BAE=90°，由同角的余角相等可得出∠BAG=∠AEB，结合∠ABC=∠ACB=∠AEB可得出∠BAG=∠ABC，再利用等角对等腰可证出AG=BG；②由∠ADC=∠AFB=90°，∠ACD=∠ABF，AC=AB可证出ΔADCΔAFB(AAS)，利用全等三角形的性质可求出AF，BF的长，设FG=x，在RtΔBFG中，利用勾股定理可求出x的值，此题得解．【详解】（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC．在△OAC和△OAB中，∴，∴，∴AO平分，∴，又∵，∴，∴AD是的切线．（2）①证明：如图2，连接AE．∵，∴.又∵，∴．∵∴.∵，∴，∴．②在△ADC和△AFB中，，∴，∴，．设，在中，，，，∴，即，∴，∴．【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定义、平行线的性质、圆内接四边形、等腰三角形的判定以及勾股定理，解题的关键是：（1)利用全等三角形的性质及垂径定理，找出AO⊥BC；(2)①利用等角的余角相等及圆周角定理，找出∠BAG=∠ABC；②在RtΔBFG中，利用勾股定理求出FG的长。三、利用切线长定理求解（共5小题）11．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，已知AB⊥MN于点B，且AB＝10cm，将线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，过点C作CD⊥MN于点D，⊙O是△BCD的内切圆，直线AO、BC相交于点H．(1)若α＝60°，则CD＝cm．(2)若AO⊥BC①点H与⊙O的位置关系是A．点H在⊙O外B．点H在⊙O上C．点H在⊙O内②求线段AO的长度．(3)线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°，求点O运动的路径长．【答案】(1)5(2)①B；②10cm(3)πcm【分析】（1）由旋转的性质知BC=BA=10cm，则CD=BC=5cm；（2）①若⊙O与BC相切于P，则OP⊥BC，则点P与H重合，可得答案；②延长AO交BD于E，利用∠A=∠CBD=90°-α，用α的代数式表示∠AOB和∠ABO，从而解决问题；（3）在直线BD上取BG=BC，连接OG，以BG为斜边在等腰直角△BFG，利用SAS证明△BOG≌△BOC，得∠BOC=∠BOG，而∠BOC=135°，从而确定点O的运动路径．【详解】（1）解：∵线段AB绕点B按逆时针方向旋转角α（0≤α≤360°）得到线段BC，∴BC=BA=10cm，当α=60°时，∠CBD=30°，∴CD=BC=5cm，故答案为：5；（2）①当AO⊥BC时，则OH⊥BC，若⊙O与BC相切于P，则OP⊥BC，∴点P与H重合，∴点H在⊙O上，故选：B；②延长AO交BD于E，∵AO⊥BC，∴∠A=∠CBD=90°-α，∵⊙O是△BCD的内切圆，∴BO平分∠CBD，∴∠OBC=∠CBD=45°-α，∴∠AOB=90°-∠OBC=90°-（45°-α）=45°+α，∵∠ABO=∠ABC+∠CBO=α+45°-α=45°+α，∴∠AOB=∠ABO，∴AO=AB=10cm；（3）如图，在直线BD上取BG=BC，连接OG，以BG为斜边在等腰直角△BFG，∵∠OBG=∠OBC，OB=OB，∴△BOG≌△BOC（SAS），∴∠BOC=∠BOG，∵∠BCD+∠CBD=90°，∴∠BCO+∠OBC=45°，∴∠BOC=135°，∴∠BOG=135°，∴点O在以F为圆心、BF为半径的圆上运动，∵BG=BC=10cm，∴BF=cm，∴当线段AB绕点B按逆时针方向旋转90°时，O运动的路径长为=πcm．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了三角形内切圆的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质等知识，构造全等三角形得出点O的运动路径是解题的关键，属于中考压轴题．12．（2022秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考期中）如图，平行四边形中，，，，点P在对角线上运动（点P不与点A重合），以P为圆心，为半径作．(1)当与边相切时，．(2)当与边相切时，求的值．(3)随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化．请根据的取值范围探索与平行四边形四边的公共点的个数．【答案】(1)4(2)(3)当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为3个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为4个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为3个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个【分析】（1）先利用勾股定理求出，再证明，当与边相切时，切点即为点C，此时是的直径，由此求解即可；（2）如图所示，当与边相切时，设切点为点E，连接PE，由切线长定理求出的长进而求出的长，即可利用勾股定理求出答案；（3）分别讨论当与相切前，与相切时，与相切后到与相切前，与相切时，与相切后未经过点D时，经过点D后，画出对应的图形求解即可．【详解】（1）解：∵平行四边形中，，，，∴，，∴，即，∴当与边相切时，切点即为点C，则此时是的直径，∴，故答案为：4（2）解：如图所示，当与边相切时，设切点为点E，连接PE，∴，∵，∴是的切线，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，∴，∴；（3）解：由（2）可知当时，与相切，此时与平行四边形四边的公共点的个数为3个；如图3-1所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个；由（1）可知当时，与相切，此时与平行四边形四边的公共点的个数为4个；如图3-2所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为4个；如图3-3所示，当恰好经过点D时，此时与平行四边形四边的公共点的个数为3个，连接，设，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得，如图3-4所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为4个；如图3-5所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个；综上所述，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为3个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为4个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为3个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个；【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，平行四边形的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键。13．（2022秋·江苏·九年级期中）探究问题：（1）如图1，PM、PN、EF分别切⊙O于点A、B、C，猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系，并证明你的结论．变式迁移：（2）如果图1的条件不变，且PO=10厘米，△PEF的周长为16厘米，那么⊙O的半径为厘米．拓展提高：（3）如图2，点E是∠MPN的边PM上的点，EF⊥PN于点F，⊙O与边EF及射线PM、射线PN都相切．①画出符合条件的⊙O；②若EF=3，PF=4，求⊙O的半径．【答案】（1）△PEF的周长=2PA，证明见解析；（2）6；（3）①见解析；②1或2【分析】（1）根据切线长定理可得,，根据三角形周长公式，以及线段的等量代换即可求得的周长等于；（2）连接，根据切线的性质可得，进而勾股定理求得即可；（3）①根据题意作出图形即可；②当在的右侧时，设与射线相切于点，与相切于点，根据切线长定理即可得到，进而证明四边形是正方形，得到，设的半径为，进而根据切线长定理列方程求解即可，同理求得另一种情况的半径．【详解】（1）△PEF的周长=2PA，理由如下，分别相切⊙O于，，分别相切⊙O于同理可得的周长△PEF的周长=2PA，（2）连接，如图，是的切线，的周长为厘米厘米厘米的半径为厘米故答案为：6（3）①如图，分别作的角平分线交于点，以为圆心，点到的距离为半径作圆，或者分别作的角平分线交于点，以为圆心，点到的距离为半径作圆，即为所求，②当在的右侧时，设与交于点，与相切于点,则，连接四边形是矩形四边形是正方形设的半径为即解得的半径为当在的左侧时，设与交于点，与相切于点，则，连接四边形是矩形四边形是正方形设的半径为即解得的半径为1综上所述，的半径为1或2【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，正方形的性质与判定，勾股定理，正确的作出辅助线分类讨论是解题的关键．14．（2022秋·北京丰台·九年级统考期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．已知点，，，．(1)直线l经过点A，的半径为2，在点A，C，D中，直线l和的“关联点”是______；(2)G为线段OA中点，Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），若和有“关联点”，求半径r的取值范围；(3)的圆心为点，半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若和直线m的“关联点”在直线上，请直接写出b的取值范围．【答案】(1)C(2)(3)【分析】（1）作出图形，根据切线的定义结合“关联点”即可求解；（2）根据题意，为等边三角形，则仅与相切时，和有“关联点”，进而求得半径r的取值范围；（3）根据关联点以及切线的性质，直径所对的角是直角，找到点的运动轨迹是以为圆心半径为的半圆在轴上的部分，进而即可求得的值．【详解】（1）解：如图，，，，,，轴,.的半径为2，直线与相切直线l和的“关联点”是点故答案为：（2）如图，根据题意与有“关联点”，则与相切，且与相离,是等边三角形为的中点，则当与相切时，则点为的内心半径r的取值范围为：（3）如图，设和直线m的“关联点”为，，交轴于点，是的切线，的圆心为点，半径为t，轴是的切线点的运动轨迹是以为圆心半径为的半圆在轴上的部分，则点，在直线上，当直线与相切时，即当点与点重合时，最大，此时与轴交于点，当点运动到点时，则过点，则解得b的取值范围为：【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，一次函数与坐标轴交点问题，等边三角形的性质，等边三角形的内心的性质，掌握以上知识是解题的关键．15．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）已知，AB是⊙O的直径，AB＝16，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂足为C，PC＝10，PT为⊙O的切线，切点为T．（1）如图（1），当C点运动到O点时，求PT的长；（2）如图（2），当C点运动到A点时，连接PO、BT，求证：PO∥BT；（3）如图（3），设PT＝y，AC＝x，求y与x的解析式并求出y的最小值．【答案】（1）6；（2）见解析；（3）y＝，最小值为6【分析】（1）连接OT，则OT⊥PT，由勾股定理即可得出结果；（2）连接OT，易证PA是⊙O的切线，由切线长定理得出PA＝PT，由SSS证得△OPA≌△OPT，得∠AOP＝∠TOP＝∠AOT，由圆周角定理得出∠AOT＝2∠B，推出∠AOP＝∠B，即可得出结论；（3）连接PO、OT，求出OC＝8﹣x，在Rt△PCO中，由勾股定理得PO＝，在Rt△OTP中，由勾股定理得y＝PT＝＝，当x＝8时，y有的最小值，y最小值为6．【详解】（1）解：连接OT，如图（1）所示：则OT⊥PT，∴∠OTP＝90°，∵AB是⊙O的直径，AB＝16，∴OT＝AB＝×16＝8，在Rt△OTP中，由勾股定理得：PT＝；（2）证明：连接OT，如图（2）所示：∵PC⊥AB，点C与点A重合，AB是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线，∵PT为⊙O的切线，∴PA＝PT，在△OPA和△OPT中，，∴△OPA≌△OPT（SSS），∴∠AOP＝∠TOP＝∠AOT，∵∠AOT＝2∠B，∴∠AOP＝∠B，∴PO∥BT；（3）解：连接PO、OT，如图（3）所示：∵AB是⊙O的直径，AB＝16，AC＝x，∴OC＝OA﹣AC＝AB﹣AC＝8﹣x，OT＝8，∵PC⊥AB，∴∠PCO＝90°，在Rt△PCO中，由勾股定理得：PO＝，∵PT为⊙O的切线，∴PT⊥OT，在Rt△OTP中，由勾股定理得：y＝PT＝＝，∴y与x的解析式为：y＝，∴当x＝8时，y有的最小值，y最小值为6．【点睛】本题考查切线长定理、全等三角形的判定与性质、圆周角的性质、勾股定理的应用等知识，综合性较强，难度一般，是常见典型题型，作出适当的辅助线、掌握相关知识是解题关键。四、与三角形内切圆有关的计算（共5小题）16．（2022秋·江苏盐城·九年级景山中学校考期中）如图1，抛物线y＝tx2﹣16tx＋48t（t为常数，t＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）点A的坐标是，点B的坐标是；（2）如图2，点D是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接BD，延长BD交y轴于点E，若∠BCE＝∠BEC．①求点D的坐标（用含t的式子表示）；②若以点D为圆心，半径为8作⊙D，试判断⊙D与y轴的位置关系；（3）若该抛物线经过点（h，），且对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx＋48t≤恒成立，求△BOC外心F与内心I之间的距离．【答案】（1），；（2）①；②与轴相切，证明见解答；（3）．【分析】（1）令，则，可得答案；（2）①如图2，根据“三角形中，等角对等边”可得，进而可根据等腰三角形旋转得出，可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，联立方程组求解即可得出答案；②根据⊙D到y轴的距离等于半径，利用切线的判定定理即可得出结论；（3）根据题意可得该抛物线顶点为，建立方程求出，从而得出：，，，过的内心作于点，于点，于点，则，利用，可求得，进而得出，再由是的外心，可得，运用两点间距离公式即可求得答案．【详解】解：（1）令，则，解得：，，点在点左侧，，，故答案为：，；（2）①如图2，，，，，，在中，令，得，，，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，联立方程组，得，解得：，（舍去），；②与轴相切，理由如下：，点到轴的距离为8，的半径为8，与轴相切．（3）对于任意实数，不等式恒成立，且抛物线经过点，该抛物线顶点为，，抛物线顶点为，，解得：，，，，，，，过的内心作于点，于点，于点，则，，，解得：，，是的外心，是的中点，，．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴及直线的交点坐标，顶点坐标，二次函数图象和性质，三角形的内心和外心，三角形面积，中点公式，勾股定理，圆的切线判定等，涉及知识点较多，综合性强，有一定难度，是一道典型的中考数学压轴题．17．（2022春·江苏·九年级期末）数学概念若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.理解概念（1）若点是的等角点，且，则的度数是.（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，②如图②，深入思考（3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有.（填序号）【答案】（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．【详解】（1）（i）若=时，∴==100°（ii）若时，∴（360°－）=130°；（iii）若=时，360°－－=160°，综上所述：=100°、130°或160°故答案为：100、130或160．（2）选择①：连接∵∴∴∵，∴∴是的等角点．选择②连接∵∴∴∵四边形是圆的内接四边形，∴∵∴∴是的等角点（3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD，根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC∴△BCD为等边三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分线交MN于点O以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如图③，点即为所求．（4）③⑤．①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心假设∠BAC=60°，∠ACB=30°∵点O是△ABC的内心∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°显然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①错误；②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误；③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；④由（3）可知，点Q为△ABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QB≠QC，故④错误；⑤由（3）可知，当的三个内角都小于时，必存在强等角点．如图④，在三个内角都小于的内任取一点，连接、、，将绕点逆时针旋转到，连接，∵由旋转得，，∴是等边三角形．∴∴∵、是定点，∴当、、、四点共线时，最小，即最小．而当为的强等角点时，，此时便能保证、、、四点共线，进而使最小．故答案为：③⑤．【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．18．（2022秋·江苏南京·九年级统考期中）解答下列问题(1)【习题再现】完成原习题；（教材P74第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．和相等吗？为什么？(2)【逆向思考】如图②，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心．(3)【迁移运用】如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．）【答案】(1)，理由见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）如图①，连接．首先根据三角形内心的概念得到，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后通过角度之间的转化即可证明，进而得到；（2）连接．首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据得到，然后根据角度之间的转化得到，即可证明出I为的内心；（3）根据题意作出和的角平分线，两条平分线的交点即为的内心I．【详解】（1）证明：如图①，连接．∵I是的内心，∴．∵是所对的圆周角，∴．∴．根据角之间的关系可得．又∵是的一个外角，∴．∴．∴；（2）证明：连接．∵，∴．∴．即平分．∵，∴．∵是的一个外角，∴．∵，∴，即平分．∴I为的内心；（3）文字说明：①以点B为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点M和N，②以点M和点N为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点H，作射线，③以点C为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点E和F，④以点E和点F为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线，∴射线和射线交于点I，∴点I即为的内心．画图如下：【点睛】本题考查了三角形内心的定义，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内心的定义，圆周角定理的推论是解答本题的关键．19．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）我们知道到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心.在三角形内部到三边距离相等的点是三角形的内心.由此，我们可以引入如下新的概念：定义1：到三角形两个顶点距离相等的点叫做这个三角形的准外心，如图①，，点P叫做的准外心，也可以称作边上的准外心.定义2：到三角形的内角两边距离相等的点叫做这个三角形的准内心，如图②，，，且，则点Q叫做的准内心，也可以称作边和上的准内心.应用：(1)）如图③，为等边三角形的高，准外心Р在高上，且，则________°.(2)如图④，在中，，，①若点M是的准内心，且M在边上，求的长②若点N是的准外心，且是边和上的准内心，求的值.【答案】(1)(2)①

②【分析】（1）由定义1准外心的概念可得：准外心Р在等边三角形的高上，则可分类讨论：①若，②若，③若，再由，依次判断三种情况是否成立；逐一判断后，可得当，由与题意相符，可得，即可求出的度数．（2）①作于点，连接，由勾股定理可得，由于点是的准外心，可证明，从而得到的长度，设，利用勾股定理可得的长，即可求出的长．②连接、、，过点作于点，于点,于点，由，可得的长，即可得到的长．【详解】（1）解：①若，连接，则，∵CD为等边三角形的高，∴，，∴，∴，与已知矛盾，∴，②若，连接PA，同理可得，③若，由，得.∴，故；（2）①如图4作于点，连接，∵，，，∴，又∵点是的准外心，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，∴，解得：，∴，∴，②连接、、，过点作于点，于点,于点，由题可知：，∵，∴，，∴，∴，【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，也考查了新定义的运用能力和勾股定理．20．（2022秋·广东湛江·九年级校考期中）综合与探究抛物线与x轴交于两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知．(1)求两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点P，使的内心在x轴上？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）令可得，解之可得；（2）根据，得，可得a的值，即可得抛物线解析式；（3）假设存在点P，使三个内角的角平分线的交点在x轴上，则此时x轴就是的角平分线，从而得知点的对称点在直线上，待定系数法可得直线的解析式，由直线的解析式和抛物线解析式可得点P的坐标．【详解】（1）解：根据题意知，，即，∴，解得：或，∴；（2）∵，∴，∴，∴，代入抛物线得：，∴，∴抛物线解析式为；（3）存在，假设存在点P，使三个内角的角平分线的交点在x轴上，则此时x轴就是的角平分线．∴C点关于x轴的对称点必在直线上．设为，∵，∴，∴直线过，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∵直线与二次函数相交于P点，∴，解得：或，当时，，当时，，即为点A，∴存在一点P，使三个内角的角平分线的交点在x轴上，且点P的坐标为．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题，三角形的内心，待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数的性质以及三角形内心的性质是解本题的关键．五、与三角形外接圆有关的计算（共4小题）21．（2022春·全国·九年级期末）抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点D（m，3）在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC、BD，点P在对称轴左侧的抛物线上，若∠PBC＝∠DBC，求点P的坐标；(3)如图2，点Q为第四象限抛物线上一点，经过C、D、Q三点作⊙M，⊙M的弦QF∥y轴，求证：点F在定直线上．【答案】(1)(2)P（，）(3)证明见解析【分析】（1）把A、C坐标代入可得关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值即可得答案；（2）如图，设BP与y轴交于点E，直线解析式为，根据（1）中解析式可知D、B两点坐标，可得CD//AB，利用ASA可证明△DCB≌△ECB，可得CE=CD，即可得出点E坐标，利用待定系数法可得直线BP的解析式，联立直线BP与抛物线解析式求出交点坐标即可得答案；（3）如图，连接MD，MF，设Q（m，-m2+2m+3），F（m，t），根据CD、QF为⊙M的弦可得圆心M是CD、QF的垂直平分线的交点，即可表示出点M坐标，根据MD=MF，利用两点间距离公式可得（）2+（2-1）2=（m-1）2+（）2，整理可得t=2，即可得答案．【详解】（1）∵A（﹣1，0）、C（0，3）在抛物线y＝ax2+2x+c图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为：．（2）如图，设BP与y轴交于点E，直线解析式为，∵点D（m，3）在抛物线上，∴，解得：，（与点C重合，舍去），∴D（2，3），∴CD//AB，CD=2，当y=0时，，解得：，，

∴B（3，0），∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=∠DCB=45°，在△DCB和△ECB中，∵，∴△DCB≌△ECB，∴CE=CD=2，∴OE=OC-CE=1，∴E（0，1），∴，解得：，∴直线BP的解析式为，联立直线BP与抛物线解析式得：，解得：（舍去），，∴P（，）．（3）如图，连接MD，MF，设Q（m，-m2+2m+3），F（m，t），∵CD、QF为⊙M的弦，∴圆心M是CD、QF的垂直平分线的交点，∵C（0，3），D（2，3），QF//y轴，∴M（1，），∵MD=MF，∴2+（2-1）2=（m-1）2+（）2，整理得：t=2，∴点F在定直线y=2上．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、二次函数与一次函数的交点问题及圆的性质，综合性强，熟练掌握相关知识及定理是解题关键．22．（2022秋·江苏连云港·九年级统考期中）定义：能完全覆盖平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．(1)如图①，线段，则线段的最小覆盖圆的半径为_________；(2)如图②，中，，，，请用尺规作图，作出的最小覆盖圆（保留作图痕迹，不写作法）．此最小覆盖圆的半径为_________；(3)如图③，矩形中，，，则矩形的最小覆盖圆的半径为_________；若用两个等圆完全覆盖该矩形，那么这两个等圆的最小半径为_________．【答案】(1)(2)作图见解析，(3)，【分析】（1）根据最小覆盖圆的定义可知，当为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆；（2）根据最小覆盖圆的定义可知，直角三角形的最小覆盖圆即为该直角三角形的外接圆，据此求解即可；（3）根据最小覆盖圆的定义可知，矩形的外接圆即为最小覆盖圆，如图③所示，连接交于O，则点O即为矩形的外接圆圆心，利用勾股定理求出的长即可得到答案；如图④所示，分别取的中点G，H，连接交于E，连接交于F，连接，则四边形，四边形都是矩形，同理可得圆E和圆F分别是四边形，四边形的最小覆盖圆，同理求出即可．【详解】（1）解：如图所示，∵，∴（O为AB中点，），∴，当为圆的直径时，此圆即为最小覆盖圆，∴线段的最小覆盖圆的半径为，故答案为：；（2）解：由题意可知的最小覆盖圆即为的外接圆，作线段的垂直平分线交于D，点D即为最小覆盖圆圆心，∵在中，，，，∴，∴，∴最小覆盖圆的半径为，故答案为：；（3）解：由题意得，矩形的外接圆即为最小覆盖圆，如图③所示，连接交于O，∵四边形是矩形，∴，∴点O即为矩形的外接圆圆心，∵，∴，∴，∴矩形的最小覆盖圆半径为；如图④所示，分别取的中点G，H，连接交于E，连接交于F，连接，则四边形，四边形都是矩形，同理可得圆E和圆F分别是四边形，四边形的最小覆盖圆，在中，，∴，∴，∴这两个等圆的最小半径为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形外接圆以及四边形的外接圆的相关知识，矩形的性质，勾股定理，正确理解最小覆盖圆的定义是解题的关键．23．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）试探究的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求面积的最大值，并求出此时M点的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为，B点坐标为（3，0）；（2）△ABC外接圆圆心在直线上，其坐标为（1，）；（3）的最大值为，此时M点的坐标为（，）．【分析】（1）先由一次函数解析式求出AC的坐标，然后把AC的坐标代入抛物线解析式中求解出抛物线解析式，然后求出B点坐标即可；（2）设△ABC外接圆圆心为P，点P的坐标为（m，n），又A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），得到抛物线的对称轴为直线，根据外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，推出点P在直线上，即m=1，PB=PC，再由，则即，由此求解即可；（3）先求出直线BC的解析式为，设M的坐标为（t，t-3），则E点坐标为（t，），则，根据，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）∵直线与x轴交于点A、与y轴交于点C，∴A点坐标（-1，0），C点坐标为（0，-3），∵抛物线经过A、C两点，∴，∴，∴抛物线解析式为，当时，，解得或，∴B点坐标为（3，0）；（2）设△ABC外接圆圆心为P，点P的坐标为（m，n），∵A点坐标为（-1，0），B点坐标为（3，0），∴抛物线的对称轴为直线，∵外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点，∴点P在直线上，即m=1，PB=PC，∵，∴即，∴，∴点P的坐标为（1，-1）；（3）设直线BC的解析式为，∴，，∴直线BC的解析式为，设M的坐标为（t，t-3），则E点坐标为（t，），∴，∴，，∴当时，有最大值，最大值为，∴此时M点的坐标为（，）．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，三角形外接圆圆心坐标，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．24．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校联考期中）如图1，已知抛物线经过原点，它的对称轴是直线，动点从抛物线的顶点出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点运动的时间为秒，连接并延